- •Введение
- •1. ОсновНые понятия и определения теории автоматического управления
- •1.1. Краткие сведения по истории развития систем автоматического управления
- •1.2. Обобщенная структурная схема сау
- •1.2. Классификация сaу
- •2. Математическое описание линейных сау
- •2.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений сау
- •2.2. Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения сау. Передаточные функции линейных звеньев и систем
- •Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
- •Изображения по Лапласу типовых сигналов
- •2.3. Временные и частотные характеристики звеньев и систем
- •2.4. Элементарные звенья систем автоматического управления
- •Пропорциональное (усилительное, безинерционное, масштабирующее) звено
- •Интегрирующее звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Инерционное звено второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •Интегро-дифференцирующее звено
- •Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)
- •2.5. Неминимально-фазовые звенья
- •2.6. Эквивалентные преобразования структурных схем линейных сау
- •2.7. Передаточные функции многоконтурных систем
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Анализ устойчивости линейныхсау
- •3.1.Понятие устойчивости линейных систем
- •3.2.Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •3.3.Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста
- •3.4.Запасы устойчивости
- •3.5.Оценка устойчивости по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам
- •3.6.Устойчивость систем с запаздыванием
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Качество динамических характеристик сау
- •4.1. Показатели качества процесса регулирования
- •4.2. Частотные критерии качества
- •4.3. Корневые критерии качества
- •4.4. Интегральные критерии качества
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Оценка точности сАу
- •5.1. Стационарные режимы сау. Передаточные функции статических и астатических систем
- •5.2. Коэффициенты ошибки системы
- •5.3. Системы комбинированного управления
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Анализ сау в пространстве состояния
- •6.1. Основные положения метода переменных состояния
- •6.2. Способы построения схем переменных состояния
- •Метод прямого программирования
- •Метод параллельного программирования
- •Метод последовательного программирования
- •6.3. Решение уравнений состояния линейных стационарных сау. Вычисление фундаментальной матрицы
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Коррекция линейных сАу
- •7.1. Цели и виды коррекции
- •Последовательные корректирующие звенья
- •Параллельные корректирующие звенья
- •7.2. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •Построение лах в низкочастотном диапазоне
- •Построение лах в среднечастотном диапазоне
- •Зависимость колебательности от значений hи h1
- •Построение лах в высокочастотном диапазоне
- •7.3. Последовательные корректирующие устройства
- •7.4. Параллельные корректирующие устройства
- •7.5. Техническая реализация корректирующих звеньев
- •Пассивные четырехполюсники постоянного тока
- •Пассивные корректирующие четырехполюсники
- •Активные корректирующие звенья
- •Активные четырехполюсники постоянного тока
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Нелинейные системы автоматического управления
- •8.1. Особенности нелинейных систем и методы их анализа
- •8.2. Исследование нелинейных систем на фазовой плоскости
- •8.3. Метод гармонической линеаризации нелинейных звеньев
- •Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей
- •8.5. Методы определения параметров автоколебаний
- •Вопросы для самопроверки
- •Курсовая работа
- •Задание для расчета линейной caу
- •Варианты задания для расчета линейной сау
- •Варианты передаточных функций линейной сау
- •Задание для расчета нелинейной сау
- •Варианты задания для расчета нелинейной сау
- •Варианты структурных схем нелинейных систем Варианты статических характеристик нелинейного элемента
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
3.2.Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Для оценки устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (3.5) составить определитель Гурвица, размерность которого равна порядку системы.
Определитель Гурвица имеет вид:
. (3.8)
Порядок составления определителя Гурвица следующий. В качестве элемента первого столбца первой строки определителя записывается коэффициент an-1, а затем на главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения (3.4) с последовательно убывающими индексами. При этом в последнем столбце последней строки определителя записывается коэффициент .
Затем, начиная от коэффициентов, стоящих на главной диагонали, заполняются столбцы определителя так, чтобы индексы коэффициентов, расположенных над коэффициентами главной диагонали, последовательно убывали, а коэффициентов, расположенных под диагональными коэффициентами, – последовательно возрастали. Если в процессе заполнения столбца определителя индекс коэффициента достигает значения n или 0, то дальнейшее заполнение столбца осуществляется нулями.
Далее необходимо вычислить значение определителя Гурвица и всех его диагональных миноров, которые получают из определителя (3.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу определителя. Например, диагональный минор первого порядка равен Δ1 = an-1 ; диагональный минор второго порядка:
Δ2 =, (3.9)
а диагональный минор третьего порядка:
Δ3 = . (3.10)
Очевидно, что диагональный минор n-го порядка совпадает с определителем Гурвица.
Линейная система устойчива, если при выполнении необходимого условия (3.6), определитель Гурвица и все его диагональные миноры будут положительны:
Δ1 > 0, Δ2 > 0, …………,Δn > 0/
Раскрыв определитель Гурвица по последнему столбцу, получим
Так как, в соответствие с выражением (3.6) > 0 и > 0, то для проверки устойчивости системы достаточно уточнить знаки диагональных миноров с номерами от второго до .
Для системы второго порядка необходимое и достаточное условия устойчивости совпадают, так как для нее Δ1 = a1 > 0 .
Для системы третьего порядка:
Δ1 = a2 > 0; Δ2 = а1 ∙а2 – а0 ∙а3.
Следовательно, достаточное условие устойчивости:
а1 ∙а2 > а0 ∙а3. (3.11)
Если определитель Δn = 0, то САУ находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:
свободный член характеристического уравнения равен нулю, т.е. a0 = 0, что соответствует нейтрально устойчивой системе;
диагональный минор Δ(n-1) = 0, что соответствует колебательной границе устойчивости.
Из условия Δ(n-1) = 0 можно определить параметры, при которых САУ находится на границе устойчивости.
Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему третьего порядка с единичной отрицательной обратной связью и передаточной функцией в разомкнутом состоянии:
.
Передаточная функция такой системы в замкнутом состоянии в соответствие с выражением (2.63) равна:
.
Характеристическое уравнение такой системы:
T1T2T3 p3 + (T1T2 + T2T3 + T1T3)р2 + (T1 + T2 + T3)р + (k + 1) = 0.
Следовательно:
= T1T2T3 , T1T2 + T2T3 + T1T3 , а1 = T1 + T2 + T3 , а0 = k + 1. (3.12)
В соответствии с выражениями (3.6) и (3.11) необходимое и достаточное условия устойчивости для системы третьего порядка определяются следующими неравенствами:
T1T2T3 > 0; T1T2 + T2T3 + T1T3 > 0; T1 + T2 + T3 > 0; k + 1 > 0;
(T1T2 + T2T3 + T1T3)∙(T1 + T2 + T3) > T1T2T3 ∙(k + 1).
Очевидно, что первые три неравенства выполняются при произвольных положительных значениях коэффициента усиления и постоянных времени. Последнее неравенство ограничивает сверху допустимое значение коэффициента усиления:
k < (T1 + T2 + T3 )∙(1/ T1 + 1/ T2 + 1/ T3) – 1 .
Предельное значение k, при котором система будет находиться на границе устойчивости, –критическое значение для рассматриваемой системы равно:
kкр = (T1 + T2 + T3 )∙(1/ T1 + 1/ T2 + 1/ T3) – 1.
Существенным недостатком критерия Гурвица является значительное усложнение условий устойчивости по мере увеличения порядка системы. Кроме того, для САУ высокого порядка достаточно трудно оценить влияние отдельных параметров звеньев на устойчивость системы. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов характеристического уравнения (смотри, например, выражение (3.12)).