6.2. Способы построения схем переменных состояния

Набор внутренних переменных системы, определяющих вектор состояния X(t), может быть различным, т.е. для исследуемой системы существует множество групп переменных состояния

X⁽¹⁾(t)=, X⁽²⁾(t)=,…,

таких, что каждая из них описывает состояние полностью, причем любые два вектора X⁽ⁱ⁾(t) и X^(j)(t) из этого множества будут однозначно связаны между собой. Удачный выбор переменных состояния часто приводит к существенному упрощению математического описания САУ.

Естественным является стремление выбрать в качестве составляющих вектора состояния контролируемые выходные сигналы системы, характеризующие качество процесса управления, но их обычно бывает недостаточно для полного математического описания САУ. Выбор вектора переменных состояния осуществляется одним из следующих трех способов, называемых методами программирования:

• прямого;

• параллельного;

• последовательного.

Кроме того, воз­можны комбинированные способы, когда часть системы строится, например, методом параллельного программирования, а остальная часть – методом последовательного программирования.

Метод прямого программирования

Пусть передаточная функция си­стемы имеет вид:

. (6.9)

Разделив числитель и знаменатель W (р} на , получим:

.

Выходной сигнал системы равен:

.

Введем в рассмотрение фиктивную переменную , равную:

.

Преобразуем последнее выражение к виду:

. (6.10)

Тогда выходной сигнал системы может быть выражен следующим образом:

. (6.11)

На основании выражений (6.10) и (6.11) составим структурную схему системы (рис. 6.2) с передаточной функцией (6.9), содержащую только пропорциональные звенья и последовательно соединенных интегрирующих звеньев.

Очевидно, что в качестве переменных состояния, полностью описывающих поведение такой системы, могут быть выбраны выходные сигналы интегрирующих звеньев:

X(t) = .

Особый интерес представляют схемы переменных состояния про­стейших звеньев (рис. 6.3) с передаточными функциями вида:

а) ;

б) ;

в) ;

г).

Метод параллельного программирования

Для построения схем перемен­ных состояния способом параллельного программирования переда­точная функция системы (6.9), имеющая в общем случае действительных ипар комплексно-сопряженных полюсов (), предварительно должна быть раз­ложена на сумму простейших дробей, т.е. представлена в виде:

, (6.12)

где коэффициенты разложения.

Затем для каждого из слагаемых в выражении (6.12) составляется схема переменных состояния, например, с использованием метода прямого про­граммирования. Далее все (q+ z + 1) таких схем соединяются между собой параллельно. Схема переменных состояния, соответствующая выражению (6.12), представлена на рис. 6.4. Так же, как и в предыдущем случае, переменными состояния являются выходные ве­личины интеграторов.

Метод последовательного программирования

Для построения схем пере­менных состояния способом последовательного программирования передаточная функция (6.9) в зависимости от числа и вида ее нулей и полюсов должна быть представлена в виде последовательного соединения элементарных звеньев с передаточ­ными функциями вида:

; ;;

; .

В качестве переменных состояния также выбираются выходные величины интегрирующих звеньев, выходной сигнал системы в этом случае обычно совпадает с переменной состояния последнего звена.

В качестве примера рассмотрим описание в пространстве состояния системы (рис. 6.5).

На основании метода последовательного программирования составим схему переменных состояния этой системы (рис. 6.6).

Поскольку в качестве переменных состояния выбираются выходные величины интегрирующих звеньев, производные по времени этих переменных состояния представляют собой входные сигналы соответствующих интеграторов. При этом система дифференциальных уравнений (6.2) для рассматриваемой САУ имеет следующий вид:

(6.13)

Кроме того, или

. (6.14)

Тогда выражения (6.13) и (6.14) в матричной форме примут вид:

и ,

т.е. для рассматриваемой САУ:

матрица системы A = , матрица управленияB =

и матрица наблюдения .