9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

	3	-2	1		1	3		-2	3		-2	1
	-2	1	3	= 3			- (-2)			+ 1			=
2)					0	-2		2	-2		2	0
	2	0	-2

= 3(-2 + 0) + 2(4 - 6) + 1(0 - 2) = -12.

О: Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется число

Àij = (-1)i + j × Ìij .

Например, для определителя III порядка (1.1)

M	21	=	a12	a13	, A = -M	21	.
			a32	a33	21

Свойства определителей следуют из определения (1.1).

10. Транспонирование: определитель не изменится, если все его строки заменить на соответствующие столбцы:

a11	a12	a13		a11	a21	a31
a21	a22	a23	=	a12	a22	a32	.
a31	a32	a33		a13	a23	a33

20. Разложение определителя по любому ряду (строке или столбцу):

определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. Например, для определителя (1.1) разложение по второму столбцу:

D = à12À12 + à22À22 + à32À32 = -à12Ì12 + à22Ì22 - à32Ì32.

30. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на (-1).

40. Определитель D = 0, если:

1)все элементы какого-нибудь ряда равны нулю;

2)соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны (в частности, равны).

50. Общий множитель всех элементов ряда можно вынести за знак определителя.

60. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Аналогично определению определителя III порядка вводится определение определителя n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.

Например, определителем IV порядка называется число, вы- числяемое по правилу

a11

a12

a13

a14

a22

a23

a24

a21

a23

a24

a21

a22

a23 a24

D =

= a

a

a

a

- a

a

a

a

+

a31

a32

a33

a34

11

32

33

34

12

31

33

34

a42

a43

a44

a41

a43

a44

a41

a42

a43

a44

a21

a22

a24

a21

a22

a23

+a13

a31

a32

a34

- a14

a31

a32

a33

.

a41

a42

a44

a41

a42

a43

Свойства 10–60 сохраняются для определителей любого порядка. При вычислении определителей IV и выше порядков удобно, используя свойство 60, преобразовать его так, чтобы все элементы (кроме одного) какого-нибудь ряда были нулями, затем разложить его по этому ряду.

Пример:

2	4		7		5			0	14		13			1				14	13			1
-1 5			3 -2					-1 5 3 -2
						=									=			23 8 -9					=
3	8	-1 -3						0 23 8 -9										27	14			-12
5	2	-1 -2						0 27 14 -12
						13			1			15		13	1
					14
			=		9 -5 -10						=	-1 -5 -10							=
					13	1			-13			0		1	-13
	= 0			13		1		- 1		15	1			+ (-13)			15		13		=
				-5 -10						-1 -10							-1 -5

= 0 - 1(-150 + 1) - 13(-75 + 13) = 149 + 806 = 955.

Здесь вторую строку последовательно умножаем на 2, 3, 5 и складываем соответственно с 1-й, 3-й, 4-й строками.

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, определенность.

Методы Гаусса и Крамера

О: Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными будем называть следующую систему:

ì

a

x

+ a x

+ ... + a n xn = b ,

ï

11

1

12

2

1

1

ï a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2,

í

............................................

(1.2)

ï

îïam1x1 + am2x2 + ... + amn xn = bm,

ãäå x j , j =

— неизвестные; aij , i =

j =

— êîýô-

1,n,

1,m,

1,n,

фициенты при неизвестных;

bij , i =

1,m,

— свободные чле-

íû. Ïðè b

= 0,

i

m

система называется однородной·

i

= 1, ,

О: Решением сèñòемы (1.2) называется такая совокупность чи- сел x*j , j = 1,n, которая при подстановке x*j вместо x j , j = 1,n, в каждое уравнение системы обращает его в тождество.

О: СЛАУ называется совместной, если она имеет решение, несовместной — если решения нет.

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

О: Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечное множество.

О: Две совместные системы называются равносильными, если все их решения совпадают.

Система (1.2) переходит в равносильную, если: а) поменять местами два уравнения;

б) умножить любое уравнение на число l ¹ 0;

в) прибавить к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженные на любое число.

!

Назовем такие преобразования системы элементарными. Коэффициенты при неизвестных в системе составляют прямоугольную таблицу — матрицу из m строк и n столбцов:

	æ a		a
	ç	11	12 ...
	ç a21		a22 ...
	A =ç	... ... ...
	ç
	ç		am2 ...
	èam1

a1 ö

n ÷

a2n ÷.

... ÷÷ (1.3)

amn ÷ø

Она называется основной матрицей системы, а матрица (А½B) — расширенной:

çæ a11		a12
A | B =çç a21		a22
ç	... ...
ç		am2
èam1

...	a n		b1	ö
	1			÷
...			b2
	a2n			÷
...	...		..	÷.
				÷
...			b	÷
	amn		m ø

Преобразования со строками расширенной матрицы системы, соответствующие элементарным преобразованиям системы, будем тоже называть элементарными, а матрицы, полученные при элементарных преобразованиях, — эквивалентными.

Обозначим i-ю строку матрицы А через аi = (ai1 ai2 ...ain).

О: Строки a1, a2, ..., am называют линейно зависимыми, если существуют числа a1, a2, ..., am, a12 + a22 + ... + am2 ¹ 0, ÷òî a1a1 + a2a2 + ... + amam = 0. В противном случае строки называют линейно независимыми.

О: Рангом матрицы А (обозначается rang A) называется максимальное число линейно независимых строк матрицы.

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Т: (Кронекера–Капелли) Система (1.2) совместна тогда, когда rang A = rang (A½B) n Доказательство см. в [1. С.97].

Для решения системы (1.2) применяется метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы путем элементарных преобразований.

"

Все преобразования проводятся с расширенной матрицей. Пусть а11 ¹ 0. Тогда умножением первой строки последовательно

íà

-

a21

, ..., -

am1

и сложением соответственно со 2-й, ..., m-й

a11

a11

строками получаем матрицу

æa

a

...

a n

b1

ö

ç

11

12

1

b¢

÷

ç

0

a

¢ ...

a

¢n

÷

2

22

2

( A | B) : ç

... ... ... ...

..

÷.

ç

÷

b¢

ç

0

a

¢

...

a

¢

÷

è

m

ø

m2

mn

Аналогичные преобразования производим с матрицей

æ a¢

a¢

...

a¢

b¢

ö

ç

22

23

2n

2

÷

ç ... ...

... ...

...

÷.

ça¢

a¢

...

a¢

b¢

÷

è

m2

m3

mn

m

ø

Процесс продолжаем, пока не получим матрицу ступенчатого

âèäà

æa11

a12 ...

...

ö

a1,r -1

a1r

a1n

b1

ç

0

a¢ ...

a¢

-1

a¢

...

a¢

b¢

÷

ç

22

2,r

2r

2n

2

÷

ç

...

...

...

...

...

÷

,

A | B : ç ... ... ...

÷

ç

0

0 ...

0

ࢢ

...

a¢¢

b¢¢

÷

rr

rn

r

ç

0

0 ...

0

0

...

0

0

÷

è

ø

причем rang (A½B) равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.

Возможны три случая:

1)Получилась строка (0 0 ...0| bk¢¢), bk¢¢ ¹ 0, ей соответствует уравнение 0 = bk¢¢ — система несовместна (rang A ¹ rang (A½B)).

2)Число ненулевых строк r меньше числа неизвестных, тогда система имеет бесчисленное множество решений. Последней ненулевой строке соответствует уравнение

arr¢¢xr + ... + arn¢¢xn = br¢¢,

из которого находим неизвестное xr через n - r так называемых свободных неизвестных: xr + 1, ..., xn. Из уравнений, соответствую-

#

щих другим строкам, последовательно находим x1, ..., xr - 1 также через свободные неизвестные.

3) Если r = n, решение системы единственно. Последней ненулевой строке соответствует уравнение ann¢¢xn = bn¢¢, из которого находим неизвестное хn, а далее последовательно x1, x2, ..., xn - 1.

Пример:

ì x1 + x2 - x3 = 1,

ï

x1, x2, x3

= ?

í2x1 - x2 + 5x3 = 3,

ï

3x1 + 4x3

= 4,

î

æ1 1 -1

1

ö æ1 1

-1

1ö æ

1

1

-1

1 ö

ç

2

-1 5

3

÷

ç

-3 7

÷

ç

0

-3 7

÷

,

A | B = ç

÷

: ç0

1÷

: ç

1 ÷

ç

4

÷

ç

-3 7

÷

ç

0

0 0

÷

è3 0 4

ø è0

1ø è

0ø

rang A = rang(A | B) = 2.

Для получения матрицы, эквивалентной расширенной, умножаем первую строку последовательно на (-2), (-3) и складываем соответственно со 2-й и 3-й строками. Затем в полученной матрице вторую строку умножаем на (-1) и складываем с третьей, приходим к матрице ступенчатого вида. Второй строке соответствует уравнение -3x2 + 7x3 = 1, из которого находим x2 = (7x3 - 1)/3. Подставляем х2 в первое уравнение системы:

õ1 + (7õ3 - 1)/3 - õ3 = 1 и находим х1 = -4/3 × (õ3 - 1), ãäå õ3 — свободное неизвестное

Если m = n, то матрица А — квадратная и ее определитель — главный определитель системы.

При D º det A ¹ 0 решение системы единственно и находится

	x j =	D j	, j =		.	В них определитель D
по формулам Крамера:				1,n
		D					j

называется определителем неизвестного xj и получается из определителя D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Выведем формулы Крамера, например, для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Для этого умножаем 1-е, 2-е и 3-е уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения А11, À21 è À31, затем складываем их:

$

(À11à11 + À21à21 + À31à31)õ1 + (À11à12 + À21à22 + À31à32)õ2 +

+ (À11à13 + À21à23+ À31à33)õ3 = À11b1 + A21b2 +A31b3.

Множитель при х1 — разложенный по 1-му столбцу определитель D, множители при х2, õ3 и правая часть соответственно — определители:

a12

a12

a13

a13

a12

a13

b1

a12

a13

a22

a22

a23

= 0,

a23

a22

a23

= 0,

D1 =

b2

a22

a23

.

a32

a32

a33

a33

a32

a33

b3

a32

a33

Таким образом, D Ч х1= D1 èëè õ1 = D1/D. Формулы для х2, õ3 выводятся аналогично.

Пример:

				ì x1 + 2x2 + x3 = 8,
				ï		+ 2x2 + x3 = 10,			x1,		x2	, x3 = ?
				í3x1
				ï		+ 3x3 - 2x3 = 4.
				î4x1
Находим
		2	1												2	1
	1													8
D =	3	2	1	= 1(-7) - 2(-10) + 11 = 14 ¹ 0,								D1 =		10	2	1	= 14,
	4	3	-2											4	3	-2
						8	1			1	2	8
					1
			D2	=	3	10	1	= 28,	D3 =	3	2	10	= 42.
					4	4	-2			4	3	4
Отсюда
			õ1 = D1 /D = 14/14 = 1,						õ2 = D2 /D = 28/14 =2,
						õ3 = D3 /D = 42/14 = 3

1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

Матрицà (1.3) кратко записывается в виде А = (аij), i = 1,m, j = 1,n, и называется прямоугольной матрицей размернос-

%

ти m ´ n. Две матрицы А = (аij), Â = (bij) îäèíàêîâîé ðàçмерности m ´ n называются равными, если аij = bij, i = 1,m, j = 1,n.

Сложение матриц. Суммой матриц А = (аij), Â = (bij) одинаковой размерíîсти m ´ n называется матрица С = (аij + bij), i = 1,m, j = 1,n.

Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам: А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С).

Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матри- цей, обозначается 0; А + 0 = А.

Умножение матрицы на число. Произведениåì матриöû À íà

число m называется матрица В = mА = (mаij), i = 1,m, j = 1,n. Умножение матриц. Произведением матрицы А = (аij) размер-

ности m ´ p на матрицу В = (bij) размерности p ´ n (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк маòðèöû Â) íàçû-

вается матрица С = (ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj), i = 1,m, j = 1,n. Произведение матриц в общем случае не подчиняется переме-

стительному закону: АВ ¹ ВА.

Сочетательный и распределительный законы справедливы:

À(ÂÑ) = (ÀÂ)Ñ, (À + Â)Ñ = ÀÑ + ÂÑ.

Примеры:

	A =	æ 2 -1		3ö		æ1 2		-3ö		3A + B = ?
1)		ç	0	÷	, B = ç		5		÷,
		è5		4 ø		è0			1 ø
	æ 6		-3	9	ö æ1	2	-3		ö æ 7	-1 6 ö
	3A + B = ç				÷ + ç	5	1		÷ = ç	÷
	è15 0 12				ø è0				ø è15 5 13ø

æ 2

-1ö

æ3

-1

ö

ç

÷

2)

A =ç

3 0

÷

,

B = ç

0

÷,

AB = ?

ç

4

1

÷

è 2

ø

è

ø

æ

2

-1ö

æ3

-1ö

æ

2 × 3 + ( - 1) × 2 2 × ( - 1) + ( - 1) × 0ö

æ 4

-2ö

ç

3

0

÷

ç

3 × 3 + 0 × 2

3 × ( - 1) + 0 × 0

÷

ç

9

-3

÷

AB = ç

÷

× ç

÷

= ç

÷

= ç

÷

ç

4

1

÷

è2

0 ø

ç

4 × 3 + 1 × 2

4 × ( - 1) + 1 × 0

÷

ç

14

-4

÷

è

ø

è

ø

è

ø

Для квадратных матриц одинакового порядка умножение всегда возможно. Особое значение при таком умножении имеет еди-

&

ничная матрица Е, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули:

æ1		0	0	0	...	0	ö
ç	0	1	0	0	...	0	÷
ç							÷
E =ç	0	0	1	0	...	0	÷.
ç				...	...		÷
ç... ... ...						...÷
ç	0	0	0	0	...	1	÷
è							ø

Очевидно, что определитель единичной матрицы det E = 1. Легко проверяется, что АЕ = ЕА = А.

Если матрица С = АВ для квадратных матриц А и В, то det C = det A Ч det B. Для квадратной матрицы вводится понятие обратной матрицы.

О: Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если

ÀÀ-1 = Å.

(1.4)

Если выполняется равенство (1.4), то справедливо

À-1À = Å.

Т: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. det A = D ¹ 0 n

Доказательство см. в [1. С.76]. В процессе доказательства получен вид матрицы А-1 для квадратной матрицы А порядка n:

		æ	A	A	...	An	ö
		ç	11	21	...	1	÷
A-1 =	1	ç A12		A22		An2	÷	,
	D	ç ... ...			...	...	÷
		ç		A2n	...		÷
		è A1n				Ann ø

ãäå Aij , i, j = 1,n, — алгебраические дополнения элементов aij определителя

a11	a21	...	an1
D = det A = a12	a22	...	an2 .
... ... ... ...
a1n	a2n	...	ann

'

Пример:

æ	2	1	0	ö
ç	3	2	0	÷	,		-1	= ?
A =ç				÷		A
ç	4	-1	1	÷
è				ø

Определитель

	2	1	0
det A =	3	2	0	= 1 ¹ 0,
	4	-1	1

поэтому обратная матрица существует и

		æ	2	-1	0ö
	-1	ç	-3	2	0	÷
A		=ç				÷
		ç	-11	6	1	÷
		è				ø

Используя действия над матрицами, СЛАУ (1.2) в случае m = n можно записать в виде AX = B, где

æa11	a21	...	an1	ö		æ x1	ö	æ b1	ö
						ç	÷	ç	÷
ç		...		÷		ç x2	÷	çb2	÷
A =ça12	a22		an2	÷	, X	= ç .	÷	, B = ç .	÷
ç ...	...	...	...	÷		ç	÷	ç	÷	(1.5)
ç	a2n	...		÷		ç .	÷	ç .	÷
èa1n			ann ø			ç	÷	ç	÷
						è xn	ø	èbn	ø

и решить при det A ¹ 0 так называемым матричным способом

X = A-1B.

(1.6)

Равенство (1.6) получаем, умножая обе части (1.5) слева на матрицу А-1.

Литература: [1. С. 35–47, 71–100]; [2. С. 320–336]; [5. С. 24–30]; [7. С. 247–272].