Математика Сизов 2011

и вычисление таких пределов и составляет основное содержание контрольных заданий.

Если lim 1, то такие бесконечно-малые называются

эквивалентными.

Их обозначают: . Важным свойством эквивалентных

бесконечно-малых является то, что их можно менять (заменять) друг на друга.

Замечательные пределы

1. lim sin x 1. Первый замечательный предел.
x 0	x
На основе этого предела существуют следующие эквивалентные
бесконечно-малые:
При х 0 x sin x tg x arcsin x arctg x ,

1 cos x

x2

или

cos x 1

x2

.

2

2

x

1

2,71... e ,

lim 1

1

e. Второй

2.

lim 1

x

а

также

x

0

замечательный предел.

3.

lim

logà (1 x)

1

. При

x 0,

logà (1 x)

x

x

ln a

ln a

x 0

Если a e , то lim ln(1 x) 1. При x 0,

ln(1 x) x .

x 0

x

4.

lim

ax 1

ln a , при

x 0, a

x

1

x ln a, a

x

x ln a 1.

x

x 0

Если a e : lim ex

1

1. При õ 0, ex 1 x, ex

x 1.

x 0

x

5.

lim

(1 x)m 1 1,

при

x 0, (1 x)m 1 mx,

где m 0 –

любое.

x 0

mx

На основе 1,3,4,5 пределов можно записать общую формулу

эквивалентных преобразований: при х 0:

1 x

x sin x tg x arcsin x arctg x ln 1 x ln a loga

ex 1 ln1a ax 1 m1 1 x m 1 .

На рис. 3.3 приводится геометрическая интерпретация преобразования эквивалентных бесконечно малых на основе перечисленных пределов в окрестностях нуля.

41

y

y

y

у=x

y=tg(x)

y=argsinx

у=sinx

у=х

x

х

x

у=х

y

y=x

у

y

y=ln(1+x)

y=argtg x

y=cos x

x

x

х

õ2

y=x

y=1

2

y

y eõ 1

y

y=x

y

y=x

y (1 x)2 1

y=

1 x

2

х

1

1

-

-1

-1

x

x

-1

-1

y=

1 õ 1

Рисунок 3.3.

Следует подчеркнуть – в окрестностях нуля трансцендентные функции sinx , tgx , arcsinx, arctgx , lnx, expx, а также двучлен в степени m можно заменить на линейную функцию, а cos x на квадратичную функцию.

Если аргумент функции сложный, т.е. в свою очередь является функцией, то рассмотренные ранее эквивалентные замены справедливы, но при условии стремления этого сложного аргумента к нулю, а сама замена должна быть соответствующей.

42

	Так, если u=u(x), то sin u u , при u 0; еu		u+1, при u 0 и
	т.д.			5x 2
	Пример: х 0 , sin(3x) 3õ,	e7 x3 7x3 1, cos5x 1			,
				2
	ln 1 4x 4x .

3.2. Вычисление типовых пределов

Приводятся типовые пределы с неопределенностями и некоторые способы их вычисления.

			0
Вычисление неопределенностей вида			0 ,	,	0 ,	,
содержащих алгебраические выражения
Неопределенности вида 0	и			преобразованиями
переводятся в неопределенности	вида	0	или		.	Последние
		0

разрешаются единым подходом: необходимо выделить в числителе и знаменателе тот множитель, который дает неопределенность и его

сократить.

Иногда

выделение

такого

множителя

достаточно

«головоломное».

g

g

Пример 1.

x2 -

4

0

(x 2)(x

2)

4

2 .

lim

=

g 0 g

= lim

x(x 2)

2

x® 2 x2 - 2x

x® 2

3(x 1)(x

1

Пример 2.

lim

3x2 4x 1

= g

0

g= lim

3)

2

2

2x2 2x2

x 1

g 0 g

1

x 1

x 1 (x 1)(2x2 1)

Пример 3.

= g

g = lim

lim

x3 - 8

0

(x- 2)(x2 + 2x+ 4)

= lim

x2 + 2x+ 4

=

12

= Ґ

x3 - 4x2 + 4x

2Ч0

x 2

g 0g

x® 2

x(x- 2)2

x®

2 x(x- 2)

Пример 4. lim

3-

2x + 7

=

g

0

g .

g 0 g

x 1

x2 + 6x - 7

Дающий

неопределенность

множитель

(х-1) в знаменателе

выделить

легко, в числителе – труднее. Нужно весь предел умножить

и разделить на сопряженный числитель, т.е на (3

2x 7) .

43

lim

(3

2x 7)(3

2x 7

)

lim

9 (2x 7)

(x 1)(x 7)(3

2x 7

)

(x 1)(x 7)(3

2x 7 )

x 1

x 1

lim

( 2)(x 1)

1

.

2x

7

)

24

x 1 (x 1)(x 7)(3

Пример 5. lim ( 5 -

x) - ( 3 + x) =

g

0

g.

x 1

8 + x - 3

g 0 g

Нетрудно догадаться, что неопределенность дает множитель (х-1), но выделить его непросто. Нужно всё выражение умножить и

разделить и

на сопряженный

числитель

(

5 x

3 x) и на

сопряженный знаменатель

( 8 õ 3) .

lim

5 x 3 x

5 x 3 x

8 x 3

8 x 3 5 x 3 x

8 x 3

x 1

lim

[(5 x) (3 x)](

8 x 3)

x 1

(8 x 9)(

5 x

3 x)

lim

( 2)(x 1)(

8 x 3)

12 3

(x 1)(

5 x

x 1

3 x)

4

Пример 6. lim

3

1+ x - 1

=

g

0

g

.

g 0 g

1+ x - 1

x®

0

Обычное выделение множителя х, дающего неопределенность, не приводит к решению, т.к. опять получается неопределенность. Решение кроется в устранении радикалов любым способом, например, самым простым – заменой переменной, с дальнейшим выделением и сокращением множителя, дающего неопределенность.

3		1+ x - 1			g		1+ x = t6
lim				=
		1+ x - 1					g x ®	0, t ®
x® 0

Пример 7. lim 2x3 32x2 73 x 4x 3x 4x

	g				t	2		- 1												(t -		1)(t + 1)				2
	= lim											= lim													=
1g						3													(t - 1)(t2 + t + 1)
		t® 1 t						-		1					t® 1											3
		x	3		2					3			7
																				2			1
										x				x	2
lim																								.
		x3			4						3		4										2
x
					x						x

44

x

4

5

4

lim 5 4x x

4

1

( 1)

4

x

3

Пример 8.

lim

x

.

3

x

3x 2x

2

x

x2

2

( 2)

x

Пример 9.

1 3

4 2

2

3

3

2

3

3

2

n

2

n

3

(2n

3n 1)

(3n

4)

n

n

2

n

3

lim

lim

4n

3n 1

6

6

n

2

7

9n

2

x

7

9 3

1

n2

4

n2

2

2

n

n

n

3

2

6

3

1

3

4

2

2 3

1

n6

4

n6

3

n

2

3

2

3

n

n

17

n

n

2

3

n

lim

n

lim

6

6

56

n

7

3

1

n

6

7

3

1

n 4

n 9

n

4

9

n2

n

n2

n2

n

n2

.

ж

2

ц

g

ж

ц

3x - 1

3x + 5ч

Ґ

Пример

10.

lim (x -

1)з

-

ч=

Ґ

з

-

ч,

здесь

з

2

g

з

ч

x® Ґ

з

ч

ч

x

x

и

Ґ

ш

и

ш

Ґ

несколько

видов

неопределенностей,

которые

устраняются

последовательно, аналогично арифметическим действиям

g

=

ж

2 ж

1

ц

ж

5

ц

g

ц

ч

з

з3-

ч

xз3

+

ч

зx

2

ч

ч

ж

ц

з

з

з

чч

1

5

и

x

ш

и

x

ш

1)з

ч

1)з3-

ч=

=

lim (x -

-

ч=

lim (x

-

-

3-

2

2

x® Ґ

з

ч

x® Ґ

з

ч

з

x

x

ч

x

ч

з

ч

и

xш

з

ч

з

ч

и

ш

2

ж

1

цж

1

ц

ч

ч

g

g

x

з1-

з- 5 -

g

lim (x - 1) Ч(- 1-

5x)

Ґ

з

чз

ч

=

Ґ Ч0

g =

=

=

lim

и

xши

xш= - 5.

g

g

x® Ґ

й

3

x2

3

g Ґ g

5

x® Ґ

щ

g

x2

Пример

11.

lim

(n

+ 1)(n

+ 3) -

n(n

+

2)

g Ґ

-

Ґ

,

для

к

ъ=

n® Ґ

л

ы

перевода

этой

неопределенности

в

необходимо

разделить и

умножить на сопряженное выражение g g=

45

(n

3

1)(n

3

3)

n(n

5

2)

(n

3

1)(n

3

3)

n(n

5

2)

lim

(n3

1)(n3 3)

n(n5 2)

n

lim

(n3 1)(n3

3) n(n5 2)

(n3 1)(n3

3)

n(n5 2)

n

lim

n6 4n3 3 n6 2n

n

n

3

1

1

n

3

1

1

n

6

1

2

3

3

5

n

n

n

3

ж

2

3

ц

g

g

n

з

ч

з4

-

n

2 +

n

3

ч

= 4 = 2.

=

Ґ

=

lim

и

ш

ж

ц

g Ґ g

n® Ґ

3

ж

1

цж

3

ц

2

2

з

ч

n

з

з1

+

ч

+

ч

+

1

+

ч

з1

ч

з

з

3

чз

3

5

ч

и

ши

ш

з

n

n

n

ч

и

ш

Пример

12.

lim

(3 n + 2 - 3 n - 3)

g

Ґ - Ґ

, для

устранения

(

n + 7 - n - 3)

=

Ґ - Ґ

n® Ґ

g

неопределенности вида ( ) в числителе нужно все выражение умножить и разделить на неполный квадрат суммы числителя, а в знаменателе - нужно все выражение умножить и разделить на

сопряженный знаменатель.													g		lim						3	n			2	3	n 3
3 (n 2)2										g							n					n 7 n						3
		3	(n 2)(n 3)										3			(n 3)2									n 7				n 3
3 (n 2)2		3 (n 2)(n 3)2											3 (n 3)2												n 7				n 3
lim			(n 2) (n 3)															n 7							n 3
	(n 7) (n 3)						3 (n 2)												(n 2)(n 3) 3 (n 3)2
n																2	3
							n		1		7						n			1			3
				5
											n												n
lim
						2																									2
n		2		2												2					3							3
	10 3 n							3 n		2														3 n		2
		1		n							1					n	1				n						1	n

46

																		n					1				7					1				3
																											n									n
lim
																				2																																	2
n																2														2							3									3
	2		3	n	2
										3 1						n						3 1								n	1						n					3	1				n
																						1		7						1				3
																								n										n																								2
lim																																																												0 .
																																																										2 3
n															2			2											2							3									3						2
	26 n				3																																		3
										1					n								3 1							1						n						1			n
																													n
Вычисление неопределенности 1∞
		В конечном счете, эта неопределенность сводится ко 2-му
замечательному пределу:																										u																				1
																								1
														lim															å или									lim(1 V )V													e,
																				1				u
													u																									v 0
где u u(x),										V V (x)													– любые непрерывные функции от х.
		Иногда полезно воспользоваться																																					7-м свойством пределов:
																	lim						f (x)					g ( x)						lim f (x)										lim g x								.
																																												x
																	x																x
		Вот типичный пример, когда																																	f (x)					и g(x) – алгебраические
выражения.											5x 1 3x 1																					5x 6 7 3x 1
Пример 13. lim
																									lim									5x				6
								x			5x 6																	x
																																				3x 1
						( 7)					3x 1																				1
lim	1																lim							1
					5x 6																								5x 6
x																					x
																														( 7)
																																																											( 7)(3x 1)
																7 5x 6																																				5x 6						lim		5x 6
																																																										x
																						7		(3x 1)																												(		7)
															5x 6
								1																																				1
lim	1																													lim								1
																																										5x			6
x					5x 6																											x
						( 7)																																				( 7)
								1
		( 7) x 3						x
lim
						6								21
x																							1
e			x 5			x				e
																5									.
																						5 e21

47

Вычисление неопределенностей с помощью замечательных пределов.

Общий подход: неопределенность 00 , выраженная известными трансцендентными функциями, с помощью 1, 3, 4, 5 замечательных пределов преобразуется в неопределенность 00 , выраженную

алгебраическими функциями, которая разрешается сокращением в числителе и знаменателе множителя, дающего эту неопределенность.

Пример 14.

ж

ц

g

g

ж

ц2

sin 3x tg

2 з

x

ч

sin 3x » 3x, arсsin

2x »

2x

3x

з

x

ч

з

ч

з

ч

3

и5

ш

и5

ш

.

lim

=

x

x

= lim

=

(arcsin 2x)

3

tg

»

,

x ® 0

(2x)

3

200

x® 0

x® 0

5

5

g

g

Пример

15.

lim cos3x - cos x

=

g

0 .

Эквивалентные

замены

x® p

tg2 (2x)

g 0

тригонометрических функций на алгебраические производить нельзя, т. к сам аргумент х не является бесконечно малой. Нужно перейти к новой переменной, которая была бы бесконечно малой и далее

действовать

по

известному

плану:

t = x -

p, x ® p, t ® 0

g

cos3(t ) cos(t )

lim

g

t 0

tg2[2(t )]

= lim cos3t cos3p - sin3t sin3p -

cost cosp + sint sinp = lim cost -

cos3t

=

t® 0

tg2 (2t + 2p)

t® 0

tg2 (2t)

g

(3t)

2

t

2

g

1-

t

2

- 1+

(3t)

2

8t2

cos3t » 1-

;cost » 1-

2

2

=

2

2

= lim

= lim

2 =

1.

(2t)

2

8t

g

tg2t » 2t

g

t® 0

t® 0

Пример 16. lim ln(1+ 4x)

g

ln(1+ 4x) » 4x

g

4x

= 2 .

=

e2 x - 1» 2x g

= lim

x® 0

e2 x - 1

g

x® 0

2x

Пример 17.

x

x

lim

lg x - 1

=

0

= lim

lg10

=

lim

lg eЧln 10 =

g

g 0 g

g

x® 10 x - 9 - 1

x® 10 x - 9 - 1

x® 10 x - 9 - 1

48

g

g

ж

+ 10

ц

ж

t

ц

t = x -

10, x ® 10

lg eln

зt

ч

lnз1

+

ч

з

ч

з

ч

=

= lim

и 10

ш

= lg elim

и

10ш=

x = t + 10, t ® 0

t + 10 -

9 - 1

g

g

t® 0

t® 0

1+ t - 1

g

ж

ц

t

t

g

t

lg e

10

lnз1+

t ч

,

1+ t - 1

= lg elim

.

=

ч»

»

=

з

ч

t® 0 t

g

и

10ш 10

2 g

5

=g

2

Пример 18. lim ln(x

2x 3)

0

. Непосредственный переход к

x 2

sin

2 x

g

0

2

новой переменной t= x - 2, с последующей заменой эквивалентных бесконечно малых приведет опять к неопределенности 00 . Нужно

предварительно «разрушить» скрытый ноль в числителе с помощью сопряженного

g

выражения. =

g

й

ж

2x -

3

цщ

2

к

зx +

ч

x

-

2x + 3

ъ

ln (x - 2x - 3)

ч

з

к

чъ

ln

g

к

з

2x -

3

ч

x

+

2x -

3

t

= x - 2, x ® 2

иx +

шъ

= lim

л

ы=

lim

=

2 p x

2 p x

x = t + 2, t ®

0

x® 2

sin

x® 2

sin

g

g

2

2

ln

t 2

+ 4t + 4 - 2t - 4 + 3

ln

t2 + 2t + 3

g

= lim

t + 2 +

2t + 4 - 3

= lim

t +

2 +

1

+ 2t

=

1+ 2t » 1 2t + 1

t® 0

й

щ

t® 0

й

щ

sin2

кp

(t +

2)ъ

sin

2 кpt

+

p

ъ

g

2

g

к2

ъ

к2

ъ

л

ы

л

ж

ы

ц

2

2

t

2

t

+ 2t + 3

t +

2t + 3

lnз1+

ч

ч

ln

ln

з

ч

з

= lim

t + 2 + t + 1

= lim

2t

+ 3

= lim

и

2t + 3ш

=

2 pt

t® 0

ж

ц2

t® 0

sin

2 pt

t® 0

sin

з-

sin pt ч

2

2

з

ч

и

2 ш

g

ж

t

2

ц

t

2

pt

pt

g

t

2

4

з

ч

=

ln

з1

+

ч»

, sin

»

= lim

=

.

2t + 3

2

2 g

ж

ц2

3p 2

з

2t + 3ч

t® 0

g

и

ш

(2t +

зpt

ч

3)з

ч

и

2 ш

g

=

g

=

49

Пример 19.

2x + 7 - 2x+1 + 5

g

0

t = x- 1, x= t + 1

g

2t+1 + 7 - 2t+ 2 + 5

lim

=

,

= lim

=

x2 - 1

g 0

x® 1, t ® 0

t2 + 2t + 1- 1

x®1

g

t®0

lim

(

2 2t 7

4 2t

5)(

2 2t

7

4 2t

5)

t

t

t 0

t(t 2)(

2 2

7

4

2

5)

= lim

2Ч2t + 7 - 4Ч2t - 5

= lim

- 2Ч2t + 2

=

2Ч2t + 7 +

4Ч2t

+ 5)

2Ч2t

+ 7 + 4Ч2t

+ 5)

t® 0 t(t + 2)(

t® 0 t(t + 2)(

=

g

g

2t

» t Чln 2 + 1

g = lim

(- 2)(t ln 2 + 1) + 2

= - ln 2.

g

t® 0 t(t + 2)(

2Ч2t + 7 +

4Ч2t + 5)

6

Пример 20.

g

g

1

x

x

1

ж

2

x

цln(1+ tg

3x)

Ґ

sin

»

x

ч

2

ж

2

цln(1+ 9 x2 )

limз1-

sin

ч

=

1

,

2

2

= limз1-

ч

=

x® 0

з

ч

x®

з

ч

ч

0з

4

и

2ш

•

tg3x » 3xg

и

ш

4

x

2

1

x2

4

9 x2

2

2

1

ln(1 9x

)

9x

lim

1

4

x 0

x

2

x2

4

lim

2

x 0

4 9 x

x2

1

e

1

1 .

36

lim

1

x 0

4

36 e

x

2

50