elemen_teorija

Введем отображение ρ : 1, q −→ p + 1, p + q, для которого

	(1.6.25)
ρ(j) = p + j j 1, q.

Напомним, что ρ1(1, q) P(p + 1, p + q) есть (см. (1.2.1)) такое множество, что: 1) ρ(j) ρ1(1, q); 2) y ρ1(1, q) j 1, q : y = ρ(j). Иными словами

(см. (1.2.2)),

ρ1(1, q) = {ρ(j) : j 1, q}.

Если s p + 1, p + q, то s − p 1, q и при этом в силу (1.6.25) ρ(s − p) = s. Поэтому p + 1, p + q ρ1(1, q), откуда следует совпадение множеств ρ1(1, q) и p + 1, p + q и, стало быть,

ρ p + 1, p + q 1(,q).

Если же j1 1, q, j2 1, q и ρ(j1) = ρ(j2), то в силу (1.6.25) p+j1 = p+j2,

а потому j1 = j1. Следовательно, i1 1, q i2 1, q

()

ρ(i1) = ρ(i2) = (i1 = i2).

Сучетом ранее доказанной сюръективности ρ получаем:

ρ(bi)[1, q; p + 1, p + q].

В частности, (см. § 1.4) q = |p + 1, p + q|. Из определений § 1.4 вытекает равенство

∑∑q

ckwk(x ) = cρ(j)wρ(j)(x ). (1.6.26)

			j=1
	k p+1,p+q

Но при j 1, q имеем в силу (1.6.17) и (1.6.25), что cρ(j) = bρ(j)−p = bj; кроме того, из (1.6.18) и (1.6.25) wρ(j) = ψρ(j)−p = ψj. В итоге, из (1.6.26) вытекает равенство

	∑		q
			∑	(1.6.27)
		ckwk(x ) =	bjψj(x ).
k p+1,p+q			j=1

Из (1.6.21) — (1.6.24) и (1.6.27) мы получаем теперь цепочку равенств

p+q	p	q
∑	∑i	∑
h(x ) =	csws(x ) =	aiφi(x ) + bjψj(x ) = (u + v)(x ).
s=1	=1	j=1

60

Коль скоро x выбиралось произвольно, то h = u+v и (см. (1.6.19)) u+v Γ. Поскольку выбор u, v также был произвольным, установлено, что

f + g Γ f Γ g Γ.

(1.6.28)

Из (1.6.2), (1.6.11) и (1.6.28) вытекает включение

Γ (LIN)[RX ],

откуда с учетом (1.6.4), (1.6.10) получаем: Γ (LIN)[RX | M]. Но в этом случае согласно (1.6.7) (sp)[M] Γ и, с учетом (1.6.9) реализуется равенство (sp)[M] = Γ, чем и завершается обоснование (1.6.8). 2 Итак, при всяком выборе непустого множества M, M RX , наименьшее по вложению линейное подпространство RX , еще содержащее M, или линейная оболочка M, имеет вид (1.6.8), т. е. представляет собой множе-

ство всех линейных комбинаций функций из M.

Введем еще одно полезное определение: множество K P′(RX ) называется конусом, если

	αf K α ] 0, ∞[ f K
(мы ограничиваемся рассмотрением непустых конусов).		Отметим, что
P′(H) P′(RX ) при H P′(RX ). В этой связи полагаем, что
(cone)[H] =	{K P′(H) | αf K α ] 0, ∞[ f K} H P′(RX );

(1.6.29) в (1.6.29) введено множество всех (непустых) конусов, содержащихся в H.

В частности,

{ }

(cone)[RX ] = K P′(RX ) | αf K α ] 0, ∞[ f K . (1.6.30)

В дальнейшем мы будем, наряду с (1.6.30), сталкиваться с ситуациями, когда имеет смысл рассматривать конусы из множеств типа (1.6.29).

Как видно из вышеизложенного, мы рассматриваем (см. §§ 1.5, 1.6) линейные операции, умножение и порядок в пространствах в/з функций, определяемые поточечно. Это достаточно для очень многих приложений, а также для теоретических построений настоящей книги, связанных с мерами и интегралами. Кроме того, мы получаем возможность для реализации достаточно простого способа нормирования пространств ограниченных в/з функций с фиксированной областью определения: речь идет об использовании традиционной sup −нормы (чебышевской нормы). Других вариантов

61

линейных структур не рассматриваем; см., в частности, в этой связи общие конструкции монографии [10]. В этой связи отметим линейные операции над классами эквивалентности в [10, гл. III] в пространствах суммируемых функций.

§1.7. Семейства подмножеств заданного множества со специальными свойствами; метрические пространства

Внастоящем параграфе мы рассматриваем некоторые важные в дальнейшем типы семейств п/м фиксированного множества: мультипликативные семейства, полуалгебры, алгебры, σ−алгебры множеств, а также (совсем кратко) топологии. Мы фиксируем в пределах данного параграфа произвольное множество X (случай X = не исключается). Множества и X играют в этих построениях роль «нуля» и «единицы». Наши обозна-

чения согласуются с

[27,28].

Всюду в дальнейшем полагаем, что

}

π

X

{

′

(

)

X

L) & (

A

∩

B

A

X

B

[

] = L P

P( ) | ( L) & (

L L L) ;

(1.7.1)

элементы π[X], т. е. семейства X π[X], называем далее мультиплика-

тивными семействами п/м X с «нулем» и «единицей». Из (1.4.9) и (1.7.1)

имеем, в частности, что A P(X)

L π[X]

n N

{

i

n

∆n(A, L) = (Li)i 1,n Ln | (A = Li) & (Lp ∩ Lq =

=1

}

p 1, n q 1, n \ {p}) . (1.7.2)

В (1.7.2) имеем множество всех L−разбиений множества A порядка n. Тогда

	(1.7.3)
Π[X] = {L π[X] | L L n N : ∆n(X \ L, L) ̸= }

есть множество всех полуалгебр п/м X, определяемых как семейства из множества (1.7.1) с дополнительным свойством конечного разбиения дополнений. С учетом (1.7.1) и (1.7.3) имеем в виде

(alg)[X] = {L Π[X] | X \ L L L L} =

62

= {L π[X] | X \ L L L L} P(Π[X])

(1.7.4)

множество всех алгебр п/м X, определяемых каждая как «усовершенствованная» полуалгебра. Из (1.7.1), (1.7.4) вытекает, что

( )

(alg)[X] P′ P(X) ;

данное свойство позволяет рассматривать счетные объединения и счетные пересечения множеств из наперед выбранной и зафиксированной алгебры п/м X, получая при этом всякий раз п/м X. Тогда

(σ − alg)[X] =	L (alg)[X]			iN Li L (Li)iN LN		=
	{					}
= L (alg)[X]		iN	Li L (Li)iN LN			(1.7.5)
{		∩			}
есть множество всех σ−алгебр п/м X. Мы получили своеобразную шкалу
измеримых структур:
(σ − alg)[X] (alg)[X] П[X] π[X] P′(P(X)).						(1.7.6)

Если L Π[X] (L (alg)[X]), то пару (X, L) называем ИП с полуалгеброй (алгеброй) множеств; если L (σ − alg)[X], то ИП (X, L) называем стандартным. В конструкциях теории меры определяются и широко используются функции, определенные на L, где L есть мультипликативное семейство, полуалгебра, алгебра или σ−алгебра п/м X. Мы будем ограничиваться использованием в/з функций упомянутого типа; в дальнейшем называем их функциями множеств (ФМ). Конкретные примеры ИП вышеупомянутых и соответствующих шкале (1.7.6) типов приведены в [27,28]; они хорошо известны. Ограничимся сейчас одним простым примером ИП с полуалгеброй множеств.

Пример. (см. [28, c. 116]). Пусть (в данном примере) X = N ,

Z1 = {pr1(z), pr2(z) : z N × N},

2	=		−−→		:	n	,		=	1 2	.
Z		{	n,	∞				Z		Z Z
							N }

Тогда Z Π[X], т. е. (X, Z) = (N , Z) есть ИП с полуалгеброй множеств.

2

Располагая полуалгеброй п/м X, можно построить (см., в частности, [27, c. 96], [28, c. 95], [23, c. 46]) наименьшую по вложению алгебру п/м X, еще

63

содержащую данную полуалгебру. Эту алгебру называют алгеброй, порожденной упомянутой полуалгеброй. На самом деле можно рассматривать

алгебру п/м X, порожденную произвольным семейством п/м X. В самом

( )

деле, если X P P(X) (иными словами, X есть семейство п/м X), то

	(1.7.7)
(alg)[X | X] = {L (alg)[X] | X L}

есть непустое семейство, поэтому определено пересечение всех множеств семейства (1.7.7) и, более того,

o				(alg)[X | X].	(1.7.8)
aX	(X) =	(alg)[X
	L	∩	| X

Поэтому aoX (X) (1.7.8) называем алгеброй, порожденной семейством X : aoX (X) — наименьшая (по вложению) алгебра п/м X, еще содержащая се-

мейство X. В [23, гл. I] указан конкретный способ построения алгебры

( )

(1.7.8) для любого X P P(X) . Мы ограничиваемся сейчас тем весьма распространенным случаем, когда X — полуалгебра п/м X. Имеем тогда

aoX (X) = {A P(X) | n N : ∆n(A, X) ≠ } X Π[X]. (1.7.9)

Итак, переход от полуалгебры п/м X к алгебре, порожденной данной полуалгеброй, сводится к очень простой процедуре (см. (1.7.9)).

Из (1.7.4) легко извлекаются следующие свойства алгебры множеств. Именно, если L (alg)[X], то

	( L)& (X L)& (X \ L L L L)& ( A L B L
	(A ∩ B L) &(A B L) & (A \ B L) & (A B L));		(1.7.10)
рассуждением по индукции получаем из (1.7.10), что n N			(Li)i
				1,n
Ln	n	n
	∩
	(i=1 Li L)	& (i=1 Li L).	(1.7.11)

Полезно отметить следующий вариант (1.7.11): если A (alg)[X] и K

Fin(A), то	∩
	(A K A A)	& (A K A A).	(1.7.12)

Свойства (1.7.10) — (1.7.12) дают наглядное представление об алгебре множеств, как о весьма «удобном» семействе множеств. Однако уже операции

64

счетного объединения и счетного пересечения могут «выводить за пределы» исходной алгебры множеств (см. пример в [27, c. 96–100]). В це-

лом ряде практически интересных задач требуется поэтому обращение к σ−алгебрам множеств; { ; X} и P(X) — суть простейшие примеры σ−алгебр п/м X. ( )

Если X P P(X) , то семейство

	(1.7.13)
(σ − alg)[X| X] = {L (σ − alg)[X] | X L}

непусто, т. к. P(X) (σ − alg)[X | X], а потому определено пересечение всех множеств данного семейства (1.7.13); более того,

	o							L (σ − alg)[X | X].		(1.7.14)
	σX	(X) =			(σ	alg)[X	| X
								]
				L		−∩
Итак, в (1.7.14) определена наименьшая σ−алгебра п/м X, еще содержа-
щая семейство X. В этой связи отметим следующий простой
Пример. Пусть X =										L L1	} и
					[ 0, 1], L1 = ω[X],				L2 = {X \ L :
	Тогда L (σ − alg)[X]; см. [27, c. 103–106].
L = L1 L2.
	{t}	: t X				(в данном примере), то, как показано в					[27,
Если X =
	= σo (		X	). Итак, построена σ					алгебра п/м отрезка [ 0, 1],
c. 107–109], L{		X			}				−
порожденная семейством всех одноточечных п/м этого отрезка.											2

Отметим, что построение σ−алгебры (1.7.14), порожденной тем или иным семейством, является в общем случае делом, чрезвычайно трудным. Можно, однако, указать некоторые полезные представления (см. в этой связи [23, гл. I]). Речь идет о представлениях в терминах монотонных семейств п/м заданного множества. В этой связи полезно отметить следующее

Замечание 1.7.1 Вернемся к общему определению функции § 1.1 (см. (1.1.16)). Учтем также определение множественнозначной функции § 1.2. Будем рассматривать множественнозначные последовательности, т.е. множественнозначные функции f, для которых Dom(f) = N . Итак, f есть множественнозначная последовательность, если f есть функция в смысле определения (1.1.16), для которой Dom(f) = N и при всяком выборе n N значение f(n) функции f есть множество. Если, кроме того, F есть

множество, то полагаем, что:

1) f ↑ F если F = f(i) и, кроме того, f(k) f(k + 1) k N ;

iN

∩

2) f ↓ F, если F = f(i) и, кроме того, f(k + 1) f(k) k N .

iN

65

iN

Наконец, при вышеупомянутых условиях на f и F полагаем, что

def	((f ↓ F ) (f ↑ F )).	(1.7.15)
(f ↓↑ F )

Напомним, кстати, что для множественнозначной функции h, у которой Dom(h) ≠ , множество Im(h) непременно является непустым семейством. В частности, это верно для множественнозначной последовательности, а

потому определены множества

( ) ( ∩ )

S &	S ;	(1.7.16)
S Im(h)	S Im(h)

если же при этом h есть множественнозначная последовательность, то множества (1.7.16) имеют следующий вид (см. § 1.1)

(S			(S	∩	∩
	Im(h) S = i N h(i))&			Im(h) S = i N h(i)).

Тем самым в терминах построений § 1.1 определены операции объединения

и пересечения в 1), 2).

2

Если мы «работаем» в семействе P(X) всех п/м X, то определения 1), 2) замечания 1.7.1 вполне применимы к последовательностям в P(X) и множествам из P(X); последовательности удобно при этом записывать в индексной форме. Итак, в согласии с замечанием 1.7.1 имеем при всяком

выборе последовательности (Ai)i N P(X)N и множества A P(X), что
1′) ((Ai)iN ↑ A) ((A = iN Ai) & (Ak Ak+1 k N )),
2′) ((Ai)iN ↓ A) ((A =	∩ Ai) & (Ak+1 Ak k N ));

кроме того, имеем при упомянутых условиях на (Ai)iN и A, что

( ) (( ) ( ))

(Ai)iN ↓↑ A (Ai)iN ↓ A (Ai)iN ↑ A

			(	)
(мы учли (1.7.15)). Если H P P(X) , то полагаем, что
	A	X	H	i)iN H	N	: (	H	i)iN ↓↑	A	}	(1.7.17)
mX [H] = {		P(	) | (

(заметим, что H P(X) и, как следствие, HN P(X)N ); можно рассматривать (1.7.17) как множество всех монотонных пределов множеств из H. Тогда

(MO)[X] = {M P(P(X))| M = mX [M]}

(1.7.18)

66

есть множество всех монотонных (т. е. замкнутых относительно монотонных пределов) семейств (или монотонных классов) п/м X, причем, как легко проверить,

(σ − alg)[X] = (alg)[X] ∩ (MO)[X];

(1.7.19)

смысл (1.7.19) очень прост: алгебра п/м X является σ−алгеброй тогда и

только тогда, когда она является монотонным семейством (классом). По-

( )

лагаем при X P P(X) , что

(MO)[X | X] = {M (MO)[X] | X M};

ясно, что P(X) (MO)[X | X], и, следовательно, (MO)[X | X] — непустое семейство, для которого (см. § 1.1) определено пересечение всех множеств данного семейства; более того,

o				M (MO)[X | X].	(1.7.20)
mX	(X) =	(MO)[X
	M	∩	| X

В (1.7.20) определено наименьшее по вложению монотонное семейство п/м X, еще содержащее X. Заметим, что в качестве X можно, в частности, использовать алгебру п/м X. Более того, [23, гл. I], [3] (см. также [27]),

σXo (A) = mXo (A) A (alg)[X];

(1.7.21)

стало быть, σ−алгебра п/м X, порожденная алгеброй A (alg)[X], совпадает с монотонным семейством п/м X, порожденным этой алгеброй. Представление (1.7.21) может использоваться и при рассмотрении σ−алгебры, порожденной произвольным семейством п/м X, поскольку, как легко проверить,

см., в частности,	σXo (X) = σXo aXo (X) X P P(X) ;
	[26, c. 124].	Поэтому с учетом (1.7.21) имеем
		(	)	(	)
	σXo (X) = mXo (aXo (X))			X P(P(X)).		(1.7.22)

Мы ограничимся сейчас упомянутыми сведениями, отсылая за более подробной информацией к [10, 12, 14], [3, 4, 23, 32] (см. также [27, §§ 3, 4]). Сейчас совсем кратко познакомимся с другим типом семейств п/м фиксированного множества, а именно с топологиями этого множества. Используем (1.7.1); тогда

(top)[X] = {τ π[X] |	G τ G P(τ)} =
	GG

67

	(1.7.23)
= {τ π[X] | G τ G P′(τ)}

GG

есть множество всех топологий множества x. Если τ (top)[X], то пару (X, τ) называют топологическим пространством (ТП), а σ−алгебру

σXo (τ) (σ − alg)[X]

(1.7.24)

σ−алгеброй борелевских п/м X, полагая, конечно, что эта σ−алгебра соответствует заданному ТП (X, τ); будем называть также (1.7.24) борелевской σ−алгеброй п/м X. Отметим также, что множества G τ принято называть открытыми в ТП (X, τ) или просто открытыми, если ясно, о каком ТП идет речь. Обычно топологии задают с помощью специальных и зачастую более просто устроенных семейств — баз или базисов. Мы не рассматриваем эти конструкции, отсылая к многочисленной литературе по общей топологии; см., например, [1,6,13,33]. Ограничимся сейчас рассмотрением семейства окрестностей точки в фиксированном ТП. Если τ (top)[X] и x X, то

No x		G		τ	|	x		G	′ τ	(1.7.25)
τ (	) = {								} P ( )

(заметим, что X Nτo(x)); в терминах (1.7.25) определяем семейство (а, точнее, фильтр [6, гл. I]) всех окрестностей x в ТП (X, τ) :

	o	(x) : G H}.	(1.7.26)
Nτ (x) = {H P(X) | G Nτ

Из (1.7.25) и (1.7.26) легко следует, что Nτo(x) = Nτ (x) ∩ τ (легко видеть, что x H H Nτ (x)), а тогда (1.7.25) — семейство всех открытых в (X, τ) окрестностей x.

Окрестности могут выступать в качестве инструмента для различения точек ТП. Ограничимся сейчас наиболее употребительным случаем хаусдорфова (или отделимого) ТП: если τ (top)[X], то ТП (X, τ) называют хаусдорфовым, если x1 X x2 X

(x1 ≠ x2) = ( H1 Nτ (x1) H2 Nτ (x2) : H1 ∩ H2 = ). (1.7.27)

С учетом (1.7.27) мы получаем, что

{

(top)o[X] = τ (top)[X] | x1 X x2 X \ {x1} H1 Nτ (x1)

}{

H2 Nτ (x2) : H1 ∩ H2 = = τ (top)[X] | x1 X x2 X \ {x1}

68

}

G1 Nτo(x1) G2 Nτo(x2) : G1 ∩ G2 = (1.7.28)

есть множество всех хаусдорфовых топологий множества X. Иными словами, (1.7.28) есть множество всех топологий X, обладающих каждая свойством, указанным в (1.7.27). Говоря о конкретных способах построения хаусдорфовых топологий, ограничимся сейчас замечанием о том, что такие топологии естественно возникают при использовании метрик или расстояний; см. [1,13,33].

Сейчас, возвращаясь к (1.7.26), введем важное понятие замыкания множества в ТП: если τ (top)[X] и A P(X), то полагаем, что

cl(A, τ) = {x X | A ∩ H ̸= H Nτ (x)} =
= {x X | A ∩ G ̸= G Nτo(x)};	(1.7.29)

множество (1.7.29) именуется замыканием A в ТП (X, τ). С (1.7.29) логично

связать понятие замкнутого множества. Для этого, однако, уместно ввести

( )

одно общее определение: если X P P(X) , то

	(1.7.30)
CX [X] = {X \ U : U X};

в связи с (1.7.30) имеет смысл вспомнить понятие образа множества. В самом деле, введем отображение

f		X	\	U	X	P(X).	(1.7.31)
	= (				)UP(X) P( )

Иными словами, f есть следующее правило

U −7→ X \ U : P(X) −→ P(X);

при этом, конечно, для f имеем следующие представления значений:

f(U) = X \ U U P(X).

Тогда (1.7.30) есть «обычный» образ семейства X : (1.7.30) есть множество f1(X) в интерпретации, соответствующей (1.2.1), (1.2.2). Следовательно, (1.7.30) есть единственное семейство, обладающее свойствами

( ) ( )

X \ U CX [X] U X & V CX [X] W X : V = X \ W .

69