TPI_slaydy

Средняя длина свободного пробега

l =

L

= ∞∫ξ f (ξ)dξ =

∞∫ξ Σ exp(−Σ ξ)dξ =−∞∫ξ d(exp(−Σ ξ))=

J0

0

0

0

= −ξ exp(−Σ ξ)

0∞ + ∞∫exp(−Σ

ξ)dξ =0 −0 −

1

exp(−Σ

ξ)

0∞ =

1

Σ

Σ

0

1

1

l =

[см]

la =

Σ

Σa

1

1

1

−1

1

l =

ls

=

=

+

сравним с

Σs

Σ

la

ls

обычным

1

определением l

l f

=

Σ

f

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

1.7. Плотность столкновений
малый V	1.	Движение хаотическое по направле-
		нию, но | v | = v = const.
	2.	Только реакция поглощения (Σa).
	3.	В объеме отсутствуют источники.
	4.	Непроницаемые стенки
		(зеркальное отражение от стенок)
n(x,y,z,t) – плотность частиц в момент времени t.

	F (	V , t) n(x, y, z, t) V			- количество частиц в момент t.
				Какое количество частиц поглотится
	t			в	V за t ?
		t + t

Огородников И.Н.	C0( V, t) = ?
					Теория переноса излучения
[e-mail]

Эквивалентная задача

S

J0

Пусть

C0 ( V , C0 ( V ,

		Z				J0 = F(		V,t)
							l = v·	t
							V =	l· S
	l				N V
	t → 0, V → 0 NS			=			= N l = N v t
					S

t) = J0 σa NS = J0 σa N v t

t) = F( V , t) σa N v t V n(x, y, z, t) σa N v t

C0 ( V , t) n v Σa V t

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Учет источников частиц

Снимем ограничение «3. В объеме отсутствуют источники».

1см

3

q (x,y,z,t ) – функция источника

частиц

с см

3

z

r(x,y,z)

y

t

t + 1с

x

добавочное количество частиц за

t

Q V = ∫dt ∫q(x, y, z, t)dV q(x, y, z, t) V t

t

V

было

n(x, y, z, t) V

q(x, y, z, t) V

t

С0

поглощение

стало

(n v Σ

a

V )

t

C ( V , t) A (

V

t)

t

1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Учет проницаемости стенок

Снимем ограничение «4. Зеркальное отражение от стенок».

n

n

S V =ε

перенос частиц через

	ε		jn(r ) S t и jn(r +
		Q =			→		→			→
				j	( r ) − j		(r	+ε n)
			S	n		n
			→		→		→
S			jn (r ) − jn (r			+ε n)			ε	S
					ε

	S за			t будет
	ε n )			S t
	S	t =
	t ≈	∂jn		V t
		∂ε
				ε=0

					B1	V	t
было	n(x, y, z, t) V
	поглощение
стало	С0
	(n v Σa V ) t				C2 (	V ,	t) B ( V t) t

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Плотность столкновений

C( V , t) = C0 +C1 +C2 = (n v Σa + A t + B t) V t

dC

C

(n v Σ

+ A t + B t)

V

t

=

lim

=

lim

a

d( V t)

|

| V

| V t|→0

V t |

| V t|→0

t |

dC

= n

v Σa

ϕ(r , t) ≡ n(r , t) v

плотность потока

d( V t)

[с-1·см-2]

плотность столкновений

ϕ(rr, t) Σa

- поглощение

r

- рассеяние

t2

ϕ(r , t) ΣS

C(V,t2

r

r

- деление

-t1 ) = ∫dt∫ϕ(r , t) Σa dV

ϕ(r , t) Σf

t1 V

r

r

r

ϕ(r , t) Σ =ϕ(r , t) Σa +ϕ(r , t) ΣS

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

2

Односкоростное диффузионное уравнение

	Огородников И.Н.	Теория переноса излучения
	[e-mail]

2.1. Операторы и приближения

∂

r

∂

r

∂

r

оператор градиента (набла)

≡

i

+

j

+

k

∂x

∂y

∂z

≡ 2 ≡

≡

∂2

+

∂2

+

∂2

оператор Лапласа

∂x

2

∂y2

∂z2

≡ 1

∂

∂

1

∂

2

+

∂

2

ρ

+

ρ

ρ

2

∂ψ

2

∂z

2

∂ρ

∂ρ

1

∂

∂

1

∂

∂

≡

r2

+

sinθ

+

r2

r2 sinθ

∂r

∂r

∂θ

∂θ

	1		∂2
	r2 sin2 θ		∂ψ 2

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Диффузионное приближение

1.Среда бесконечно протяженна и однородна.

2.В среде нет источников частиц.

3.Среда преимущественно рассеивающая:

4.	Σa << Σs	Σs ≈ Σ .
	Рассеяние изотропно в лабораторной системе
	координат.
5.	Среднее время между двумя актами рассеяния τ и
	характерное время T изменения любой функций:
	τ = ls /v << T

Приближения п.1 и п.2 будут в дальнейшем редуцированы.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

2.2. Плотность диффузионного тока

Верхнее полупр-во

(z > 0)

S	N_
t	Y
X

Нижнее полупр-во

(z < 0)

Задача Определить количество частиц

N_, перенесенных из верхнего полупространства в нижнее через площадку S за t.

| v | = v = const

диффузионная среда

			r		dN−			N−
	j	−	(r	= 0,t) =		= lim
					d( S t)
						tS→→00		| S t |

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]