книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

Т а б л и ц а 2.11

Касательные напряжения тр0/р на контакте обделки с массивом

				Е , / Е 0
ф		0,25	0,5	1,25	2	3,5
0,2	л	0,065	0,091	0,155	0,158	0,255
0,8	л	—0,065	—0,074	—0,109	—0,115	—0,133

при увеличении отношения Ег/Е0 растут по абсолютной величине.

Т а б л и ц а 2.12

Нормальные тангенциальные напряжения сге/р на внутреннем контуре

E J E ,

ф		0,25	0,5	1,25	2	3,5
0	л	0,24	0,65	1,65	2,61	3,5
0,25		0,36	0,82	1,93	2,58	3,84
0,5 л		—0,43	—0,38	—0,24	0,23	0,41
0,8	л	1,64	2,76	5,46	6,3	10,32
Я		—0,39	—0,29	0	0,45	0,61

Данные табл. 2.12 свидетельствуют о том, что с увели­ чением отношения EJE0растягивающие нормальные танген­ циальные напряжения на внутреннем контуре сечения обделки возрастают, причем при изменении Ех/Е0они также меняют знак, являясь, например, при ЕХ1Е0 — 0,5 на части контура сжимающими, уже при Ег/Е0 = 2 они становятся по всему контуру растягивающими.

Рассмотрим влияние значений коэффициентов Пуассона материала обделки и окружающей горной породы на напря­ женное состояние обделки. В табл. 2.13—2.16 приведены

Та б л и ц а 2.13 Нормальные напряжения ор/р на контакте обделки с массивом

Ф		Vj=vo=0,3	V!=Vo=0,2	Vi—0,2;	Vi=0,4;
				V0—0,4	V0=0,2
0	л	—0,47	—0,47	—0,54	—0,43
0,5		—0,85	—0,84	—0,9	—0,83
0,8	л	—0,57	—0,58	—0,52	—0,6
Л		—0,67	—0,67	—0,75	—0,63

100

величины напряжений в характерных точках обделки с те­ ми же геометрическими параметрами при отношении EJE0 = 1,25 и различных значениях и v0.

Т а б л и ц а 2.14

Нормальные тангенциальные напряжения сгд/р на внешнем контуре

ф		V i = v „ = 0 , 3	V 1= V o = 0 , 2	V i = 0 , 2 ;	V i = 0 , 4 ;
				Vo— 0 , 4	V0= 0 , 2
0	л	1,01	1	0,98	1,03
0,25		1,24	1,19	1,11	1,37
0,5	л	0,13	0,14	0,32	0
0,8	л	2,2	2,17	1,98	2,42
Л		0,33	0,31	0,41	0,34

Из табл. 2.13—2.16 видно, что величины коэффициен­ тов Пуассона материала обделки и окружающей горной по­ роды, если они равны между собой, не оказывают сущест­ венного влияния на напряженное состояние обделки. Если же они не равны, то увеличение коэффициента Пуассона породы вызывает в основном увеличение нормальных нап­ ряжений ар на контакте и уменьшение нормальных танген-

			Т а б л и ц а		2.15
Касательные напряжения		тр 0 ! р на контакте обделки с массивом
Ф	Vi=Vo=0,3		V,—0,2;	v,=0,4;
		V i — V o = 0 , 2	vo=0,4	v0—0,2
0,2 я	0,155	0,149	0,149		0,178
0,8 л	—0,109	—0,106	—0,166	—0,096
			Т а б л и ц а		2.16

Нормальные тангенциальные напряжения Пд//> на внутреннем контуре

ФV , = V o= 0 , 3

0	я	1,65
0,25		1,91
0,5	я	—0,24
0,8	я	5,46

Л0

'll <5 It о to

1,62

1,88

—0,26

5,39

—0,02

V i = 0 , 2 ;	V ! = 0 , 4 ;
V o= 0 , 4	vo=0,2
1,51	1,7
1,83	2,01
—0,09	—0,39
4,99	5,91
0,06	0,07

101

циальных напряжений в обделке; увеличение же коэффи­ циента Пуассона материала обделки, наоборот, влечет за собой уменьшение радиальных контактных напряжений ар и увеличение напряжений а 0 в обделке.

3. Зависимость напряженного состояния обделок коробового очертания от их геометрических параметров

Для обделок коробового очертания, подверженных дей­ ствию равномерного внутреннего давления воды, рас­ смотрено три варианта поперечного сечения с различным отношением высоты выработки к ее пролету. Пролет внут­ реннего контура поперечного сечения обделки принимали: 2Ь = 8 м, а полную высоту — соответственно h = 8; 10 и 12 м. Толщина обделок принималась 6 = 60 см. Расчеты производили для обделок с указанными геометрическими параметрами при отношении ЕХ!Е0 = 1,25 и Vi = v0 = 0,3.

Полученные эпюры напряжений приведены на рис. 9— 11, причем кривыми 1 и 2 показаны соответственно напря­ жения Ор/p и ов/р на внешних контурах сечений обделок, кривыми 3 — напряжения ов/р на внутренних контурах. Как видно из рисунков, напряжения стр распределяются наиболее равномерно по периметру обделки, напряжения же а 0 на внешнем и, в особенности, на внутреннем контуре имеют явно выраженную концентрацию в окрестности точки

Ф « 0,8я (ф — полярный			угол,	отсчитываемый от верти­
кальной оси сечения).				наиболее близкой по форме
Напряжения	<тр	в обделке,
к круговой (см. рис.		9),	имеют наибольшее значение в се­
редине подошвы	выработки и			наименьшее — в шелыге

свода; при увеличении высоты выработки (см. рис. 10) максимум сгр располагается примерно в середине боковых стенок при минимальном значении в шелыге свода, а при дальнейшем увеличении высоты (см. рис. 11) максимум напряжений ор находится в середине боковых стенок, ми­ нимальное же значение напряжение <тр принимает в сере­ дине подошвы выработки.

Напряжения ое на внешнем контуре сечения обделки, если проследить их изменение от ф = 0 (шелыга свода) до ф = я (середина лотка), сначала уменьшаются примерно до середины боковых стенок, затем растут, имея максимум в окрестности точки ф » 0,8я, и вновь уменьшаются к се­ редине лотка. Причем с увеличением высоты выработки

102

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

103

напряжения а 0 в шелыге свода, зоне наибольшей концент­ рации ф « 0,8л и середине лотка обделки возрастают, в середине же боковых стенок падают.

Напряжения сг0 на внутреннем контуре сечения обдел­ ки имеют тот же характер распределения, что и на внешнем контуре, но с более явно выраженной неравномерностью. Причем, как видно из рис. 11, напряжения ов на внутрен­ нем контуре обделки в середине ее боковых стенок при до­ статочно большой высоте выработки могут быть сжимаю­

щими.

Для исследования влияния толщины обделки коробово­ го очертания на ее напряженное состояние рассмотрены еще два варианта. Расчеты проведены для обделки коробо­ вого очертания (см. рис. 10) толщиной 6 = 1 м при EJE0 = = 1,25 и 0,5. Результаты этих расчетов приведены в табл. 2.17—2.19, где для сравнения даны также значения напря­ жений при 6 = 60 см.

	напряжения ор/р на контакте		Т а б л и ц а		2.17
Нормальные			обделки с массивом
		= 1,25	Я,/Яо=0,5
ф		6/2Ь
	0,15	0,25	0,15		0,25
0	—0,64	—0,5	—0,78	—0,68
0,5 я	—0,84	—0,74	—0,9	—0,83
0,8 я	—0,68	—0,55	—0,79	—0,69
Я	—0,68	—0,54	—0,82	—0,72
Из табл. 2.17 следует, что напряжения ор при увели­
чении толщины обделки уменьшаются по всему				периметру
контакта независимо от величины отношения ЕХ1Е0.
			Т а б л и ц а		2.18

Нормальные тангенциальные напряжения о$/р на внешнем контуре

	Я,/Я, = 1,25		я,/я„ =	0,5
ф			6/26
	0,15	0,25	0,15	0,25
0	1,29	1,02	0,4	0,33
0,2я	1,06	0,91	0,26	0,25
0, 5я	0,46	0,47	—0,04	—0,01
0,8я	1,64	1,22	0,52	0,42
Я	0,78	0,7	0,25	0,16

104

Из табл.	2.18 следует, что на внешнем	контуре при
Ех/Е0 > 1 с	увеличением толщины обделки	напряжения

сте уменьшаются всюду, за исключением середины боковых стенок, где они незначительно возрастают. При EJE0 <L 1 напряжения а 6 также уменьшаются во всех точках, за иск­ лючением середины боковых стенок и лотка. В середине лотка эти напряжения возрастают, а в середине боковых стенок, где имеет место сжатие, они по абсолютной величи­ не уменьшаются и, по-видимому, при дальнейшем увеличе­ нии толщины обделки становятся растягивающими и далее возрастают по абсолютной величине.

Т а б л и ц а 2.19

Нормальные тангенциальные напряжения о $ / р

на внутреннем контуре

	E i / E 0 =	1,25	Е г / Е , =	0,5
ф			Ь/2Ь
	0,15	0,25	0,15	0,25
0	1,83	1,78	0,7	0,78
0,2л	1,46	1,37	0,49	0,55
0 ,5л	0,32	0,3	0	—0,07
0,8л	2,58	2,31	1,09	1,1
Я	0,83	0,81	0,16	0,19

Из табл. 2.19 видно,		что для ЕХ!Е0> 1 и EX/E0<Z 1
наблюдается существенное			различие в напряжениях а 0
на внутреннем	контуре		сечения обделки. Если при
ЕХ!Е0> 1 они	уменьшаются с увеличением толщины об­
делки, то при	Ех/Е0<	1	увеличение толщины приводит

к их возрастанию.

4. Влияние деформационных характеристик обделки и окружающей породы на напряжения в обделках коробового очертания

Для изучения влияния отношения модулей деформации материала обделки и окружающего породного массива на напряженное состояние обделок тоннелей коробового очер­ тания рассмотрено сечение, приведенное на рис. 10, при

Ех/Е0 = 0,25; 0,5; 1,25; 2 и 3,5. Величины напряжений представлены в табл. 2.20—2.23.

105

Т а б л и ц а 2 .2 0

Нормальные напряжения а р 1 р на контакте обделки с массивном

Е,/Еа

ф	0,25	0,5	1,25	2	3,5
0	—0,84	—0,78	—0,64	—0,62	—0,38
0,5я	—0,93	—0,9	—0,84	- 0 ,7	—0,7
0,8я	—0,84	—0,79	—0,68	—0,65	—0,45
Л	—0,88	—0,82	—0,68	—0,61	—0,41
				Т а б л и ц а	2.21

Нормальные тангенциальные напряжения ое/р на внешнем контуре

	ф			£./£■»
		0,25	0,5	1,25	2	3,5
	0	0,03	0,4	1,29	1,84	2,87
	0,2я	—0,04	0,26	1,06	1,71	2,66
	0,5я	-0 ,2 2	—0,04	0,46	1,07	1,56
	0,8я	0,01	0,52	1,64	2,24	3,61
	Я	—0,11	0,15	0,78	1,29	1,92
					Т а б л и ц а	2.22

Касательные напряжения тpfj/ p на контакте обделки с массивом

	ф	0,25	0,5	1,25	2	3 , 5
	0,2л	0,02	0,03	0,06	0,07	0,1
	0,8 я	0,02	—0,05	—0,07	—0,08	—0,11
					Т а б л и ц а	2.23
	Нормальные тангенциальные напряжения о ^ / р				на внутреннем
			контуре
	ф			Е , / Е 0
		0,25	0,5	1,25	2	3,5
	0	0,25	0,70	1,83	2,41	4
	0,2я	0,13	0,49	1,46	2,18	3,19
	0,5л	—0,24	0	0,32	1,11	1,74
	0 , 8 л	0,49	1,09	2,58	3,28	5,2
	Я	—0,1	0,16	0,83	1,4	2,78

Как видно из табл. 2.20, нормальные контактные на­ пряжения с увеличением величины отношения EJEq умень­ шаются, так как чем слабее порода, тем меньшее сопротив-

106

ление оказывает она перемещениям обделки. Для напряже­ ний сг0 в обделке можно разграничить два случая: ЕХ1Е0> 1 и £'1/£ 0<< 1. Как следует из табл. 2.21 и 2.23, картина распределения напряжений для этих двух случаев ка­ чественно различна. Если при EJE0< 1 как на внешнем, так и на внутреннем контуре сечения имеются участки сжи­ мающих напряжений ст8, то при Ег/Е0> 1 напряжения всюду являются растягивающими и с увеличением Ег/Е0 возрастают.

Глава 3

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

1. Напряженное состояние кольца, внутренний контур которого есть правильный многоугольник

Рассмотрим частный случай, когда внутренний контур сечения обделки представляет собой правильный много­ угольник со скругленными углами. Функция, отображаю­ щая внешность правильного п + 1-угольника со скруглен­ ными углами на внешность единичной окружности, пред­ ставляет собой двучлен

г = и (Si) = А ^ i + ■	А : а + Ь т = •а— Ъ (3.1)
	а + Ь

где b — радиус вписанной окружности; а — радиус опи­ санной около внутреннего контура сечения обделки окруж­ ности. При п = 1 внутренний контур сечения есть эллипс

сполуосями а и Ь.

Вдальнейшем будет подробно рассмотрено напряженное состояние эллиптической обделки. Однако, поскольку по­ добные задачи могут встретиться, например при определе­ нии напряжений в запрессованных деталях многоугольной

формы, приведем общий алгоритм расчета и примеры и для некоторых других очертаний. Так как отображающая функ­ ция в данном случае является двучленом, расчетные фор­ мулы значительно упрощаются. Радиус окружности Rx*, в которую переходит при этом преобразовании внешний контур кольца, определяется из уравнения

ЯГ + , - 2 ^ Я Г + т =7 = 0.
Л + I	Л -г I

где введены безразмерные величины X = alb, причем б — толщина кольца по оси Ох.

(З-2)

е = ё/Ь,

107

Произведем, далее, преобразование = R x*l, при котором внешний контур кольца перейдет в окружность единичного радиуса, а его внутренний контур — в окруж­

ность радиусом R± — 1//?]* <					1. Отображающая функция
примет вид
z = a»(£) = K(C + <7n r n);					1К\	^ =	£T I /?"+1-			(3‘3)
							и-\-0
В этом случае
hn — Qni	=	h n — 1	— / г„		_ 2 —	. . . — h 0 —		t i n — i —		h n — 2 —
		= . . . = к = о.
Кроме того,				Ь -Rf
		h'n =	Rni
					Щп
причем не равны нулю лишь				hn",		hln+ь		Лзл+ 2	и т. д.
Найдем ak как корни уравнения
	1п+1- Щ п = 0;		l n+x = n —				R l +l.
						а-\-Ь
Отсюда	2tn(*-D							п + 1/--------
=	"+ ‘ (*= 1, 2, •..,« +					1), Y =		1 /	«^77 -
								К	а + 6

Модули всех корней одинаковы и равны:

		rk = yRv			(3.4)
Аргументы корней ah равны:
4k = 2j^ ~ { k =			\ , 2 ,	...,п + 1 ).	(3.5)
	п + 1
Найдем, далее,	величины		A k,	Bh, Ch, D h, Ch'	и D k'
из соотношений (1.103):
Л = (« + !) rnk cos mpft;		=	(n -f 1) rnk sin n<ph;
Ch= r" cos Пфй + 9n r f + 1cos (2n +				1) фй;
Dh= r» sin пфй -f ?n	1	Sin (2n +		1) фЛ;	(3.6)
C'k= R i rk cos «Ф& +	ЯГ(2"+ 1) r f + 1cos (2n + 1)Фй;

Dk = R1rnksinmfh+ q n RT{2n+l)rl'1+l sin(2«+ l)q>fc.

108

	Следовательно,
		1+ ‘7re/* + 1co s(n + l^ fe
	uk ----------------- —----------- ;
				п +1
		q	rl +1 sin (n+ 1) фk .
	vb = -			n + 1
									(3.7)
	,	Rl + qnRl (2n+'i)rnk+ xzos(n+\)yh
	uk			tx I
	,	q n R T { 2 n + l ) r kn +			l sin ( п+1) ф
	Vk = ------------------- --------------- ц
				Л +	1
	Но, как вытекает из (3.5),
		cos (n -f		1) Фй =	cos 2л (k — L) = 1;
	sin (n + 1) <pft =		sin 2л (k— 1) — 0;			{ k = \ , 2 ......			n + l),
	поэтому
			uh = l+ V S + 1 ; »а= 0;
				n + l
		uk -	R1 + qnRT{2n+i)rnk+l .			Vk	,	u,	(3.8)
			—	--------------------->
				л + 1

причем все uh и uk’ равны между собой независимо от зна­ чения k. Далее,

Cm = R г	л + 1
	l{ R \ Xuk— Uk) cos {m— \) y k --
	А=1
=	n+l	cos(m— 1)	2л (k— \)
	2
	A=1		n + 1

Входящее в эту формулу выражение можно преобразовать следующим образом:

п+1	cos	2л (т—1) (k— 1)	П	2я(/я-1)^= С05я ,( т - 1)я><
2			2 cos
А=1		л +1	k=0	л+1	л+1

Xsin (т — 1)л cosec т— 1Л,

л+ 1

109