книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

Правая часть граничного условия на внутреннем кон­ туре (1.7) в данном случае равна нулю.

2. Решение граничной задачи

Умножаем, как и раньше, граничные условия на линии

контакта на ядро Коши — •

и почленно интегри­

руем их по контуру Г, считая точку £ последовательно рас­ положенной вне и внутри Г. Как и в главе 6, все операции производим над добавочными членами граничных условий.

Исходя из формулы (6.15), получим

			Ро	2(1+ хо) V			k — i	С— « ь /
2я/ J		о—£				£ вне Г
			Ро		2(1 —f-Хо) k = i
						£ внутри Г
			У в Я 2			F			eh	С-х +
						.1 +Яо		k= ii—ah
						п+1
— Г А2 (о)					+	2 “ йъ~к ,		£	вне Г
2т J	W а - (					k= 1			2 п
			Ув R 2			F
					, ,
				U		2 * * £ * - '+ 2 р„ г*
					+ Х0 А=1				ft=0
						£ внутри Г				(7.17)
Производя далее те же алгебраические									операции, что
и в главе 6, имеем при £ вне Г:
^ Л 1гЛ(<,)_Л(0).ст — £						___ ув R2		Xl + — | х
							2
								P i	Ро
X							п+1
1 + х0						P i	k=l
	У в / ? *	/ 1 + X i _	F |				Sk
	2	I Pi	1 +	Xo I

200

*;2 М ;

■йгЯ^Л(<,,+л,<<’)]^г			Тв^ а Г/		1 - - Ч х
					P i		Ро J
г !	п~^* „ \		1 п+ 1
х - М л „ '-		f t	■ 1		а *с		(7.18)
1+ Хо	+	2 г —	с_1+ - 2
		— ak l	U,	**
7 в А 2 Ы	+ H i		л+1	„	\
			л,° ^ 2 г —			s_1+
	Xi	1 + Хо
			k T ^ - * k )

П+1

+—2Ч Н -

»ЧГх I

При С внутри Г получим

	1	— Л2(а) —л х(а)			da	7 В R *	X
	2ш I	.Hi			а —£
X	1+Хх			л		2л
				2 й» £* -■ + — 2 (и *
	P i		1 +	Хо	^	к=О	(7.19)
	1				da	_у в R 2
			^ 2	С0) + (O')			X
	2я/	P i			o ~ l
X	Pi		1+ Xq*=i^		^	ftSo
Функции ^2( y ) ’ ^(-£ ) ’ (^1® ’						найденные из ус­

ловий, с правыми частями (7.18), (7.19), имеют тот же вид, что в главе 1, с добавочными слагаемыми:

p V	1	Ув R*					2л
				2 *»?*-'■		1 +Х1	2 Pi г*
			1 + х 0 *=1				*=о
							(7.20)
		(£) = Тв#2	17 /	" + 1	„
			f- 4	- ^	**
			1+хо	+ 2 Й - , ] Е- +
				*=1

201

			1	п+1
									(7 . 2 1 )
			d (1 + xi) fe=l
								2л
	Vb#2
Q!(6) =
	2		,	k=l				1 +Xi ft= 0
			1
			CO
		f —ТТГ" p 2' fa) - ^ 7					-	S внутри Г;	(7.22)
	2 яг Jr		со'(а)		cr— &
			7в Я 2			п+1
<2 5 ( 9 =					К		2 й т 6)£-‘+
			1 + х0
						*=1
л + 1			1				- /	1
							СОсо	------
Xl			+ ^ * ( 9 +		^	f - 4		7 r L^2, (a )-^ 7 ;
1 + Х хLК=1					2т	Jр	со' (a)		а — £
			£	вне Г.					(7 .2 3 )
Представим		входящее		под знак			интегралов выражение

Р1‘(о) в виде

РГ(о)

Ь , 2 1+Xi k=0

7в Я 2

‘гп1 +щХо 2 < 4- 1>А‘ ° - ‘ + *=l

Yb#2

k = \

2л+1

		1 +к Xi k=\2				( 7 . 2 4 )
	Тогда
	. / i					я—2
	со	P*'(CT) = !biL V		F
	со' (a)				x„	6 , 2 + 0 ' +
		4 '	2	1 +
						k=0
	Л		Л + 1	Л
	k=l		A=l- -an=l			+
	Yb£3	1	ш( " г )	2^V
	2	1 + x x	со' (a)	2	( £ - 1 ) 0 * - , a - * , (7 . 2 5 )
				A=1

202

где коэффициенты A h, / L ft выражаются формулами (6.27),

		- (	1 \	2п+1
		ЮI — I		V 4		представим
(6.29). Выражение - ^					(k — 1) (3ь.-г'3~к
следующим образом:				1?=i
М(	2/1+1
- р т р р 2 ( ‘ - W H " J = f t + ( . a +
+ ... + К о") (		P i	+	2р2с-> + ... + 2пр2п о-в»+1) +
	п+1		2/!+1
	+ 2	—		1	( k - \ ) ^ o - K	(7.26)
Выпишем коэффициенты при положительных степенях а:
С0 —hzРх + 2/z3 Рг +					••• + (п — l)P n - i^ n
				П—1
		=	6 х	2	’VP v ^ V + l )
				v = l
C\ = hs^>1-\-2hi Рг+ ••• + (n —2) Pn_2^„						(7.27)
				n— 2
		— 6 2 2			v P v A v + 2 ;
				V=	1

Cn- 2 ~ Pl^n-

Коэффициенты при отрицательных степенях a:

с _ , = P i Ах2+р 2Л2 +	. . . + и Р п	=
п
= 2	Pv’>
v=0

С—2 = Pl^O + 202^1+ ••• + (л+ 1) Pn+l^n —
п
= S (v + 1) hv Pv+i >
V = 0
C-n = (n— 1) рп- х/г0 +	«рп /гх+	... -f-
n
+ (2n— 1) Ргп-i h"n ~ 2	(v + n	1) h v Pv+n—r, (7.28)
v=o

C—(n+1) =яРп^0 + (Я+ l)P n+ l^l+ ••• +

203

+ 2яРгп h n — 2 (v + n)	Pv+л'.
v=0

C-(n+2)

=

(r t -f -

l ) P

n + i ^ o +

( n

+ 2 )

P n•■•+ 2-^ 1 +

+ 2 n p 2n^ n - l = ^ l

л—1

(v + n +

2

l)^ v P v + /!+ b

v=0

C-U/i+n =2n{Snh0.

В общем виде:

Л— ( Й + 1 )

’

СА= 6Д+1

2

vpv/>

+k+i (6 =

0, 1,..., n — 2);

V=1

n

C_ft=

2 (у Л~k-—1)hv pv+ a—i (k — l,2,...,n);

(7.29)

v=o

n—((—I)

С-щ+о = V i

(v-\-n-{-l— 1) hv pv+n+/—i

(/ = 1 , 2 , , n + 1)-

.

Таким образом, выражение (7.26) имеет вид

ЮI ~

I

2л+1 .

л—2

2л+1

W,

п+1

2л+1

k=0

gh

. (7.30)

+ 2 С—

й=1

k = \

й А=1

Следовательно,

со

1

л—2

л

а > ' ( с )

2

I

1 -f-Xq

.

8 » 2 - 4>°‘ +

2

' 4- t (J~k +

П+1

*=о

й=1

+ 2 ^

: 2

^ -

1) а*<г ' а

1+И1

в . 2

с *°' ■+

*=1 ”

WftA=l

k=0

2п+ 1

л+1

2 л + 1

+ 2 с--*+ 2 Д 2

“- м -

т - Й .(7.31)

й=Г "®Ай=Т

204

Интеграл типа Коши от этого выражения имеет значения:

- ! 1

1 Г	Vа	Р2‘ (О)	d a
2 n i J	(О' ( а )		0—1
г
			п+1

F

	1+ Щ ft= 1
	X V (£ _ l)A hr	1+Ki
	ft= i

X

«+ 1

2 c . kr ‘ + k = i

n 4 1	4	2n-f- 1
+ 2			2		, t	вне Г;	(7.32)
*= ib		й &=l
	i 2 ^ ! ( ^ - d 6 2 У л ^ ' Ч
	2	11+«»			&
	1	-б*	V	C fc£* J, £ внутри		Г.
l +*i			kМ=	0

После подстановки (7.32) в (7.22), (7.23) с учетом (7.21)

получим

YbR2		V	п			2 п	^
		l - L - S h k l k- X '				Xl
<£(£) =		и .	^	~ ~	■ 1 , „
		1 +			1+ Ч = 0
		п—2			п — 2
+■	^ 2 ^ + 7 4 2 ^						(7.33)
1+к°		**^о		1+Kl	ft=o
			n+l			л Ч 1
<Яго - - ч		4	2		d (1	+25ii)	+
			&= 1

+ d 1 + Ко	2 ^ + 2		4 2		+
	L* = i	ft=i 3		K*ft=i
2я-Ь1		л-j-l		2л-|-1
	2 с-*г*+2 A			- f t
1 + X i				2 <*-w«e
*=1		ft=i b		* ft=i

(7.34)

205

Подставляем значения полученных функций в гранич­ ное условие (7.4), при этом оно примет вид (1.50) с выписан­ ной ниже правой частью:

D (R lG) = - Р ; (

( R ^ - Ql (В Д -

а) со' ( R i o )

			1+ Щ4 = 1
			- f	Ri
	- 4	—k	CO	----
i - i f w				\ О
	v				1+Xo	2 c * - 1)*
l + Kl 4 = 0			CO'(#10)
						4 = 1
			2Л+	1
xflh R r ka~ k + ^ ~ i			2	(*— V h - i R r ka
n			4=1		2П
1+ Xo‘ 2	A* Ri ~ 1		:1+		. 2 A	R‘ a“ +
4= 1	n—2				4 = 0
					n —2
1 + X o <*«,	2	л ‘ я ! ° ‘ + т т 7 ,8! 2				c * « a* +
	4 = 0				4 = 0

Xi 1+Xi

n+l		n +l
"V ahR~ka~k		------------- У afe^7*cr-* +
^	h 1	d(l + xi) ^ * 1
4 = 1		4= 1

dF

2 ^-»R r*»-* +

1 +x0 .£= 1 n+I n

4 = 1	1	* 4 = 1
	1	"2n+ 1
		2 ; с _4 я г *о- ‘ +
Я+ 1	1 +Xi . 4 = 1
	#4	2n+l	. (7.35)
		2 ( ft- D P * - i RTk ° - k
4 = 1
	R i * p - a h
Далее, умножаем полученное граничное условие для
односвязной области		на ядро Коши	и интегри-

206

руем его почленно по Г, считая точку т] расположенной последовательно вне и внутри Г. При этом заметим, что

Ri

					п — 2
	7 7 ^ 7 2				= 5 , 2 Л*о* +
	^ 1	' ft=l			к—О
			п+ 1
+ 2	<*-*+		2 » Rl8k		2 ( * - ]) А*	o -fe; (7.36)
6 = 1			6=1 « l ° - aS 6=1
- (	R1 ,				п — 2
(ОI ---- I 2/1+1
7 7 ^	7 7 7	2	( ^ - i ) P ft- i ^ r ft^ = 6 2 2			a ^ +
v	1 '	6 = 1	/!+1	Ост'	6 =	0
2/1 + 1					2л+ 1
+ 2 c i » - ‘ + 2 ^ 2 ^ - i ) b - + r ftrt—k
b_,			6=1	1	A >•—'
/6 = 1					/6 = 1

где коэффициенты Ah, A'—k определяются формулами (6.36), коэффициенты же C'k, CLk выражаются соотношениями:

			n-(ft+i)
	C'k = h+x		s		vpy R r {v+l)h'v+k+1
			2
			V=1				{k = 0, 1,.... n —2);
	C i * = 2		(v + ^ - l ) / i ; ^ r (v+A)Pv+ft-i
	v= o							(7.37)
			n -(/-l)				(6 = l,2,...,n);
	Cl(/i+i) = 6;-i		2		(v + n + ^— 1)X
			v=o
	X/Zv^r(v+n+,)P v + /i+ / - i(/= 1,2,..., n + 1).
	Таким образом,			получаем
			Rt
	- f	-			1+ x0		2 ( ^ - i ) ^ ^ r 4^ +
	2iniл» J	co'(jRia)со				k=i
	г	.	2/1+1
								da
	■ r r - 2			( k - W k- i R r k ° ~ k
								a—t]
	1 + X1 > 4
			ft=l

207

	У А_кч]-*+		n+ 1	Rig'k
1+ Хо			у	—
	—.	k	jLi	Kiy]— ah
	k=\		ft=i

	х ^ И	)	М	г ‘ ч -£	1
					1+X!
	k=\
	«+'	£> гтГ		2Л+1
	*=i	- ^ ^	Kft k=i
					n — 2
	~ d b 2 У		A kt\k’		2
	1+ x0	£ =	0	1 + X i
					ft = 0

'2rc + 1

2 c-^ -k+

k=\

(7.38)

(т] вне Г);

(т] внутри Г).

После интегрирования уравнения с правой частью (7.35) с учетом (7.38) и приведения подобных членов полу­ чим два функциональных уравнения главы 1 с правыми частями:

2 (ALk- R T*A_k) + k=i

								+
	1		2n + l
			2 ( C L * - « r ‘ C-1)4-* +
	1 +Xi
			k= 1
	n+ ' D. a'.—a. 2n+l						- k	+
	A-l			A=1
				n + 1		* г]—* 1;
	+ — •----------- "V ocft 7?							(7.39)
	p0		d( l + Xi) fe=l				I
	7b/?2			F ■d6	n—2
					. 2 < a s- «		m »)4*+
		2	11+ Xo		*=o
.	П—2					2n
^	e , 2	( c i -		Ri c ‘)4 ‘ - i ^		2	M *	r ‘ +
1 +Xi		0					6= 0
	fc =

208

+ x1£ j)r]ft- r f - У hk {dR[-b + l R \ - ' ) ^ - \ . (7.40)

Разложим члены уравнения с правой частью (7.39) по отрицательным степеням переменного гр

Выражение CLk — Ру/г С_* преобразуется следующим

образом:
C Lk- R		r k C - k =				v	(v + &— l)pv+*_j (Рг (у+*)/г; —
						v= о
- R	r k hv) = R r k 2 ( v							+ k - 1) |3v+£-1 ( R r vK ~ h v),
поэтому						v = о
					2 ( C ' _ k~ R r b C _ k) =
					k= i
= 2 Я Г * Л "* S						(v +		^ - l ) p v+ft-i ( R r v K - h v). (7.41)
k =	1				V = 0
Поскольку				имеет место разложение
		Л4" 1П а ' (у							°°
		2 ;				*■=-			^
		k=		1	Rin—^k
то									т = 1
			р		ctr	гг	2 /l - f - l		—k .
		*=i		1 1		й	* = 1
								2 п + 1
	-	v		Cm R^~m т\~~.т					—&П—k .
									V ( ^ _ l ) p ^ 1p r ^T1
		т =	1					k = 1
		ос		2 п Д-1			1)P*-1 Cm R l ~ (* + m) T]- < * + "») =
=	-	S			V	( k —
		т =	1 й = 1
				оо		2 n +	1
	=	—		2		_V	(£— 1)
		т - = k + \				k =	1
		ОС	E ( m —1,2rt+ 1)
=	-	2			s
		т = 2			k

Таким образом, после разложения но отрицательным степеням с учетом (6.42) и (6.43) выражение (7.39) примет вид

8 Зак. 488

209