книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

причем, учитывая, что

cos п (т —1) я ^ 1, sin (т— 1) л = О,

п +1

придем к выводу, что это произведение может отличаться

т — 1

от нуля лишь при выполнении равенства sin } л = О,

т. е.

т— 1	■/ ( / 0 , 1,2,...), m = l + /(n + l) -
п + 1

В этом случае

sin («+1) 1л

-*3 .

(/г-fl) cosnltt—Crt-f

sin In

__ n\f :„9. 1— i -{-1 —4/

i cos(n—2)lnslri2ln-j-Cn cos'1 4/jisin4/;ri-f...

sin In

= (— !)"'(« + !)•

Но, как известно,

cos п1л = (— l)n/;

следовательно,

cos nln sin (я4 1) In		= n + 1.
sin In
Таким образом,
(RTluh~u'k)		при m = l + /(n + l)
c*m= \		(/ =	0, 1, 2,...). (3.9)
[о		при т ф \	- f/(n -f 1)
Определим величину RT*1uk — и'h. Как известно,
I _Lq	I __d 2__ ~ d —2 tirti~\- ]			=
RT iUk- u ' k = - ± l nk____ /?1			^

(«+!)

_ ( l ~ R P + nq2n( l - R - 2 ”)

■Rl («Ф1)

поэтому

(n-f- l ) ^ n+ 1

110

Введем обозначение

R\n (l - R D - n g l d - R l " )

М =	(3.10)
	R1+ 1

Тогда формулу (9) можно переписать следующим образом:

т ~ 1R™ М при т — 1 + / (п + 1)

г* ■	(/ = 0,	1, 2, ...). (3.11)
Ьт -
при т ф 1 +	/(п +	1)

Выпишем коэффициенты матрицы системы уравнений (1.110). Коэффициенты при неизвестных cv первых г уравне­ ний имеют вид

Cm,v= ^ т,v ^ RТ' "Т' ~ R \m'^

- v R r m+'rl+m~ 2 {RTluk- u k)n^ c o s (m + v—2 )? flfc il.

k=i

" + 1

Первое слагаемое отлично от нуля лишь при т = v. Второе слагаемое не равно нулю при т + v = 2 + I {п + 1). С учетом ранее введенных обозначений формула для ст>v примет вид

ст,v = K , v ( R ? + - j Яr m) - vyv+"!- 2 RZ~ 1М.

Коэффициенты ат, v определятся формулой .

dm, v — v R 1 т	[ S y — m - ) - n +		l c m — v — 1 ~f“		— m ( 1	^v>— т + п + 1 ) Х
X ( / z v _ O T + i — 7^— (v — m + D h y _ m+ , ) ]					d 6 26 m ^_v _ i ^		p X
						P= 1
X (	7 ^ ~ (	P	~ i	hp—rn-p l) ^v + p+ 1
—d6n+2 —e		2	^V + p Pcm—p—1^V +p+ 1| ■				(3-12)
		P=1				J
Рассмотрим	первое	слагаемое.		По	определению		(1.30),
8v_ m+n + I =£0 при V—m - f - n + l< n ,						tn— v > l ,
		т. e. v < m — 1.
Кроме того,	как уже указывалось,

Cm—у—1^ 0 при т —V — 1 = 1 + /(п + 1), т. е. v = т —2—/(« + 1 ).

Ill

Следовательно, первое слагаемое не равно нулю лишь при

v — т — 2 — I (н -\- 1).

Во втором слагаемом v — т = п — 1, так как /zv-m+ 1 и К - т + 1 отличны от нуля только при v — т + 1 = п; кроме того,

Sv_ m=^0 при v—т<1п,

6у_ ш+п+1 = 0 при v - т + п + 1 ^ п , т. е. v—m > — 1.

Таким образом, второе слагаемое отлично от нуля при v — т — п — 1.

Третье слагаемое (3.12) тождественно равно нулю, так

как
р — т + 1 = п,						v + р + 1 = п.
Отсюда имеем v +		т = 0,			что невозможно.				2; следова­
Последнее	слагаемое			равно		нулю при		е ^
тельно, здесь	е > 2 ,		п >		2.	Поскольку		е — наименьшее
из чисел т и п , то,		значит,			е = 3.		лишь		один член,
Следовательно,		от	суммы			остается
а именно:
Но здесь		fiv-f-1С'т—2 ^v+ 2 •
	6V+i^ O			при v < n + l ;
	Cm-2 ¥ = 0			При т —2 =			1 -[-1 (п+ 1);
	hv+2 =7 ^ 0			при v — n — 2.

Таким образом, это слагаемое не равно нулю при соблюде­ нии следующих условий:

		п >	2;	m =	3 +	I (п + 1); v = п — 2.
	Перейдем		к	коэффициентам			c’nii v, определяющимся
	формулой
		cm , v — v |Sv + 2« —m—2					—v-fl —
	_+ 1	v— m — 2				tt-f~ 1
				{R i	Uk)	2	cos(v—m —2) 2я (A— 1)]
		fk
						k= i	n +1 )
	В первом слагаемом
		^v+2 « -m -2 = ^ 0			при v + 2n —m —2 <C.n,
				t . e. m—v > n —2; ■

112

	h-m—v+ 1		0	при tn v — п — 1 -|-1 (п -[- 1);
следовательно, оно не равно нулю при т — v — п
+ Ц п +	1).
Второе слагаемое отлично от нуля при
sin (v—т—2)		п =	0 ;	v— т—2	+ /; v = m + 2 ± /(n -f 1).
и I				ti 1
Коэффициенты а'т<v определяются соотношением
а'т , V = К		, V {tR-m + sRf) +			v # ™ lyhv+т+! 6v+m +
п — (m+ 1)
+ 6m+1rf	2	8P + v p (R T ip+m+l)hp+ m+i—hp+m+l) h p+v+l~

P=1

- t R r (v+m+') 8v+ m K +m+1- d / ? r 2m 6v+ « Av+ m+ l].

Здесь первое слагаемое отлично от нуля при т = v. Второе слагаемое не равно нулю при v + т = п — 1, так

как hvjrm+

1 ф 0

лишь в этом случае.

В третьем слагаемом

hp+m-|_i, hp+m+i

и

Лр+v+i не равны нулю при соблюдении

условий р +

т +

1 =

п,

р + v + 1 =

п,

которые

совместны

лишь

при

т = v.

Кроме

того,

6P+V Ф 0 при

р + v < п;

следовательно,

третье

слагаемое

не

равно

нулю при

tn =

v,

р +

v <

п.

Два

последних

слагаемых

отличны от нуля при v +

т -|- 1 = п,

т. е. v + т =

п — 1.

Свободные члены системы уравнений имеют вид

, _ [ —Ri

при m = 1

,,

(—qnRRn при т = п

I

0

при т ф 1

i

0

при тФп

Таким образом, из анализа коэффициентов при неиз­ вестных в системе (1.110) следует, что в рассматриваемом частном случае, когда внутренний контур кольца пред­ ставляет собой правильный п + 1-угольник со скруглен­ ными углами, система уравнений распадается на неодно­ родную относительно неизвестных съ сп+2, с2п+3, c3n+i,

..., ап, «271+1 . «зл+2 . ••• и однородную относительно ос­ тальных неизвестных, которые, следовательно, равны ну­

лю.	система для определения неизвестных,
Окончательно
не равных нулю,	имеет вид

113

v Cv “Ь 2 ^ ,п' v — dm

v — 1		v = n	(tn= 1, fi-\- 2, 2я +	3,...,л);
				(3.13)
2	V	2	v ^-v — d tn
v = 1		v = 1	(m = n, 2ft~r 1, 3n +	2,...,s). .

Звездочка при суммах означает, что индекс сууммирования увеличивается на я + 1 при переходе к следующему значению.

Выпишем коэффициенты матрицы системы уравнений (3.13). Предварительно определим величину hn — R~nhh, которая выразится соотношением

h „ — R T n h 'n =-- Q n — R l 2n 9 n - = ^ r >
где				Rin
		H = qn (R\n~		1).
Коэффициенты	при cv в первых г			уравнениях имеют вид
R m J ^ I _ R		~ m — m y 2 t n - 2	R m — l при m = V		.(3.14)
Cm .v — 1	d	1	1	F
—VYv+m" 2 Rl~l M				ПрИ
Коэффициенты am, v в первых г уравнениях определят­
ся формулами
tvym- v - 2 r - v- i м			при v—т<Сп— 1
t v R - m~ 2n Н			при v—т ~ п — 1 .		(3.15)
. О			при v—т > п — 1

Коэффициенты Cm, v выразятся следующим образом:

— v R v ~ ' y V - m - 2 М Пр И т — v < ^ n — 1

Ст.У— —v H R \ - n~ l	при т —v = п — 1. (3.16)
о	при т —v > n — 1

Здесь учтено, что, как легко проверить, при т > v

R v ~ l h'n-v+i— R'?+x rl~m- 2 М = 0.

Наконец, коэффициенты а'т, v имеют вид

__{tR~m-\-sR™ при m = v
+т, v •	(3.17)
[О	при т ф \

114

Свободные члены системы

R 1	т = 1	dm —	— qnR~n т = п
О	т ф 1		О	(3.18)
		’		тФп

Напряжения определяются следующим образом: на­ ходится величина Rx = 1 /R±* < 1, где Rx* берется из урав­ нения (3.2), затем вычисляются значения

п+1/		X	qn — R4+l уп+1/п
' у	п Х + Г
и величины Н и М по формулам
H = qn {Rl»-\)-,	М-		R\n)	(3.19)
			R \n+ 1

Далее, по формулам (3.14)—(3.18) вычисляются коэффи­ циенты матрицы и свободные члены системы (3.13) и реша­ ется укороченная система линейных алгебраических урав­ нений относительно неизвестных cv и av.

Напряжения определяются по формулам, приведенным в § 6 главы 1, с учетом обращения некоторых неизвестных

в нуль и того обстоятельства,		что все qv равны нулю, за
исключением qn.
Рассмотрим частные случаи.			полуосями а и Ь.
1. Внутренний	контур — эллипс с
Во всех формулах принимается п = 1.			Тогда Rx* определя­
ется из квадратного уравнения
r * 2 _ 2 \ ± 1 r * + L J			= 0.
1	А, + 1 1	Я.+ 1

Величины, необходимые для дальнейших вычислений, рав­ ны:

- / г а	X —1
	<7i="А.+ 1Rl; H = gi( R l - i y ,
	( l - R D ( R l - q l )
	Rf

2. Внутренний контур — правильный треугольник со скругленными углами (п = 2). Уравнение для определения Ri* имеет вид

3 R f — 2(2 + е)Р*2 f 1= 0 .

115

Остальные величины

3	м	9— llflf +2fff
н = ч Ж х - 1);		QRi

3. Внутренний контур — квадрат со скругленными уг­ лами (п = 3). Значение Rx* определяется из уравнения чет­ вертой степени:

R \4 — 2 V * ± f .R \3 + ^ = Л = 0, 1/2+1 1/2+1

а входящие в расчетные формулы величины определяются по формулам

= 1 /	3 у 2 — 1	<?з'	_ 1/2-1	RU Я = д 3(^6_1);
" V	1/ 2 + 1		“ 1/2+1

-RV) —3gf (i ■-Л?)

М-

R\

Коэффициенты системы уравнений определяются соот­ ношениями (3.14)—(3.18) с учетом в каждом случае соот­ ветствующего значения п.

2. Анализ напряженного состояния тоннельных обделок эллиптической формы

Исследовалось влияние на напряженное состояние об­ делки эллиптической формы ее геометрических параметров: отношения полуосей внутреннего контура Я = а!Ъ и отно­ сительной толщины обделки е = 8/Ь, где б — толщина по оси Ох, а также отношения модулей деформации материала

обделки	и окружающего выработку породного массива
ЕХ1Е0. Всего рассмотрено 16 случаев.
При е = 0,3, ЕХ!Е0 = 1,25 и			= v0 = 0,3 рассмотре­
но пять	вариантов поперечного сечения обделки: при
Я=1,25;	1,5; 2; 2,5;	3. Затем при отношении £'1/£'0= 1,25
и 0,5;	= v0 = 0,3	для обделки	Я = 1,5 исследовалась

зависимость напряженного состояния от относительной тол­ щины обделки, которая последовательно принималась равной: 6= 0,1; 0,3; 0,5 и 1. И, наконец, с целью выяснения влияния деформационных характеристик обделки и мас­ сива на напряжения в обделке рассматривалась обделка

сЯ = 1,5и 8 = 0,3 при отношении Ех/Е0 = 0,25; 0,5; 1,25; 2 и 3,5.

116

Эпюры напряжений по характеру во всех рассмотренных случаях оказались идентичными. Распределение напряже­

ний показано		на	рис. 12 (при Я = 1,5, е =		0,3, Ех1Ей =
= 1,25,	=	v0 =	0,3), где кривыми 1, 2 к 3		даны соответ­
ственно эпюры напряжений ар/р, ов/р				и тР0/р на внешнем
контуре	обделки,		кривой 4 — эпюры	напряжений ое/р

на внутреннем контуре и кривой 5 — распределение нор-

мальных тангенциальных напряжении ов/р в массиве на линии контакта его с обделкой.

Как видно из рис. 12, контактные напряжения ор в этом случае являются сжимающими и принимают наиболь­ шее значение на малой оси эллиптического кольца; нор­ мальные тангенциальные напряжения а 0 как на внешнем, так и на внутреннем контуре сечения являются растягиваю­ щими и имеют максимум на большой оси; также распреде­

ляются и се в массиве; касательные напряжения тР0 на контакте обделки с массивом на осях симметрии обделки равны нулю, а максимальные их значения имеют место при

0 « 30°.

117

В табл. 3.1—3.4 приведены значения напряжений на внешнем и внутреннем контуре сечения обделки в зависи­

мости от к	(при е =	0,3, а д ,	— 1.25 и	= v0	=	0,3).
				Т а б л и ц а		3.1
Нормальные напряжения ар1р на контакте обделки с массивом
0, град			%
	1,25	1,5	2	2,5		3
0	—0,43	—0,3	—0,07	0,17	—0,4
15	—0,45	-0 ,3 6	- 0 ,2	—0,09	—0,01
30	—0,5	—0,48	—0,46	—0,48	—0,51
45	—0,57	—0,6	—0,62	—0,71	—0,75
60	—0,62	—0,68	—0,76	—0,82	—0,85
75	—0,65	—0,72	—0,81	—0,86	—0,89
90	— 0,66	—0,74	—0,83	—0,87	—0,9
Как видно из табл.		3.1, при увеличении высоты выработ­

ки нормальные контактные напряжения растут в окрест­ ности малой оси контура и уменьшаются в окрестности его

большой	оси, причем для очень вытянутых выработок
(к ^ 2,5)	при Ег/Е0 = 1,25 контактные напряжения
в точках,	близких к большой оси, становятся растягивающи­

ми. Это можно объяснить тем, что, по-видимому, при такой вытянутости обделки точки, близкие к большой оси, при действии внутреннего давления стремятся переместиться внутрь контура.

				Т а б л и ц а	3.2
Нормальные тангенциальные напряжения сг0/р				на внешнем контуре
град	1,25	1 ,5	2	2,5	3
0	0,93	1,09	1,37	1,59	1,78
15	0,9	1,04	1,25	1,43	1,58
30	0,9	0,9	0,98	1,03	1,06
45	0,75	0,74	0,7	0,63	0,56
60	0,67	0,59	0,45	0,34	0,25
75	0,61	0,5	0,32	0,19	0,08
90	0,59	0,47	0 28	0,14	0,03

Как следует из табл. 3.2, при увеличении высоты эллип­ тической выработки нормальные тангенциальные напряже­ ния на внешнем контуре сечения обделки возрастают в ок­

118

рестности большой оси контура и уменьшаются в окрест­ ности его малой оси.

Т а б л и ц а 3.3

Касательные напряжения тр в / р на контакте обделки с массивом

	9, град			%
		1,25	1,5	2	2,5	3
	0	0	0	0	0	0
	15	0 , 0 3 8	0 , 0 8	0 , 1 6 8	0 , 2 7 1	0 , 3 6 7
	3 0	0 , 0 5 9	0 , 1 1 6	0 , 2 1 3	0 , 2 7	0 , 3 0 9
	4 5	0 , 0 6	0 , 1 0 3	0 , 1 5 5	0 , 1 7 8	0 , 1 8 4
	6 0	0 , 0 4 5	0 , 0 7 1	0 , 0 9	0 , 1	0 , 1 0 1
	7 5	0 , 0 2 4	0 , 0 3 6	0 , 0 4 7	0 , 0 4 4	0 , 0 4
	9 0	0	0	0	0	0

Данные табл. 3.3 показывают, что с увеличением высо­ ты выработки максимальные значения касательных напря­ жений на контакте обделки с массивом возрастают.

Нормальные тангенциальные напряжения контуре

Т а б л и ц а 3.4

Oq / P на внутреннем

	0, град			%
		1 ,25	1 ,5	2	2,5	3
	0	1 , 7 8	2 , 3 5	3 , 5 1	4 , 6 7	5 , 8 3
	15	1 6 7	2 , 0 8	2 , 7 3	3 , 1 5	3 , 3 8
	3 0	1 , 4 2	1 , 5 3	1 , 5 2	1 , 3 7	1 , 1 7
	4 5	1 , 1 4	1 , 0 2	0 , 7 3	0 , 4 7	0 , 2 6
	6 0	0 , 9 2	0 , 6 8	0 , 3 1	0 , 0 6	— 0 , 1 2
	7 5	0 , 7 8	0 , 4 9	0 , 1 1	— 0 , 0 2	— 0 , 2 8
	9 0	0 , 7 4	0 , 4 4	0 , 0 5	— 0 , 1 7	— 0 , 3 3

Из табл. 3.4 следует, что нормальные тангенциальные напряжения на внутреннем контуре сечения эллиптической обделки с увеличением отношения ее полуосей возрастают в окрестности большой оси контура и уменьшаются в ок­

рестности малой оси.		напряжений
В	табл. 3.5—3.8 представлены значения
в эллиптической обделке с параметром Я =		1,5 в зависи­
мости	от ее относительной толщины е при	ЕХ1Е0 = 1,25
и Vx =	v0 = 0,3.

119