книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

занных с напряжениями известными формулами Колосо­ ва — Мусхелишвили [52], полностью определяющих напря­ женное состояние кольца и окружающей упругой среды, из граничных условий (1.5) — (1.7).

2. Переход к задаче для односвязной области. Решение задачи

Комплексные потенциалы ф (£), ф (£), характеризую­ щие напряженное состояние массива, голоморфны вне ок­ ружности Г, включая бесконечно удаленную точку, т. е. имеют при достаточно больших £ разложения:

0 0 оо

Ф(£)= X	«vS -v; Ч>(£)= 2 bv £-v.	(1.8)
v = 0	л>= 0

Не меняя напряженного состояния, можно принять

а 0 — 0; С = О,

и, следовательно,

ф ( оо ) = 0.

Комплексные потенциалы фх (£), фх (£), определяющие напряженное состояние обделки, голоморфны в области

кольца Р х	^ г ^ 1	и могут быть представлены в виде:
<Pi (£) =	P i (О +	Р* ($); ^ (S ) = Qi(0 + Q2 ( a (1.9)

где P x (£), Qx (£)	— функции, голоморфные внутри единич­
ной окружности	и, следовательно, разлагающиеся		в ряды
	оо	оо
Рх(£) = 2		cv £ \ Ql( £)= 2 <U V,	(1.10)
	V — 0	v = О

а функции P 2 (£), Q2 (£) — голоморфные вне окружности радиусом Р х< 1, включая бесконечно удаленную точку, выражаемые формулами

оо	оо
р 2 ( 0 = 2	/ v £ - v ; Q 2 ( £ ) = 2 f v Z ~ v .	( 1 . 1 1 )
v = 1	v = 1

В силу геометрической и силовой симметрии относитель­ но оси Ох все коэффициенты разложений в ряды вещест­ венны.

Подставим, следуя [48], выражения фх (£) и фх (£) из (1.9) в граничные условия (1.5) и (1.6). Получим на Г:

30

					-	/ 1
	Ко.				CD	а	ф'(а) + г|;(а)			= ^ Р г
	Ho■ф — — Но L со' (о)
										Hi
			^	р	2	1	со
							со' (а) Р{ (а ) + Qi (ст)
			Hi		V о	Hi
					____1_	ш					( 1. 12)
						со' (а)	Pi (о) -f- Qz (о)
					Hi
	ф				(о (а)				Vа		+
	со						со
	+	о/ (а)			^'(aH -Q ila)		'	( т )	Pi (°) 4~		2
					' ' ' '	^ 4 7		со' (о)			Q (о). (1.13)
	Умножим обе части условий (1.12) и (1.13) на ядро Коши
	1	da	^	и	проинтегрируем			почленно		по	контуру Г,
	2 ^ • g

считая точку £ расположенной последовательно вне и вну­ три Г. Ниже приведены результаты почленного интегри­ рования (обход контура ведется против часовой стрелки):

2яг J \ о J а— 5	J _	av \ о , da
	2ni		о —5
г	v= 1 г
О,	5 вне	Г

ф] , £ внутри Г;

	v~ о		г
A(£) + A		£ вне Г
ь0,		5 внутри		Г;
^ da	■ 1	A R		А	=
/ о - 5 "	2яс	V = 0	J	о— 5
			г
М т) + с0, 5 вне Г
Со,		5	внутри Г;

31

	_L Гp2 (_L \ da - 1					^		da
	2ni J	\ a / a— £		2 ni 2			^ °vo— S
	Г ■				V = 1		Г
			О,	£	вне Г
		Pi (‘ y1 ) ’		£	ВНУТРИ Г;
_ 1 . Г Ql(ff)_*E_ = _ L y			<*„(>_da			f	0,	£ вне Г
2 шО'	СГ— £	2яс ^	VJ	a	£	lQi(£),		l	внутри Г;
		v—о	г	оо
	2яс	A = I y / v ( ff- v A =
		a— £ 2 ju				J	a— £
				v =	1	Г
		_ ( —Qz(Q,		l	вне Г
		1	0,	£ внутри Г.
После	подстановки		полученных			значений			интегралов

в проинтегрированные при £ вне Г условия (1.12) и (1.13) получим

- / 1

Ро

2ni J ----——

da

^(S)---- ~

^ 0

:

г

, ,,

ф 'И - ^ Н - —

O)' (a)

a —£

ц0

|i0

(t\

1

I —

гл / /

\ da

= — ~ P i ( — ) + — c0

1

1

a j

Pi

2л( J

co' (a)

Pi (P)------

Pi

V t 1

Pi

o— £

Г

1

- - -

• ^

f

co

(a)

P2 (a ) - ^ r +

— Qi (S);

(1.14)

jiii

2m

J

a —£

juj

CO

a J

,

, .

da

2яг J

co' (a)

cp'(a)

a—£

■ty ( 0

+

fy)= —

^ 1 ( 4

“ ) +

Г

- /

1

co

+ < V -ft ( 0

+

^ f -4 fr ^

(®) - ^ r 4

2m J

co ' (a)

a — £

+

CO

a

/

f / \

da

(1.15)

2 я( J

co' (a)

/ > 2

(a)

a —£

r

32

Подстановка значений интегралов в условия (1.12) и (1.13), проинтегрированные в предположении, что точка £ расположена внутри Г, дает

х0 —

± . j _ r

Ь0 =

— Ф

о—£

Но

Но

Но

2ш J ©'(а)

= ^

CQ+ ^ . p 2

£

■

I ( - M (

v ) Pi(o)

da

Hi

Hi

Pi

2ni J

©' (a)

a —£

1

1 1 С ©V a / n' / \ da

L Qi(t);

(1.16)

------ ------------П~7~Р2 CT) ----r

Pi

2 я1

J

to

(a)

a—£

pi

г

©

1

Ф (■-j-) +

f - А т г

ф'' (a) ~ ^ Т + b° = c° + M

1.

- Г ) +

V £

/

2 m J

©' (a)

a—£

£

/

+ Qi (D + —

» f 1

Pi ( o ) - ^ _ + —

s /

l

(a)

da

f —

f —^ p '

2nt J

© '(0 )

о— £

2 ni J ©' (0 )

г

(1.17)

Одинаковые по написанию интегралы по контуру Г от­ личаются друг от друга тем, что в равенствах (1.14) и (1.15) они вычисляются при £ вне Г, а в равенствах (1.16) и (1.17) — при £ внутри Г.

Умножим (1.15) на v-Jv-i и вычтем (1.14). Получим

Xiро -р pi		I f		V0 !	rr,r t„ \	da	i<ip0-|-pi
		- Г		\ _P . J - ( p '( q )
р0 pi		2ш 0		©' (0 )		a - £	Ho Hi
	*1 Ho+ Hl A			_ 1 +Xi		© ( - 1
+					1	V 0 ^ P ' (a) - A .
	----------		0 O—		2ni J
	Ho Hi			P i		©' (0 )
					г
				1
+	i+ x i	1	r	©	p , (ff)_ ^ 0		_ L±xi q2 (0 .
	Pi	2ju J		© (o)		0 —£	pi
			Г

2 Зак. 488

33

Отсюда,

введя обозначение

^_ЩНо + Hi

(1.18)

Но (1 +Ях)

имеем следующее выражение для функции Q2

(Q:

1

Q2(£) = /ф (9 -

со I —

d o

lbо-

/ -L Г — liLZ. ф' (а)

2я,£ J

со' (о)

о—? +

,

» ( - Ч

Г

» ( - Ч

-р*(ст)^ та —£

+ Гju-J\ ~ (0^ Т(ст)Г Р{ (а) 0 —1 г +2 mт~j- f

~СОЧ(стт)

2

г

г

(1.19)

Умножив (1.15) на l/p^ и сложив с (1.14), получим

3 (1 ]

Но—Hi _ 1 Г

V° >

у ' {а)

d°

^

Ф Й

) +

Но Hi

2 яг J

со'(а)

а —£

Но Hi

Но—Hi

= _1~bxi р

(

1

I

1 + И 1

с0.

Но Hi

Hi

Hi

Обозначив

Но —Hi

(1.20)

Но (1 +щ)

находим

-

(

1

со ( i )ср.'(а) da

("r)_T Co+‘"+i J 17(ст)

ст — £

(1.21)

Умножим далее равенство (1.17)

на >сх/р1 1

и вычтем из

него (1.16).

Имеем

KiHo —«оН1

~ / 1 \

j XiHo + Hi_ 1

Г 5

Ж

_ .

(о) а — с +

Но Hi

V S /

Но Hi

Г

<в'(ст)

ф'

-

/

1

j_ xi Но Hi ^ __ 1+ И 1

со

da

1 Г

Но Hi

Hi

2га J

со' (ст) P i (о) о—£

г

34

1 +Xl-Qi(S) + ^

Hi

-

—

Г —

0

^ р'2( о ) Л ? - .

Hi

2n

i J

со' (a)

’

a —£

Отсюда определим

-

/

1

CO

Q i( 0

= s q 5 ( ^ - W /- ^

Г - --, ° j

ф' (a) —

V £ J

2r a j

(0

(a)

a —

CO

(0

i

i

- - L f

0 7 p; (a) —

2ш J

o)

(a)

a —£

2ni J a»' (a)

г

( 1.22)

где

X^p—x0 p,t

(1.23)

Ho ( 1 + >*l)

Умножением равенства (1.17)

на 1/px

и сложением его

с (1.16) получим

Xo_Hi + И? ~ /'J_\ j_ Но—Hi

1 Га >Vф/

a

do

Но Hi

\ £ /

Но Hi

2ixtJ

(a)

a —£

+ ^ ^ L b 0==l- ± ^ c 0+ -1± ^

p

j ~ )

Обозначив

Но Hi

Hi

Hi

\

Ъ /

^ _

Яр Hi 4~Ho

(1.24)

находим

Ho (1 +

*i)

-

/

1

CO

(т) = ,ф ( f )+^ / 4 | г Ф'

+

(1.25)

Определим значения входящего в выражения

искомых

функций интеграла типа Коши 2n

со ' 1

'

/

/ \

WUda

i

j со'(a)

Ф

(о)

при

г

£ вне и внутри Г. Исходя из (1.1), где п — число членов ряда

2* 35

отображающей функции, необходимое для получения отоб­ ражения достаточной точности, запишем выражение произ­ водной со' (С) на контуре Г:

	со'(a) = #		( l — 2	vqv o - v~		( 1.26)
			V ~	1
Тогда, учитывая,		что	со ( — \ = R | о- 1		+ 2 c?vcrv |> от-
	I				V=1
ношение	со	можно записать в виде:
	со'(сг)
-	1 1
со	а	a~1+q1a + q2a2+ ...+qn on
со' (о)		l —q1a-2 — 2q2a-3— ... —nqn<3-n- 1
	on + q1 оп+2+ q2 an+3-f ... -4-qn a2 n + 1					(1.27)
	arl+1— q-ia" - 1 — 2q2a" - 2				-nqn

После выделения целой части функцию (1.27) можно пред­ ставить следующим образом:

(О f	'j	п-\~ 1
— — ■— = h0-f- hx о -f h2a2 + ■•. + hn on-f- 2			~ ~ — >(1-28)
со	(a)	k= l	o—ah
где hi	(i = 0 , 1 , 2 , ...,	n) — коэффициенты	целой части,

определяющиеся делением многочлена на многочлен (что будет выполнено далее); ak — корни знаменателя (1.27);

gh — вычет функции (1.27)			в точке а — ак. Всего корней
ak п + 1 , и среди них		нет равных.			имеет вид
Производная ср' (а),		согласно (1.1),
			оо
ф'(о) =		— 2 vav a - v-			‘.	(1-29)
			V= 1
Представим произведение			со'(о) ф' (а)	следующим образом:
со' (а) ф '(°)=	— (Ao + ^ a - f			... + hn о п) Х
					П~\- 1	■ q— .
X (а1о~2-ф2 а20 “3+ ... +		по„ а г " - 1-ф ...)ф-ф'(а) 2
					k=ia—ak

36

Выпишем коэффициенты		при положительных		степенях о
в полученном многочлене:
A0 = a1h2 + 2a2h3 + ... +			п — 1
		(n— l)a„_1/in = S1	2	vav/iv+t;
			V — 1
Ах = axhz-\- 2 а2 /г4 +		(п—2 )a n_2 /in = 8 2	я— 2
	... +		2	vav^v+ 2 ;
			v= 1
		(n—3)an_zhn = 6 3	n — 3
Л2 = a4 /i4+ 2a2 /i5 +	... +		2	vavAv+3;
			V =	1

+1-2 = M n -

Здесь принято обозначение, часто встречающееся в даль­ нейшем:

1 1 при i < п

(1.30)

(О при i ^ n '

Обобщая предыдущие формулы, получим коэффициенты при положительных степенях:

Ak = 8k+1		«-(*+ 1 )
		2	vav/zv+*+ i		(6 = 1,	2, ...,				л —2). (1.31)
		V = 1
Коэффициенты			при	отрицательных			степенях а:
					П
A„1 = a1h1Jr2a2h2-\- ...-\-rianhn= 2						vav/iv;
					v= О				n
A-1— Clxft0 + 202^!+ ...+ (0 +					1) CLnilhn =
								2		(v+ 1) Ov+l^v ;
							v = 0
									П
Л_з = 2а2 /1о+За3 /г1+ ... + (п + 2)ап+2 /1п=								2		(v+2)av+2 /v,
							v= 0
В общем виде
			— 2	(v + ^ — 1 ) /гv £jv+ а—i•						(1*32)
			v = 0
Входящее под знак*отыскиваемого интеграла произведе­
ние, таким образом, имеет вид
-	/	1
со	(-4								A_ha - k+
		СТ' ф '( о ) = —б 2 2 Л < + — 2						•
со' (ст)				k==o		А*
						= 1

37

	n + i	(1.33)
+	8 k
	ф'( ог) k2 = i a — a h

а интеграл типа Коши, взятый по окружности Г от этого

выражения,

запишется

следующим

образом:

п+

1

2

4

^

- ?

' © 2

г

* = 1

-

/ 1

*=l S—a ft

-

i

1

со

_1

. -со( - ч

<*>' (£)

Ф' © '

2лit

J

СО

(о)

а —

2

S

вне Г;

- 6

2

*=о

п—2

—б2

2

£ внутри Г.

к=О

(1.34)

Подставив значение интеграла (1.34) при £ вне Г в фор­

мулы (1.19)

и (1.21), будем иметь

П-f- 1

со

1

& (£ )= /

ф' ( 0 2

— 2

J

+ а д - ^ 0+

k = il —ah

k=\

+ b

\

^

p[{G)— t

+ h

\ -

^

i

^ p 2' {o)—

r ' (L35)

2ncJco

(a)

a —£

2лс J

со

(cr)

a —£

г

г

'н£,=т Ч т ) - у с»+,'')-

я+ 1

(1.36)

ф'( 9 2

^

-

2

k=\

k=\ l

— a.h

Подстановка (1.34) при £ внутри Г в выражения (1.22) и

(1.25)	дает
	Qi (S) = scp ( 4 - ) — /б2 2		\	+
		k= 0
1	гм(^	1 Г Ю(		° ')	Dt	(L37)
2ш* J со' (а)		Р'г И—a —£, ~ 2hяс Jf	CO (a)		p'2(a)^a —£
	г	г

38

fl_2

Рг [ y ) = /(P ( y ) ~ d^ ^ 0Ah^k+ dbo ~ Co- (1-38)

Взяв комплексно-сопряженные значения от обеих частей формулы (1.38), получим на контуре Г:

п — 2

P2(o) = f(p(o) — d62 2 Aha ~ k+ db0 — с0. (1.39) k=0

Найденные значения ф (£) и Р 2 (0 из (1.36) и (1.39) подставим в выражения для Qx (£) и Q2 (£). Предварительно возьмем соответствующие интегралы, причем для подста­ новки в выражение Q2 (£) интегралы берутся при £ вне Г, а в выражение Qx (£) подставляются интегралы, найден­ ные при £ внутри Г.

Согласно (1.10),

	P 'i	(о) = 2	vcv av “ 1.
		v=o
Тогда произведение		© 1 a	Р[ (о) можно представить так:
		со'(о)
5(-)	Р[ (a) = (/io+^i0		+	/i2 0 2+ ... + hnon) X
v а '
со' (a)				п + 1
X (c1 + 2c2 a + ... + псп ап~ 1+
				...)-РР{ (а) 2	gh
				k= i 0	—as

и интеграл по окружности Г от этого выражения запишется следующим образом:

п-\-1

	-	S	- ^ Л	' К )	I вне Г;
		ft=i	aft
	d a
	Pi (°)		©'(£)	Р Ш -
	г	n+i
	-		- Р \	К )	С внутри Г.
		2 ~
		ft=i £ —aft			(1.40)

39