книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

В общем виде

n - { k + 1)

\	= К + 1	2	vhv+ihv+k+i (k = 0 , 1,					2).(6.27)
		V— 1
Коэффициенты при отрицательных степенях о:
	A_ 1 = h2 h1 Т~ 2/г3/г2 +				••• + (л— 1 )hnhn _ 1 =
				п—1
				s0 2	^ К К + й
				V—О
	А - 2 —h 2h 0 -f-2/г3/гх +... + (п— \ ) h n h H_ 2 -								(6.28)
			=	^i 2	(v + i) К лу+2‘.
			hn kg.
В общем виде
		n—k
A-k = V i		2	(v + A— l)hv hv+k ( k			=	l	, 2	(6.29)
		v = o							'
Таким образом,
	“(т		я*2»	-	Y b R * R I F	d	X
	C O '(a )					1 + X o
	n“ 2		n		n+1
						n	(A-i)Afc(T^
X S22 Ло *+			2 л_*а-*+ 2 _ i* _			2
.	A=o	*=i			j = i a - a j b i				(6.30)
Интеграл типа Коши от этого выражения
					YB R 2 R f F	d	2	а _*£-*+
					2
						1+Ко k=l
					л + 1	л
1					+ 2 ~ ~	2	(A -l)A fc£*
					A=i С—«А *=1
2л(	(О )					£ вне Г
г					ЪПЧЦР		d	«
					п	• .	.	° 2 X
					п — 2	1+х0
						£ внутри			Г.
									(6.31)

180

Подстановкой (6.31) в (6.24) и (6.25) получим

Ув R * R f F

Q* (S)

1 I

1+Xi 1+Хо

*=1

п— 2

(6.32)

	1 +	Хо	k=0
Q2 о
d		п+1				. (6.33)
1+х0_ * = 1	■4-» £- 1+	k= 1^		А * = 1
2		2	г5	г	2 < * - 1>'!*£'

Подставив выражения полученных функций в гранич­ ное условие на внутреннем контуре, получим условие (1.50) с правой частью:

D (R 1 a) = -					F — — .	со	Ri
				2			( R ^ )		R ± a
					l l + X i со'
1	l							n— 2
		У	hk R*~l ak~ l + —^— 6,
1+Xi
	1+Xo					I+ x °		j^o
	7 ± - [ U			f - ^ ] /?Г *0-Ч -
	1+XlV			ftTi ^ 1<7—“*/
	l+x0 i		i	‘ S r ‘ , " ‘ + l		-	7	T	x
X 2 ( ^ - 1		)hk RTk°~*							k - \ .
						k=l
k=i	- l	Ri			1 + X o
	(0
	CO
	Ув Я2 Rl		n + l			2n
			2	a ft	+	2	Pft	° k	• <6-34)
		_fc=l				ft=0

Таким образом, вопрос сводится к рассмотрению краевой задачи теории упругости для бесконечной плоскости с от­ верстием, отображаемой на внешность окружности радиу­ сом .Rj < 1, при граничном условии (1.50) с правой ча­ стью (6.34).

181

3. Решение граничной задачи

Умножим полученное граничное условие на ядро Коши

2 ] da ^ и проинтегрируем его почленно по контуру Г,

считая точку р последовательно расположенной вне и внут­ ри Г. Интегралы типа Коши от выражений, находящихся в левой части граничного условия, выписаны в главе 1. Приведем здесь значения интегралов от слагаемых, входя­ щих в правую часть (6.34).

»

Представим выражение ^ а У У (k— 1) hhR~k a~k в виде ©' №.0) *=i

со I ------

I

0)'(^ с )'

n+1

п

У (k— 1) hb R~k a - k =
k=1	' h	1

=(Ло + hI a + ... + h'nan) (h2 R r2 a~2+ 2h3 R^3 o~3+...~h

+( n - \ ) h ni?r "o-«) +

+ 2 J ~ r t 2		» - ‘) К «г* » - * = 2		* +
*=1	hk=l			jS)
	■	n+1
+ 2	'4- ^ “ ‘ +	2	t f - O M r * ® " * - (6.35)
k = l		k=\	k = l

Коэффициенты Ak,		A'—k, выражаются соотношениями
n - ( k + l )
Ak = 8 k+i	2	vhv+l R ^ v+l>hv+k+i
V= 1
(* =	0,1 .......n —2);
П — k		(6.36)
AJk = 6*_, 2		(v + k - 1) К hv+k RT(v+A)
v=0

(*= 1,2, ..., n).

Тогда интеграл типа Коши от выражения (35) имеет зна­ чения:

182

			- ( Я Л		n		,
			(О ---					=
		—Г			У ( k ~ 1) К R -ь o-k
		2tu J	со' (^ ict)			I	a - r r)
		p			k =
			л-Н		„	'	n
			-2		Rigk		ft Y1—ft.
							2 ( ^ — !)4 -R rftl1
				— 2			•‘4—ft "П- *. П вне Г	(6.37)
					ft=i
				n—2
			62		2		11 внутри Г.
				ft=0
Запишем далее				выражение
со	\ ст /	I					«+t	.-L. (6.38)
			„ X 1 А,.'O -irrft-14-V —5 liL -
с о ^ Г ^		* «, а “			^		CT“ Kft Л1а
Интеграл типа Коши имеет вид
■Г.со (*) .					da		ч (ад+! ^ ) ’г‘
							Т1 вне Г
2 ni J со' (Ri a)			RiO	a —т)
	г						—- У h'k rj*—1, т] внутри Г.

Ri ft=i

(6.39)

Вычисление интегралов типа Коши от остальных членов

(6.34) не представляет трудностей.

После интегрирования получим два функциональных уравнения относительно неизвестных функций Pi(t]), ф('П) вида (1.66), (1.67) с правыми частями соответственно:

2			/	d		2 (ALk- R T k A - k)r\~k+
			^	1+Х0		ft=i
П+1							- f t n	- k
b=1		Rif] — a k			~
			11	я	ft=l
ft=l			■	""
"n+1 n				'				n - l \ —
	^		Ri gk — gk			-(ho— h0)	- 1
l+ * i			Я1 4	—ah			« Г ‘ П

183

				n-f-1		}	(6.40)
				k=\		}
D,=	Vb« 2^		f	/ I	1 "	,
		~	y h	k 4 ^ ( / R ^		+ dR l^) -
		1+* « £ i				2/«i/lг
		n — 2					I
	1+Xo	6 =2			Л ) ^ > + у		• (6.4i)
		*=0				*=0	J
Разложим все члены первого функционального урав­
нения по отрицательным, а второго — по положительным

степеням гр Выражение ALk — R j k Л_* представим										в виде
					n — k
ALk — Яг*Л_й=6*_, 2						(v + Л— 1) hv+k{RT ^+k)
					V=0
Av	*) — 6*-i				n — k	(v-f k— 1) hv+k (R^v ht,—hv).
					k 2
Тогда						^		^	^
fi
2 (Л1й- / ? г *л_Л)г|-* = 2								S ( v + £ - i)Av+4x
					&=1			v=0
				x ( ^ r v K — hL)vrk.						(6.42)
Принимая во внимание разложение
	n+ l		n '				oo
	Y	tfigk—gb					v-1 * „
				a6			m=1	1	1
получим
*=1					A=1			—* T]—* =
	OO		n
-	2		( k —		1) h k	C*m R - ( k + m ) „ -(ft+ m ) =
	m = U = l			■			1		1
	' « Д , J			1(* - l> A ,ftU R r ” »r"
		°°	E (m — 1 ,n)
	' Ж			Ж	{-k ~		l)hhCm-kR7mr r m,			(6.43)

184

где Е(т — 1, п) — наименьшее из чисел т — 1, п.

Кроме того,
Л+1 _	'	n_i „_i	""
'V' Rigk' gh			C*m / ? — ( " И - 1) T i - ^ + D	:
	—«ft	R T \ 4 - l =
k=i			m=1
		2 C*m- l R - 7 m r \ -m-		(6.44)
		m = 2

После разложения по отрицательным степеням т] выражение (6.40) примет вид

д	fyr/_ d _	2 bk- i R i kv r k 2 (v + A— 1)х
2	1 \ l + Ко	,/г= 1	V—1
	со /Г (/г—1 t n )
X /?v+ft (R jvK — hv)— 2		2	(m— 1) hmc|_m ^ 7	* rr*
	ft=2	m=l	oo
1
	(A i-A o)i?r14 - 1- 2 c J - , / ? r ft4 - ft
1+Ki
	n+l		ft=i
		я r &yj—^		(6.45)
	— 2
	*=1

Разложения членов уравнения с правой частью (6.41) по положительным степеням т] выписаны ниже:

2 { K - R \ h k) ^ - l= 4 (h'k+l~ R k+l hk+1) ^ . (6.46)

ft=i		ft—о
		ti—i
2 Afc(/i?5-4-rf/?‘- * ) ^ - i = 2 аа+1(//?н ^ г й) лй;
ft=l		ft—0
n—2	л—(ft-b U	(6.47)
2 i f A +i	2	vAv+i (/?T<v4_I) Av+a+1 —R<lhv+k+i) =
ft=0	V=1
n — 2	n — (ft+1)
= 2	2	vAv+i(i?r(v+ft+1)Av+ft+i —Av+fe+I).
ft= 0	v= 1
		(6.48)

Таким образом, соотношение (6.41) перепишется в форме

				п — 2
		2	(	2 ^ft+i Ri л* х
	я—(*Н-1)			^ 1-Ь >с0 k~Q
		vAv+i (tf-f(v+'H-»Av+ft+ i—Av+ft+i)—
	х ' 2
	V= 1

185

			и—1
		1+xi	2 ( ^ +1- ^ + < / г ,+1) ^ -
			Ri k=o	]
	1	n1—-11	2n
		2 Afc+1 (//?? + dRTk) 4k) - 2 Pfc /?? ri*		• (6.49)
		i=o	k=o	)
	1+ к0 *

После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ц придем к системе линейных алгебраических урав­ нений относительно неизвестных cv, av вида (1.110), коэф­ фициенты которой определяются формулами главы 1, а свободные члены выражаются следующим образом:

				2					\
dx=	я	j F / _ 1		_ 2	vAv + , (/?r v h ' - Av) -
		M + x 0 v=o
		1		(Ao — A,,)4) — a , ) ;
		1 +	K i
		d		2 (v +		i)Av+2(^r vA;-
		1 + Ко v=o
		-Av)		1	Ci		a2	;
				1+Xi
	Vb«2		— [ 2			(v -f- 2) Av j3 (Rxv x
			1 + Kq Lv=o
	X A.v	Av)—A2c*l-|----					—&з|;
				J	1+Xi		/	J
<*4=	*2 * V	l \ l	+ Ко [3A4 (A5 —A0)—Л2 c5-
	-2 A3 c*] + ——				C3N —a. j.;
				1 + X l
		1+		2 vAv + 1 (/?r (v + 2 )^ + 2 .					(6.50)
				К о V = 1
	-Av+г)"		1	+K1 (RT*h'2 - h 2)-
	- r s r ^ v + ' W r t ) - ? . } ;
		1+Xo A2 (^Г4 A4 —A4)—

186

+ .	^4 {lJr d R 16) \ +	Рз);
1 + Xo	/	J

4. Определение напряжений

Система линейных алгебраических уравнений (1.110) решается относительно неизвестных cv, av со свободными

членами (6.50), отнесенными к величине v R2.

Полученные значения cv, av должны быть подставлены в формулы для напряжений, которые получаются из извест­ ных соотношений Колосова — Мусхелишвили [52J:

£р+ °0 — 4 Re

о0 —ap+2tTp0 = ^4=. х	(6.51)
Р2®со' (СО)
+ *!"<о}.
Определим напряжения в массиве на линии	контакта

с обделкой. Напомним, что

(6.52)

187

где ф0(£), фо (?) — функции, соответствующие ф(£), главы 1 и выражающиеся теми же формулами.

Напряжения в массиве на линии контакта можно опре­ делить по формулам (1.127), (1.125) с подстановкой вместо р

значения

и добавлением слагаемых Ор*,

ов*,

Тр0*. При

этом

Gp Т" GQ

■4

ai ci + d bi Тв R

(6 .5 3 )

М * ,

М *

где

H2 + rf(2

2

FRl

FR\

cosG;

bx

sin 0.

(6 . 5 4 )

l+^o

"

1+ Xo

Из второй формулы (6.51) следует:

00

_м*

, о- м*

2а2

/

FRl

X

-Op

+ 2 t T pe =

------

1 —

^

со' (а)

1+ х0

X ~СО(а)' со' (а)—со (а) со" (а)

1 со (о)

асо' (a)2

La2

и '

(а)

а-2со' (а)—а-1 со" (а).

2 (k— 1)hk ak~2 -f щ o - \

со' (а)2

со (о) X

k= 1

X Тв Я2

2а2

FR\

со (а)'

2

со'(а) (

1+ х0 /

асо' (о)

— ^

(k— \)hkak~ 2 -\-XqO~1

VbR2

YbR2

2а2

k=1

(o' (a)|2X

FRl

2

— 1)hhok~2—-k0'tо_1

k=i

_ YbR2

FRl

| со' (a) |2 a -1®' (a)—o)' (a) X

2

l+xo

~n

X

2

(k— 1)hk 0 k—x0a

Отсюда

_ k = i

M *_ам* _ 2

ci fli +d{ T)i

YbR _

Gq

P

c(2 + d(2

‘

2 ’

TM» _

c( aj—

*1

y B p

(6 . 5 5 )

Г -

188

где

а 1=

(1—х„) cos 0 +

2

(/г— 1) /гАcos k 9

1+ ио

k — I

=

FR\

П

(1—xo)sin0 + 2

(k— \)hk sinkQ

1 + Х о

k = 1

(6.56)

а, =-

FRi

tl

(1 + xo) sin 6— 2

(k—■1)hk sin kQ

1+ Хо

fe=i

FRI

(1-| Xo)cos0— 2

{k— \)hk coskQ

1+x0

k — l

Из формул (53) и (55) имеем:

М* _

cifeoi—a i)+di (2b 1—Иl)

уBR

Р

c'S + dl*

~ ’

2

(6.57)

Ci (,2а i -j-ai) -f-d[ (2b i -j-b 1)

_ yBR

ae.

cp + d?

~

’~T~

Сумма величин

o£

-f- Gg

в

обделке выражается фор­

мулой

<

+

»S’ =

4

i i s

± | b

. . i «

,

,6 .5 8 )

где

02=

1 + х0

d 2

(&— 1)hk р-* cos /гО —12^.° p-i cos g

k = I

1 -J-

d

2

1 +

Xo

(k— l)/zftp -ftsin^0--------- p-1 sin 0

1 +

Хо .

*= 1

1 + X 1

(6.59)

Следовательно,

напряжения oj)

определяются

соотноше­

нием

к *

=

/ .

c i а 2 + d l 62

к *

2 \

м р

(6.60)

ое

| 4

- . . . . . . ----- По — г I

,

Ув#/

2

причем

при определении величины oq

на внешнем контуре

сечения обделки в формулу (6.60) подставляются все вхо­ дящие величины, вычисленные при р = I, а в качестве о'р* берутся его значения Op = Ор • Для определения же вели-

189