книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

Производная функции Р 2 (£) на Г, как следует из (1.39), имеет вид

п — 2

Р2 (<*) = W (a) + d6 2 2	kAh o ~ k~ l.	(1.41)
ft =	0

Тогда
Б ( - ±	»-)/ /	\ dQ	f	г	1
					Vo1 /
2 n i J со' (а)	■ P i	( О----) г = —		,J	' , , ,
		а- —£*	2n-ягt		со' (а)
г
		со I — \	я— 2		аг —*—1
+ d — Г —±-2—L V ^
	2 яс J	СО' (о)	£ = 0

/ / \ d(f f

Ф ( ° ) ---- г +

0 — 1

d o

(1.42)

Запишем подынтегральное выражение второго слагаемо­ го правой части (1.42):

со {— \	п -	2
°g)	2	= (Ao+^i<r+... + Anor«) х

*= 0

x(А1в-2 + 2А2о-3-{- ... + (я —2) Лп—2 a - '1+ 1)-

n+	1	n —2
+ 2	. -	у k A „ a -k- 1
		^ 2
		-«A,
		‘ A = 0
Коэффициенты при положительных степенях а выра­
жаются соотношениями:
Яо — Aih^Т-2 Л2 /г3+	... +	(я —2 ) Лп_2 /гп_! = б2	у	vЛv + 1 ;
			V — 1
			п — 2
^ 1 *=ЛЛ3 + 2 Л2 А4-(- ... + ( я —2 ) Л„_2 ЯП= б2			у vЛv/гv+г ;
			V — 1
В2 = А ^ 4 + 2Л2 /г5 +	... + (я—3) An—zhn — 8 3		у	уЛ ^ г+ з;
			v= 1
Вп-1 — Aihn’
В общем виде
«-(*+ 1 )
5 ft = 8ft+ 1 у	\ЛуАу+*+1 (Л = 1 , 2.......я—2);

v= 1

40

				п — 2
				J3q= 82	vAv Av+i*				(1.43)
				v = 1
Коэффициенты при отрицательных							степенях		а:
• B-i = А ^ 1		+	2Л2 /г2 -ф...ф-(/г —2) Лп_2 /гп_2 = 6 2					2 ]	vAv/zv;
								v — О
= Лх/г0 +			2Л2/г1+...-{-(п		2) Л7г_2 /гп -		3 = 6 2	^	уЛу/гу_ 1 ;
								V— 1
								п — 2
В_3 =2Л 2й0 + ЗЛ 3^х+...-1-(п					2) Лп_2 /1л _ 4 = б2			2 ]	vЛv/гv_ 2 ;
								V = 2
В. ( r t - 1 ) — 6 2 (п 2 ) Лп_2 й0.
Таким образом,
		п —2					..., п — 1).
8 - ь = 6 2		2		* Л Ж _ * + 1	(6 = 1 ,2 ,				(1.44)
	v~k—1
Учитывая приведенные формулы, имеем
-		/	1	Я — 2		п — 2
со
	со' 0(а)			2 6 Л й а - *-- ‘ = 6.		ft =	0
		п— 1		6= 0
				л + 1		л —2
		fe=l		- f t о -‘+2 a —8 ha h		ft = 0
				k = i

Таким образом, второе слагаемое правой части (1.42) имеет вид

	d -ii- f ^ 1 -2 -1 2% Л лаг--А- 1				do
	2 Я( J со' (а)	^			а— £
	р	« = О
	л — 1	л -|-1		л — 2
-Фб2	2 ; в - * с - * - б 8</ 2		7	^ 2	^ ^ _1’ ? в н еГ -
	/е= 1	" ^ ~ а ^ = 0
	л — 2
d6 2	2 ) 8 ft С*, £ внутри		Г.
	ft= 0

41

Отсюда с учетом (1.34) получим

			-	1	1
		1	* со (\		О			da
		2ni	J	со' (a)		Р'2 {°) в - i
		Я+ 1	г
— t								- k
		k—l			*= l
-db,	n— I		n + I		8k	n—2			, £ внеГ; (1.46)
			A=		aft ft= 0
	= 1
	A
	n — 2			n — 2
-tb.	^	Л £*Н -^в ^					£ внутри Г.
^	й= 0			k=Q
Подставляя		значения		интегралов				из (1.40) и (1.46) при
£ внутри	Г	в формулу			(1.37),		имеем
			~ (	1	N		Л ~	2
	Qi (£) = scp i —				i—/б,		2	л ^ + / б 0+
							k =	Q
							—/	1
		л+ 1					СО ( т ) «
		k=\					«'(О		Я|(£) +
		^2 £—«s
		+ tb2n^ A			k ^k- d b 2n^ B h^ .
			k=0				ft= 0

После приведения подобных членов функция Qx (£) при­

мет	вид
				п — 2	Ah ^>kJrlb.
	Qi(D —S Ф		) + у б 2 2
~	! \			k=0
						п — 2
со	гг+ 1						(1.47)
Ю' (О ■^ ( 0 + 2			г—	■^ ю -		2 5* s*.
где
	^ ^ ^	__	Кр fxt	-f Ц о __ Ki [х04~ pi
			P o ( l + X l )		Р о (1 + К !)
	_	(Ко — 1) Их— (Xi— 1) Но					(1.48)
			Цо ( 1	+ Xi)

42

Подстановка (1.36), (1.40) и (1.46) при £ вне Г в формулу

(1.35) дает

Qa(9 = t		ф' ©		2	, gh		2	х	^-*с-
			k = ll - « h				£
— P i	{ —	) --- -Со— /				ф' (о		п+ 1		gk
									2	l — ah
d	I t			d		n+l		k=i
2					lbn		gft			Ю —
							£—«ft
A= 1						*= 1
		П+ 1
— t	’’ro S tf^ -S -4- '
n — 1		k	=	i b		* =	i
				n-\- 1		n — 2

—C?6 n

2

. * = 1

й -* е-* + A=lfe ftA= 0 + ^o-

После приведения подобных членов функция Q2 (£) опре­ делится формулой

П-\- 1			00
Q» ( £ )= -* ф' ® 2	е= ^ - 2			^ - *
k=xt - * n			k=l
n — 1	n + l		n — 2
-d8 „
.*= 1	A= 1 b	я A= 0
n + l		,		(1.49)
£= 1
		k	=	l
Таким образом, мы выразили		функции Q2 (£), Q2 (£),
Р 2 (£) и ф (£) через функции ф (£)			и Р х (£). Найденные

значения указанных функций подставляем в граничное

условие		(1.7), которое с учетом (1.9)		примет вид
		- I R г
		(О	№		)+
	(v)+^
со	Ri		- J R		i
, , , D
		P;(^ia) + Q2(P1a ) = - p c B ( ^ - ) + C. (1.50)
со'	(Rt а)			\	a j

Итак, вопрос сводится к рассмотрению краевой задачи теории упругости для бесконечной плоскости с отверстием,

43

отображаемой на внешность окружности радиусом R x < 1 с помощью рациональной функции (1 .1 ), при граничном

условии (1.50).

Р е ш е н и е п о л у ч е н н о й г р а н и ч н о й з а ­

д а ч и .	Умножим граничное условие (1.50) на ядро Коши
1	da

— i • —----- и проинтегрируем его почленно по контуру

Г, считая точку л последовательно расположенной вне и внутри Г. Интеграл типа Коши от первого слагаемого имеет вид:

				2 nir		l	c- R ‘
		со
		— 2	ck R* 1т к,		Л вне Г;
		k= 1							(1.51)
			с0,		л		внутри Г.
Рассмотрим второе слагаемое (1.50). Учитывая (1.1),
имеем
~	(R1	= со {Rxа) = R			а -	1	+ ^	<7v	r vov
©	'
							V= 1
	о/ {R-lо) = R j 1 —			^	V<?v R r v~ 1			o ~ v~ 1 j .
				V — 1
Поэтому
со	R i	R i o	1 +?г# 1 1 о +				. . . + qn R i		п оп
_____ __
ш' (Rio)		j —д1 r — 2 0 - 2 — ... — tiqn R R n~ 1a ~ n~ 1
	Rn1^ z on + q1Rl ап+г + ... + qn RiQ2n-\-								1
	Rl+l on+ l. - q 1R t - l on-					1— .		■nqn	(1.52)
Выделяя целую часть функции (1.52), получим
- ( R i								п - f 1
	со	= ha-\-h1e		+	h		n оп		gk / >
	а							k=21
	со' (R1 о)								o —a.k
где hi (i — 0 ,		1 , ...,	n) — коэффициенты, разложения це­

лой части, получаемые делением многочлена на многочлен

44

(что будет выполнено далее); ак — корни знаменателя функции (1.52); git — вычет функции (1.52) в точке а = а'к.

Но,	сравнивая			(1.52)	с (1.27), замечаем, что ак =				по-
этому
							л+ 1
(o' (tfi а)		= h!>-\-h1a			... J\-h'nonJr 2			Ri gk	(1.53)
							*=i Ri а — а к
Учитывая также, что, согласно							(1.10),
						оо		aV—1	(1.54)
				p,i (p i °) = 2		Wv я ? - 1
получим					v = 0
					- J R 1
				— Г —А_?.. - р'			(^ а)	:
				2яi J со' (Я].а)			' ст— г]
(	n + \
	А= 1					’1ВНеГ;
	ю ( —	I			n+ l	Rigk
	л		PKRiri)— 2			^ п - а й р 1		К>- Л внутри	Г.
	со' {Ri ri)				ft= 1
Далее, принимая во внимание (1.47), возьмем интегралы
от выражений,				входящих в функцию				(i?xa):

2 ju1 2
Затем:
1			da
2я/			а — г)
1	С ,		da
-ГГ	J	Ьо-----
2л1			а —ц

г) вне Г;

, ц внутри Г.

0, т) вне Г;

_ п — 2

л внутри Г;

fc = 0

0, г| вне Г; А>, Л внутри Г;

: 45

—	Г *У —	P [ K ) ~
2ni	J « Si a—ctfe	о —1
	г k = l

n+ 1

Уgfe ■- P' (ак), г) вне Г;

M R i 4 — ak

k

= l

т] внутри

Г.

0 ,

Кроме того,

0,

г|

вне Г;

, п — 2

—

f у

BhRb ak - da

п — 2

внутри Г.

2ш'

p k—0

a

2

Bk R\ г]*, г|

* =

0

Учитывая,

что

-

/

1

' 0-1+2 ^ ^ °v)>

(О

RЬ

)

= ( * { ~

к ) =

т

г

запишем отношение

со

1

Rio )

_ RjQ- 1 + q 1 R1a + q2 Rf a2 + ■■■+

Яп Ri on

со" (/?i о)

1

—q1Rl 1a

—

nqnRl

- n — 1

„ — n — 1

“

‘ a~

Rlon + ql Rl+2an+2 + ... + qn Rln+ 1

a2n+ 1

R n + l a n + l _ q i R n - l a n - l _

■—nqn

Поэтому

Ш

D'/D

rr\

^

Г

( Rl°

)

D„

a —ц

2ni

J

a'(R1a)

^ 1

n+ 1

г

к ) ,

т]

вне Г;

M

Ri4—ah

k= i

- /	1
(О
nr	^ f ^
(0	(ахШ

п+ 1
(#i л) — У	Б ~ ^ — р 1 (“*)■ л внутри Г.
* •	Л » —а*
k J \	R Tl— “ ft

Таким образом, интеграл типа Коши от третьего слагае­ мого граничного условия (1.50) выразится следующим образом:

2т

46

			о,	Т]	вне Г;
s ф	] +	тб2
=м	'	k=0
					(1.55)
- Ч		п'
^i 1!/
СО' (/?1Ч)			k= 1
п — 2
			Ч внутри Г.
—с?б2 2	^ h ^ i 4 k>
к =	0
Интеграл типа Коши от функции Р 2					которая, как
следует из	соотношения		(1.38),	имеет	вид

Р				п — 2
	( -	1		■d 8 2 2 A R r k ak + db0- c 0,
ч	-			k=0
равен:
				2ni1
			О,	г| вне Г;
	—	/ р	\	п — 2
	t ф	— —dd2 ^ A h R r k 4 kJrdb0—с0, т] внутри Г.
		VЧ /		*= о
	Как		вытекает из (1.41),

(1.56)

(1.57)

				п — 2
Р» (R1o) = tif f (R1a) + db2 ^					kAha - k- i a - * - ' , (1.58)
				А = 0
где, в свою очередь,
	ф '(# 1	ст) = — ^		vav/?~v- Ia - v- 1.
			V=*=1
Учитывая	(1.53),	запишем
	ф'(/?1 <Г) =		— ( К		+ К	а + ■■■ + h'n о п) х
со' (/?1 <Т)						п + I
х (a, Rr 2	о- 2 + 2а2 R r 3		а -	3 +	...) +		Rigk
						Ф' (R, а) ^	Pl<3 —«ft ‘
						k= 1

47

Выпишем коэффициенты, содержащиеся в этом выра­ жении при положительных степенях а:

А'0= а± R - ■ 2 h’a-f 2аг R - 3 h’t + ... -f (п — 1) ап- х R { п К =

= Si 2 vav <v+1} K+i\

V = 1

A'1 = al R - i h,3-\-2a2R ^ 3h^ + ••• +(ti — 2)an. 2R ~ n+ 1h'n =

= 62n2 2vav/? r (v+I) hv+2\

V= 1

An-2 = ai R ^ 2 h'n.

Коэффициенты при отрицательных степенях а имеют вид

А'-х = a xR ~ 2 /г; + 2a2R - 3h'2Jr ... + nan R ~ n~ l h'n =

=^ v h v R f 4- 1av;

v— о

A —2 — cii R ^ 2 h0-{- 2a2 R ^ 3 hx -f-... + (ti + 1) an + 1 R —n~ 2h'n=

=2 l ( v + i ) ^ / ? r v- 2 av+i;

v—о

Таким образом, в общем виде

Л& = бй + 1	n - ( k +	1)		(k — 0, 1, ... ,n—2);
	2	vav/?f <v+ ‘) Лу+А+ 1
	V = 1			(1.59)
A L k = 2	( v + ^ - i) /t; i? r		(v+ft>«v+ft-	l ( k = l , 2, . . . , oo).
v= o				(1.60)
Учитывая изложенное, можно записать
			п — 2
со' (R1	ст) ф'(/? !* )= - в , ^			6 = 1
		п+ 1	6 = 0
				(1.61)
		ь ,	—а 6
		6=1

48

Интеграл типа Коши от этого выражения равен:

		-/Ях
		П Т			da
	2 п	i J ю'	( R 1 о)	ф '(Ях <*)-0 —Г]
		г		л + 1
•*».	*—фЧ ^ хЛ) У				p^ lgA	,1,	> 11 вне Г;
					1 И 0
А= I				А= I Я Ц — «ft					(1.62)
- 8 а " s W		,			Т| внутри			Г.
А =	0
Запишем далее произведение
^ГТТГТ		* Г * " ’ ° -		ft-	1 = {К +	h[a + ... +			К о»)х
® ^ 1 °) aS ,
х ( Л Я г 2 0 - 2 + 2 Л2 R -			3 а -3 + ...+ (л —2 )Лп _ 2 Я?					+ 1	а~л+ Ч-
+	У - Hl- 8± . у			k A k R r k ~ 1 o ~ k ~ x.
	^	R ^ —аь ^			h
* = 1		1	я *=о

Коэффициенты при положительных степенях а выра­ жаются следующим образом:

в;= АхR r 2К +2Л2ЯГ 3Л;+...+(л—2) Лп_2ЯГ П+:1A»-i =

=б2 2 v ^ B r (v+1)/iv+i;

в ; = л Г яГ 2 л; + 2А2Яг 3 к + • • ■+ (Л - 2)Лп _ 2 Яг " + 1 Лп =

	= 6 а ” 2		v H ^ r< v+1)^ + 2 ;
		v = о
	В„ - 2 =	Я г2		К-
	Итак,		л — (А+1)		„
	В* = 6 ft+i
			2	v A ,# r (v+1)^+A + i(& = 1 , 2 ,	п — 2 );
			v=o		(1.63)
		л — 2
	в 0= б2 2		v A , B r (v+1) /K + i -
		v = о

Коэффициенты при отрицательных степенях а имеют вид

49