книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

		VbR2			n — k
	D1			2 V i « r ‘ 2 < v + * - i ) x
		2	+Xq
				.fe—1	v=0
				со	E ( k — 1 , ti)
	Xhv+k{R^K—hy)r\~k--2				2 (m—l)x
				ft= 2	m—1
				n	n

X h m C%— m R T k i ) - 1

V	R r k 4 - k	2 (v + k ~ 1)X
1+ Xl		V = 0
f t = l
2 n +	1

X |3v+ f t - i (Rrvhv—hv) + 2 ( C - ft —

oo	£(ft— 1, 2 n - \ - 1)	ft= i
“ 2	2	(m — l)Pra-lc*—m T
ft= 2	m—1.

(7.43)

d (1 +xi) ft= l

Разложим все члены функционального уравнения с пра­ вой частью (7.40) по положительным степеням переменно­ го т]. Из формул (6.27) и (6.36) имеем

п — 2	п — 2	n—(ft-f 1)
2	(A'k — R l A h)x\k = 2	ц кSfc+ 1 2 v/jv+ 1 х
&—0	&= 0	v= 1

x ( R r <v+1) ^v+ft+i — R\ ^v+ft+i) =

=	n — 2	rc — (ft+1)			v/jv+ 1(^r(v+*+i)^+A+i —Av+Jk+
	2 т1*6ь+1^		2
	ft — 0		V =	1					(7.44)
		n — 2
	Выражение				—R\Rb)4k c учетом (7.37) и (7.27)
		2
примет вид		ft =	0
n — 2				n — 2		n — (ft+1)
2 ( С £ - Я ? С * ) Г | * =				2 л * б * +1 2			vpv( ^ r ( v + n ^ + , +1-
&= о				k—Q		v= 1
					n — 2		n —
	— #fftv+ * + ,) =				2		2	vPv x
					f t = 0		V — 1
	X ( / ? r (v+* + 1)^v+ft+i— ^v+ft+i).								(7.45)
Наконец,
2 hh(dR i ~ k+					1)	1= я2	Лк+1 ( ^ r H		/я?)л*.
f t = l						ft =	0		(7.46)

210

После разложения по положительным степеням ц пра­ вая часть второго функционального уравнения (7.40) при­ мет вид

П2 =	yBR2	F
	2	1+ Хо^

x ( R x <v+*+1)

n — 2 n —

+r b fi22 6fe+i^ T1"

*= 0

п — 2 n — ( k + 1)

2	&k+l R if\k ^	v^ + > x
k = 0	V = 1
h v + k + \ —^v+*+i) +
(&+ 1)
2	vM*>(V + A +	D t ' &-г 1_
v = I

2rt

Av+ft + O — 7-J— У	+
k = 0
П—1

7~ У bk+1(dRr* + tRi)4*\.		(7-47)
1+ x0 > 4	I
k = 0

Разложения левых частей функциональных уравнений приведены в главе 1. После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ц придем к системе линейных ал­ гебраических уравнений (1.152) с другими свободными-чле­ нами, формулы для определения которых, полученные из

(7.43), (7.47) при п = 4, приведены ниже:

di-		-~^— d У vhv+i(RYvK — hv) +
		1 + Xn	V — 0
	У vPv {Rt v K — K)			dxi — /	a.
1 + X i	V — 0			d (1 +Xi)
d2= —7вД!я -2			^ (v +	1) hv^ 2	(Rt vhv■
		1+ Xo	v = o
) + T T ~ У ( v + O P v + i ^ x - ^ - A v ) -
	1 + X i	v = о
		dxt —/ a .
		d (1 +	xi)
d3= — ^	l p> -3\_ L -d		2		(7?x vhv-
3	2	1 l+xo	V —о

8*

211

	—hv)		— h2 c*			1		^	(v + 2) pv+2 {R rvhv-
					1+ Kl
								v = о
				Av)-PicT					dxi—/	a,
									d (1 +xi)
	di = - ^ R - 4 [ - L - d t f K Q i ' b - h ^ - c l h -
					1+x0
	-2cT As] + _1__					^	(v 4“ 3) Pv+3 (^ i V^v				Av)-
				l + ^i		_ V =	0
				■ pic2 — 2|32 c*					йщ— l
									d (1 + Xi) a 4 ;
					1+ ^-0		d ^ v / j v+ 1(^-< v+ 2)/lv+ 2 --
							V =		1
	-Av+2) + - 1 -					У vPv(^ 1- ( v+ 2 )^ +2_ / Iv+ 2)-
				1+хЧ^1
		1			2 +	K l ) -		1 -f- 7-0
	1+ Xi Pi (^1
									К (dR- 2 + /)
	A'		Yb R 2				dh2 (RY4h'i — hi) +
	d2= —			r	1+ Xo
		1
	,			Pi( R 1	4 ^4		^4)		ГТ	2 P 1 4 +	xl) ■
		,
	1	+Х1							1+Xi
						h3 (dR x 4 + /)
					I + Xo
	d’z =	^		R \	1			6+ xi) '
				1+Xj P8(* i

+7 - H ^ ( ^ r e + /) 1+Xo

d; = M . _ L . p 4 ( V + )(i^ );
	2		1+x1
с(к	_Vb.^2.		1 |	5 + xi #J);
	2		1+XiP5 ( ^ 1
4;	_7b-R2	•	1 f)
	2		1 +Xi

212

В дальнейшем через cv, av обозначены корни системы уравнений, решенной при значениях свободных членов (7.48), отнесенных к величине yBR 2/2.

3. Определение напряжений

Как известно, напряжения связаны с комплексными потенциалами соотношениями Колосова — Мусхелишвили. Напомним, что

	.Yb^I	ф (£)-■r f -		InS
	2		1 + х0				(7.49)
Ф(1)(0 = 7 в R2					ЩIn С
		Ф (S) + f (С)		1+		•I
где					Ко
						п +	1
^ * ( 9 = Т 7 ~	£©'(&)		2 к ь к~'			2	«ь xrk.
					d (1 + х i ) k = 1
1 + Хо			k= 1				(7.50)
Кроме того,
9 i( S ) :		4bR2 [PAQ + P-AQ+PKQl					(7.51)

Чтобы определить напряжения в массиве на линии кон­

такта с обделкой, нужно воспользоваться формулами гла-

м D

вы 1 с подстановкой в них вместо р величины J-y- и доба-

вить к ним значения ар , од , т ре , которые будут получены ниже. Очевидно, что

(jM*	- а“* =	4	c i ai~\-d\b1	7 в R		(7.52)
Р			c f + d?
где
<h =		cos0; Ьг -		■sin 0.		(7.53)
	1 + Хо		1 4 “ Хо
Далее			2о2	7в^2
а“*—а“* + 2гт					14Хо	X
р	1 “"'р0 -		|(0'(П)|2	2

X <й'(а)а-2 +«" (а)а-1 со (а) 4

со'ф)

213

	- со' (о)	F ( со (а)'со'(а) —со (а)со"(а)		со (а) о_2_
		1•ф'Хо	асо'(а)2	со'(сг)

^ ( k ~ \ ) h h ok~^ k=i

и + 1

1

2 kah<3~k~ i + d(l + *i) k=l

	F И„0-1	c{2+d(2		YbR 2 (		F (cj— id[)x
	1 + К 0			2		1+ Xo
	X(cos0 + г sin0) —(c' + /d')			—	V	(k— l)/ift(cos£0-f
				1+Ko k=i
		1	n + 1
	i sin &0)+		^	kak (cos (&— 1) 0-
		d (1 +xi)
			k =	l
	-i sin (k — 1) 0)-		Fkо		(cos0 + / sin0)
			l -{-Ко

Таким образом,

л м * ___п м . _ 9 c l a l + d ( bt _ Yb /?

где	6		P	C(2+ d(2		2 ’
ai =	1+Xo ( 1 — Kfl) c O S 0 - | -				2 ^ —	l ) ^ fec o sA 0
			n-f- 1		A= 1
			2	kah cos (6— 1) 0;
	d (1 + Ki) *= l
*i =	(1—Ko)sin 0 — 2				(*— l) ^ s in £0
	1 + Ко			*= l
			n-f 1
		1		&aftsin (k — 1 ) 0 .
			2
	d(l +Ki) k=i

(7.54)

(7.55)

Как	следует	из	формул	(7.52),		(7.54),	значения о $ ,
сге определяются по формулам (6.57)						с подстановкой най­
денных	значений	аъ	Ьъ аъ	Ьг.	Нормальные напряжения
в обделке на линии контакта					с массивом		определяются
формулой
	° р = ° р		7в Ht-	со (а) +со (ст)			(7.56)

214

откуда
ок= а“—2	—— cos0— У я cos v0	УвЯ	(7.57)
р р	I R	2
	V = 1
Кроме того,
0Г + ^ = 4 К е ^ = 4 ^ еО ^ . 4 ^I j			Х/ 2
	2	di
х Ы	^ h h(k— 1) p~k (coskQ—i sin kQ) -f
1 4-Хо *= 1

2п

——V &pfep-<A+1)[cos(^+ 1)0—-i sin(£-f- 1)0]l ,

1+ Xi / “	0
£ =

t . e.
ок* I 0к* _ 4	c(a2 + d(6 a	yBR
° p	c[2 + d[2 '	2 ’

где

b2 =

П

d, 2 — l)/jftp~ftcos £0 + 1+ Xo k=i

2n

7X- У

l+x< k=0

1+ Xo

%P_(A+I)cos(^+ 1)0;

^ { k — \)hk p - k sin kQ- k= i

2n

(7.58)

(7.59)

-i-У %p-^+Dsin(M-l)0.

1 + xi > 4

A = 0

Для вычисления величин напряжений на внешнем кон­ туре в приведенные формулы подставляется значение р =

= 1, на внутреннем — р = Rx. Значения о£ + ae до­

бавляются к величинам суммы Ор + о£, вычисленным по формуле главы 1, после чего определяется сумма нормаль­ ных напряжений на внешнем и внутреннем контурах сечения обделки. Чтобы получить значения нормальных танген­

циальных напряжений <Tq в обделке, необходимо от найден­ ных значений сумм вычесть величины Ор, которые на внеш­

215

нем контуре определяются формулой (7.57), а на внутреннем равны нулю.

На рис. 36 приведены			эпюры	напряжений		в обделке
сводчатого очертания		при	Ех/Е0 == 1,25;		=	v0 = 0,3
для случая, когда уровень			грунтовых вод совпадает с ше-
лыгой свода	обделки.	Значения		напряжений		отнесены
к величине	. Кривыми 1 и 2 показаны				эпюры <Тр и 0 9

на внешнем контуре поперечного сечения, кривой 3 дана эпюра <7 д на внутреннем контуре.

СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ПО РАЗРАБОТАННОЙ МЕТОДИКЕ

СНЕКОТОРЫМИ ПРОЕКТНЫМИ РЕШЕНИЯМИ

Сцелью сопоставления результатов, получаемых по

разработанной методике, с существующими проектными решениями произведены расчеты напряженного состояния для четырех сечений обделок тоннелей Нурекской ГЭС на р. Вахш: обделки катастрофического водосброса с глу­ бинным водозабором, камеры затворов строительного тон­ неля 3-го яруса, затворного узла глубинного катастрофи­

216

ческого водосброса и обделки типа 17 катастрофического водосброса.

Полученные расчетом результаты сравнивались с дан­ ными определения напряжений на моделях из оптически активных материалов.

Отделка катастрофического водосброса с глубинным водозабором

По трассе тоннеля запроектированы обделки типа 15 и 16. Модуль деформации породы на основании штамповых

испытаний	принимался:		Е0 = 65 000 кгс/см2, коэффициент
Пуассона	породы v0	=	0,3. Модуль деформации бетона
= 180 000 кгс/см2,		коэффициент Пуассона бетона		=
- 0,15.

Исследование напряженного состояния этих обделок производилось методом фотоупругости в научно-исследо­ вательском отделе Саогидропроекта. При моделировании использовался оптически активный материал, имитирующий бетон, с коэффициентом Пуассона vx = 0,35. Считалось, по аналогии с результатами, получаемыми теоретическим путем для кругового кольца, что несоответствие коэффи­ циента Пуассона вносит погрешность не более 0,3%.

Расчеты напряжений в этих двух обделках по предла­ гаемой методике производились на ЭВМ «Наири».

На рис. 37 приведены эпюры напряжений в обделке типа 15. Кривыми 1 показаны радиальные контактные напряжения ар/р; кривыми 2 и 3 — соответственно нор­ мальные тангенциальные напряжения ав/р на внутреннем и внешнем контуре сечения обделки. Сплошными линиями даны эпюры напряжений, вычисленные по предлагаемой методике; пунктиром — экспериментальные эпюры, полу­ ченные на моделях из оптически активных материалов. Как видно из рисунка, расчетные и экспериментальные эпюры по характеру совершенно идентичны, за исключе­ нием окрестности угловой точки внешнего контура, где оптическим методом напряжения определить не удалось.

Различие в величинах контактных напряжений, наблю­ даемое в районе пят свода и в нижней части обделки, не превышает 15%. На внешнем контуре величины нормаль­ ных тангенциальных напряжений отличаются от получен­ ных экспериментально в районе пят свода на 16%. На внут­ реннем контуре величины этих напряжений согласуются хорошо, существенное отличие заметно лишь в боковых

217

стенках обделки, где расчетная эпюра имеет более плав­

ный характер.

Для сравнения эпюр изгибающих моментов и продоль­ ных сил, возникающих в обделке, последние вычисля­ лись по формулам строительной механики, приведенным в главе 1.

На рис. 38 представлены расчетные и эксперименталь­ ные эпюры продольных сил (кривые 1) и изгибающих мо­ ментов (кривые 2). Эпюры продольных сил согласуются

хорошо, а в значениях изгибающих моментов имеется раз­ личие, особенно существенное в нижней части боковых стенок обделки и в окрестности угловой точки контура, причем значения моментов, определенные расчетом, ока­ зываются меньше, чем полученные моделированием (в ниж­ ней части боковых стенок — в три раза).

Как указывалось выше, при оптическом моделирова­ нии в качестве материала, имитирующего бетон, исполь­ зовался оптически активный материал с коэффициентом Пуассона не = 0,15, a vx = 0,35. В отличие от обделок круговой формы, для обделок некругового очертания по­ грешность, вызываемая такой заменой значения v1; суще­ ственна, особенно в величинах моментов. Произведенные подсчеты показали, что для обделки типа 15 погрешность в величинах ст0 на внешнем контуре достигает 17% в райо­ не середины боковых стенок и 25% в лотке, на внутреннем

218

контуре— 18% в середине боковых стенок. При определении продольных сил погрешность не превышает 16%. Изме­ нение величины коэффициента Пуассона для материала обделки особенно значительно сказывается при вычислении изгибающих моментов. Здесь погрешность вследствие из­

менения	достигает 46% в районе пят			свода,	а в лотке
близка к 60%.
Применение оптически			активного материала		с коэффи­
циентом	Пуассона	=	0,35, создание	при моделирова­

нии условий плоского напряженного состояния вместо условий плоской деформации и трудности в обеспечении условий полного прилипания на линии контакта, по-види­ мому, и обусловливают расхождения в величинах изгибаю­ щих моментов, которые при исследовании методом фото­ упругости оказываются завышенными.

Для обделки типа 16, применяемой в том же тоннеле, удалось произвести сравнение только величин нормальных тангенциальных напряжений на внутреннем 'контуре се­ чения, так как методом фотоупругости были определены только эти напряжения. На рис. 39 представлены эпюры напряжений а в/р на внутреннем контуре (сплошная ли­ ния— расчетная эпюра, пунктирная — полученная методом

19