книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

П Р И Л О Ж Е Н И Е

Напряженное состояние толстостенных труб

Общее решение задачи

Рассматривается плоская задача теории упругости о напря­ женном состоянии трубы некругового поперечного сечения под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по обоим контурам (задача Ляме), а также под действием нагрузки, распределенной по одному из контуров сечения, когда другой кон­ тур жестко защемлен. Последним случаям соответствует труба, насаженная на жесткий вал (защемлен внутренний контур), или труба в жесткой обойме (защемлен внешний контур)1.

Пусть функция, отображающая поперечное сечение трубы — некруговое кольцо — на круговое кольцо, имеет вид

( 1)

причем конформное отображение производится так, чтобы защем­ ленный контур переходил в единичную окружность, а нагруженный контур — в окружность радиусом Rx. При действии нагрузки по обоим контурам не имеет значения, какой именно контур переходит в единичную окружность.

Граничные условия поставленной задачи в преобразованной области запишутся следующим образом:

В случае задачи Ляме в		условиях (2), (3) принимается g =	1;
К = 1; h	= — pi, f2 = — р	2.	0;
Для	трубы с защемленным контуром К = х; g == — 1; ft =

E-i = 0; f ^ ~ ~ р2-

1 Решения этих задач могут найти применение для приближен­ ного расчета обделок, а также в машиностроении при расчете труб на прочность.

230

И сх о д я и з (2),			им еем
	К -		( 1		СО					Cl
					со' (С)<Pi (£) +			s	\lJ +
’М 0 - - у »		‘ ( т								g	(4)
Подставляем			полученное			в форме (4)		выражение для ф ^ )			в
граничное условие (3);				последнее принимает вид
				1		со		- /	1
- i Ri		К -					0 “ П R 1 а
<Pi	~	7	ф 1	Ri'o!)+■			a ' ( R i <j )		V l ( R i0):
				\ о	J	g	[Rio	+	C * .		( 5 )
Функцию	<Pi(0, голоморфную						в области кольца Rx < р <				1,
отыскиваем в виде суммы
				<Pi(D	=	РАО + РАО,					(6)

где функция ^i(SK регулярная внутри окружности единичного ра­ диуса, может быть представлена разложением.

P i « ) = | ] c v £v,	(7)
v=o

а функция Р2(0, регулярная вне окружности радиусом Rlt включая

бесконечно удаленную точку, представляется в окрестности боль­
ших £ рядом1:		ОО
		М £ )= 2 * v r v-	(8)
		v= 1
Умножаем		далее полученное граничное условие (5) на	ядро
Коши 2	I	do	счи­
	• р _^ и интегрируем его почленно по контуру Г,

тая точку £ расположенной последовательно вне и внутри Г. Все интегралы типа Коши будут такого же рода, как и рассмотренные в главе 1, поэтому на их вычислении мы не будем останавливаться. После некоторых преобразований получим два функциональных уравнения:

ОО				СО
2 с* ( я ? - у R T k ) r				k - ^ ( A ' ~	k - R Г TЧ k A ~ k )
k = l	1	8	'	Й=1
	п+ 1R\gft		k	п+1 Rig'k-Sk
+2. ад=^'Ч(в*,+Ч№0Ь					R d —<*h
1 При		формулой (7)		представляется	функция, регуляр­

ная внутри круга радиусом Ru а формулой (8)—функция, регуляр­ ная вне единичной окружности.

23 1

							_1_			(9)
				= R [f ,R i~ — hRT[ U ~ 1'
							8	rc —2
	^ a	u	^ -	j R	l	) ^	- 6 a ^		U a—/??Лл) C*
	k—i							6 = 0
							- ( R i
							CO
	-" 2	Ц	-	^	(«*>+				Pi'№ 0 =
	^	R^ ~ ah						(O' (/?iE)
							—*_— f dM Й			( 10)
			=Я 2 ?л (/*Я ГА- - ^ r f i R i ) t
				6= 1		V		8
	Здесь величины Ah, Л_^, Л^							и Л_[_А определяются формулами
(31), (32),		(59)	и (60)		главы		1;	— суть корни уравнения		п +
+	1-й степени (100); g k				и g'k даются формулами (102) и (104) главы 1;
бI,	как и в главе 1, определяется формулой
							1,0	г>я
	Разложим		все	члены		уравнения (9)			по отрицательным	степе­

ням £, а уравнения (10) — по положительным степеням £ и прирав­ няем в каждом из этих уравнений коэффициенты при одинаковых степенях £. В результате получим систему линейных алгебраических

уравнений относительно неизвестных			коэффициентов разложения
в ряд функции <P i(£ ),	а именно, cv	и av, которая,			будучи соответст­
венно укороченной, примет вид
2 ст, vcv+ 2 am,vav			(m =	1, 2, .... r);
v= 1	v= I				(П )
2 cm,v cv +	s
	2 am, v a\	dm	(m	2,	• • •, s).
v = 1	v = l

Уравнение, полученное из (10) приравниванием коэффициентов при т = 0, отбрасываем, так как оно дает лишь зависимость по­ стоянной С* от cv, flVj которая при вычислении напряжений нам

не понадобится.

Выпишем коэффициенты при неизвестных, содержащихся в сис­ теме (11).

Коэффициенты при cv (v = 1, .... г) имеют вид

	к •tfrm]- vK rw+1	п+ 1
ст, v ^т, v I		2 rk +v~ 2 [(яг1ик-
	8	6 = 1	(12)
—M^)cos(m+v—2) Фд— (Kf1 vh —и£) sin(m+ v— 2)

где

/К , V

1 т = v

0 m^=v

232

Коэффициенты при av (v =				1, 2,	s) первых г уравнений вы­
числяются по формуле
am , v ~ v R i т [®n— m+ v+ 1ст—у —1						— т 0	^п — т-\- v+ ])Х
	4	hv - m + l - R T {V~ m + i ) K - m + l ) ] ,								( 1 3 )
где с*т определяются формулой (1.109).						г) в остальных s
Коэффициенты при cv (v =				1, 2,	...,					уравне­
ниях записываются в форме
	г'		— vfi	pV—1h"				_.
	Lm , v		v v+ 2/г —m —2 ■''1			nm -v + l
_ V^OT+1 2			r1~m~ 2 [(Я71uk — Uk) COS (v—m — 2) (ph~
	k= \
	—(R 7XVk— a*)sin(v —m— 2)cpft].									(14)
Наконец, коэффициенты при av					(v =	1, 2,		s)	последних's
уравнений	вычисляются из соотношения
		a m , v = X m , v ( R T m - — R ? ) ~
-	6 2 6m +	v V R ? (^ (v+m + W h ' +				m + 1 - h		v + m	+ l ) .	(15)
Свободные члены		системы
dm= A-m	Ri	~	fl -^l 1j 1 ^'m~^m—l <Jm(^fi‘R i m						~ flR™ ^ ■
										(16)

Входящие в формулы (12)—(15) величины могут быть опреде­ лены из соотношений, приведенных в главе 1, в частности,величины ид, vh> и 'ки v 'k — 113 (1-102), (1.104), Г(,ифь — модули и аргументы корней ад — из (1.101), величины h-t , hj и h'- — по формулам

(1.97), (1.98) и (1.99).

Полученные после решения системы (11) величины неизвестных cv и av подставляются в формулы для определения напряжений.

Для случая задачи Ляме система уравнений (11) решается дважды, и последовательно определяются неизвестные cv и av при учете

свободных членов, содержащих рг и р2■Для определения нормаль­ ных тангенциальных напряжений о0 от нагрузки — pt , приложенной

по внутреннему контуру1, в приведенные ниже формулы подстав­ ляются значения cv, av, получающиеся при свободных членах в си­

стеме, содержащих рг. На внешнем контуре

Однеш = 4	с[а[		Pi-	(17)
	c'^+d'S
1 Считаем, что при отображении		внутренний контур		переходит

в единичную окружность.

23 3

Н а в н ут р ен н ем к о н т у р е

внутр _		(18)
°6	—

Подстановка неизвестных, полученных из решения системы (11) со свободными членами, содержащими р2, в данные ниже формулы позволяет определить напряжения, вызываемые нагрузкой — р2, приложенной на внешнем контуре сечения трубы.

На внешнем контуре

(19)

На внутреннем контуре

			авиутр_4 с[а[ +d[b(			(20)
				ci* + dia
В формулах (17)—(20) приняты обозначения:
		п
c[ = l ~		] £ vq v p		v 1cos (v + 1) 0;
		v= 1
	n
d i=	2	v?vP	v	1sin (v + 1) 0;
						(21)
a ( =	2	vcvPV	1cos (v —1) 0— 2 vavP		V	1 cos (v -b 1)0;
	r			s
b'x =	2 w vpv		1 sin (v —1 )0 + 2 vayP		V	1S in (v + 1) 0,
V=1				V=1

причем в формулы (18), (20) входят величины (21), вычисленные при р = 1, а в формулы (17), (19) — величины, вычисленные при р =

=Rv

Вслучае, когда один из контуров сечения жестко защемлен,

напряжения на защемленном контуре определяются по формулам:

(22)

куда подставляются значения входящих величин при р = 1. 234

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 48

Напряжения ст0 на нагруженном контуре вычисляются по формуле

	_ ( . С1 а1 Л'й'хb'i	\	(23)
	В =Г	+

куда подставляются значения (21) при р = Rv

23 5

Рис. 49

Рис. 50

Приведем результаты расчета для некоторых конкретных слу­ чаев.

На рис. 45 приведены эпюры напряжений в трубе коробового очертания. Кривыми 1, 2 показаны соответственно напряжения 0^/12 plt возникающие на внешнем контуре сечения трубы от на­

грузки— pL, приложенной на внутреннем контуре, и сг0/12 р2 на

внешнем контуре от нагрузки — р2, приложенной на том же кон­ туре. Кривыми 3, 4 даны эпюры нормальных тангенциальных на­ пряжений о0/ 15 pi (i = 1,2), возникающих на внутреннем контуре

от нагрузок — pi и —р2.

На рис. 46 показаны эпюры напряжений в той же трубе, поме­ щенной в жесткую обойму. Кривыми 1 и 2 показано соответственно распределение нормальных напряжений ор/р и ст0/р на внешнем

контуре, кривой 3 — напряжения о0/р на внутреннем контуре.

На рис. 47 даны эпюры напряжений в трубе, насаженной на жесткий вал. Кривые 1, 2 характеризуют соответственно напря­ жения Ор/p и Og/p на внутреннем контуре, а кривая 3 характеризует

напряжения сг0/р на внешнем контуре сечения трубы.

Частные случаи

В частном случае, когда внутренний контур сечения трубы есть правильный многоугольник со скругленными углами, число ко­ торых п + 1 (при п = 1 будем иметь случай эллиптической трубы), система уравнений (11) распадается на неоднородную относительно неизвестных Ci, £714-2*с^п-рз, С371+4, ..., ац, а2п+ъ ^зп+2>••• и одно-

23 6

родную относительно остальных неизвестных, которые, следова­ тельно, равны нулю.

Искомые не равные нулю неизвестные определяются из решения

системы	(3.13).		Коэффициенты этой линейной						системы уравнений
определяются формулами:
		R’P - — RYm-rn y 2m2RTm + l M,								m=v
			g	*						;
		-vvy + m - 2 R - m + i M t								т ф \
		n m -v -2 ^ r m+l M,				v —m<n — 1
ат,у~~ yR- m - 2 n H>						v —m = n — 1 ;
		.0,				v —m > n — 1
		- v R f + 1 yv~ m- 2 M,				m —v< n — 1
cm,v = '				H,		m —v = n —1
		0,				m —v > n — 1				(24)
		RTm~ — R f ,			m = v
> S-
			8			у
II	lo,				т ф \
djn —1			g		m — 1
						У
					т ф 1
,,	(	Я п ( f z	R i	П '	f i R l ) ,	m=ti
dm=)		\		8	)
	lo,					т ф п
В формулах			(24) qn — коэффициент,					отображающий функции
z = R(t, +		qnL~~n),		причем для трубы			в абсолютно жесткой обойме
(внешний		контур		сечения	переходит		в	единичную окружность):
				а-\-Ь		а—Ь		R1+1,		(25)
				2/?!	> Qn — а-\-Ь

где а — радиус описанной около внутреннего контура окружно­ сти; b — радиус вписанной во внутренний контур окруж­ ности.

Для трубы, насаженной на жесткий вал (внутренний контур переходит в единичную окружность):

а-\-Ь	Qn—	а—b
= ~ 2 ~ ;		(26)
		аф b

Значения М и Н определяются формулами (3.19).

На рис. 48—50 даны соответственно эпюры напряжений в эл­ липтической, треугольной и квадратной трубах при действии рав-

237

f

номерной нагрузки по обоим контурам. Кривыми 1 и 2 показаны на­ пряжения oQhpi на внешнем контуре от нагрузок — pt и — р2,

кривыми 3,4 — те же напряжения на внутреннем контуре.

На рис. 51 представлены эпюры напряжений на внешних (а) и внутренних (б) контурах тех же сечений в случае защемления од­ ного из контуров.

При посадке на жесткий вал на рис. 51, а кривыми 1 даны эпю­ ры Од/р на внешних контурах, а на рис. 51, б показаны эпюры

tjg/p (кривые 2), Од/p (кривые 3) и тр9/р (кривые 4) на внутренних

контурах.

При наличии жесткой обоймы напряжения ар/р, сГд/р и тр0/р

на внешних контурах распределяются согласно кривым 2, 3, 4 (см. рис. 51, а), а на внутренних контурах распределение сг0/р дает­

ся кривыми 1 (см. рис. 51, б).

Вычисления производились на ЭВМ «Наири», причем в систе­ мах удерживалось 10 уравнений, что по сравнению с более точным расчетом (при наличии в системах 16 уравнений) дает погрешность величин напряжений, не превышающую 5%.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................................................................................		вопроса				.	3
Состояние						5
Р а з д е л		I. Расчет тоннельных обделок на внутреннее равно­					28
Г л а в а	1.	мерно распределенноедавление .........................
		Определение напряжений в обделках тоннелей
		некругового очертания		от действия		внутрен­
		него н апора...........................................................	задачи.Граничные			28	28
		1. Постановка			условия
		2. Переход к задаче для односвязной области.					30
		Решение задачи ..........................................................		линейных		алгебраи­
		3. Составление	системы				53
		ческих уравнений......................................................
		4. Составление	алгоритма расчета........................				61
		5. Определение напряжений в массиве и об­					67
		делке .............................................................................
Г л а в а	2.	6. Порядок и этапы расчета..................................					72
		Анализ напряженного состояния обделок напор­
		ных тоннелей	корытообразного		и коробового		93
		очертаний....................................................................

1.Зависимость напряженного состояния об­ делок корытообразного очертания от их

геометрических параметров	............................... 94
2. Влияние деформационных	характеристик
обделки и окружающей породы на напря­
жения в обделках корытообразного очер­
тания ......................................................................	98

3.Зависимость напряженного состояния об­ делок коробового очертания от их геомет­

		4.	рических		параметров...............................			102
			Влияние		деформационных		характеристик
			обделки и окружающей породы на напря­						105
Г л а в а	3.		жения	в	обделках коробовогоочертания
		Некоторые частные случаи .........................						107
		1. Напряженное состояние кольца,						внутрен­
			ний контур которого есть правильный мно­						107
		2.	гоугольник ...........................................................			состояния		тоннель­
			Анализ	напряженного					116
Р а з д е л	II.		ных	обделок эллиптическойформы				. . . .
		Расчет		тоннельных обделок			навнешние на­		126
Г л а в а	4.	грузки				обделок		тоннелей
			Напряженное состояние
		некругового очертания от действия собст­
		венного веса окружающих выработку горных
		пород						126	126
		1.	Постановка ..........................зад ач и					. . .
		2.	Граничные ..................................условия					128
		3.	Порядок ......................................		расчета			132
		4.	Пример .......................................		расчета			135

239