книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

+ (сх + id t )	- 7	£	vcv a - v + 1+				62	vAv ov+ , j | =
	d V =		1				V —	1	J j
			2p	{c[a'[ + d[b"i),					(1.123)
	C1		—
где			+ +
a " = —		2	vavcos (v +			1) 6—
	v = I
	1	r
------ 2			VCvCOS(v — 1)0
	d	V = 1
	n — 2
— 62		2	v+,cos(v + 1)0;
	V =		1						(1.124)
b'[ =	2		v a v s i n	(v	+	1)	0 —
	V =	1
------ —		V V c v		s i n	(v	—	1 )0	+
	d	v = 1
	n—2
+	S2	2	V,4v s i n		(v +		1) 0.
	V =		1
Касательные	напряжения на линии							контакта	обделки
с массивом выражаются формулой

тре = ■тт Р ■ ,2 (+ b [ "				а’Г).
где		ci + +
а[" — —		2	vav cos (v +	1) 0 +
		V = 1
,	1	Vi	v c V COS (v —	1)0 +
+	_ 7 ~	2 j
	“	v = 1
		n — 2
+	62	2	cos (v +	1) 0;
		V — 1
b[" =	S
	2	vav sin (v+ 1) 0 +
	V ~ 1
+ —		y\	vcv sin (v — 1)0 —
	d	v = l
		n — 2

— 62 2 vAySin ( v + 1)0.

v = 1

(1.125)

( 1. 126)

7 0

Из равенств (1.121) и (1.123) определим радиальные наряжения а“ и нормальные тангенциальные напряжения о* в массиве на линии контакта его с обделкой. Получим

	„м		с [ (2 а [ — al) + d[ (2b\ — b'[)			^
	UP —		Гг		Гг	n
			Cl	+ dx		(1.127)
	м		ct ( 2 a x + a x)	-f	dx (26x + 6 X)
		=				p.
	0 0		------------- з ------	+	та-------------
			ci		d1

Перейдем к определению напряжений в обделке. Нап­ ряженное состояние обделки характеризуется комплекс­ ными потенциалами фх(£) и %(£). Первый из них имеет вид

1- Фа (£) = ^				[Рг (£) + Р* (01 = 2			Cv SV+
рЯ					V — 1
				п — 2
+	- ^ Ф ©			- ^ а У		+		(1.128)
	Ра			v== 0
Определим сумму нормальных					напряжений в обделке
О р	00	Ш		= 4	Cl й\ ^	d \	b 2 - р.	(1.129)
				I	сх +	1
				(0		d[
Здесь введены обозначения
a'	=	2	vcv Pv_ 1cos (v — 1)0 —
	V— 1
		s
	— /	2	vav p~v- 1cos (v-f 1) 0-f-
		v = 1
			n—2
	+ e?82		2	vylv p~v~ 1cos (v+1) 0;
		r	V = 1					(1.130)
b'2 =
		2	vcv pv~ 1sin (v— 1) 0 +
	+ t	S
		2	vav p~v_ 1sin (v +			1)0 —
		V = 1
		л—2
	—d62		2	v.4v p~v~ 1sin (v +			1)0-

V= 1

71

Поскольку на внешнем контуре сечения обделки радиаль­ ные напряжения будут такими же, как в массиве на ли­ нии контакта, и определятся первой формулой (1.127), то, чтобы вычислить величины нормальных тангенциальных

напряжений Од на внешнем контуре обделки, можно вос­ пользоваться формулой

		(1.131)
куда в качестве с /, dx ,		а2' и Ь2' подставляются их значе­
ния из	(1.120) и (1.130)	при р = 1.
Так	как радиальные	напряжения на внутреннем кон­

туре сечения обделки равны —р, то для определения нор­

мальных тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки следует воспользоваться формулой

(1.132)

куда подставляются значения величин, вычисленных при

Р = Ri-

Касательные напряжения в массиве и обделке на линии контакта одинаковы и определяются формулой (1.125) при р = 1.

6. Порядок и этапы расчета

Исходными данными для определения напряженного состояния обделки тоннеля являются: заданные форма и размеры внешнего и внутреннего контура ее поперечного

сечения, величины модулей деформации		материала обдел­
ки и окружающей	выработку горной	породы Ех и Е0,
а также значения	и v0 — коэффициентов Пуассона соот­

ветственно для материала обделки и вмещающей породы. Первым этапом расчета является построение конформ­

ного отображения любым из известных способов (один из таких способов, особенно удобный в случаях, когда конту­ ры сечения обделки заданы графически, будет описан да­ лее) и определение коэффициентов разложения в ряд ото­ бражающей функции qx, q2, ..., qn и радиуса окружности R i < 1, в которую переходит внутренний контур сечения, когда его внешний контур преобразуется в окружность еди­

72

ничного радиуса. Отметим, что построение конформного отображения должно осуществляться в каждом конкретном случае, весь остальной расчет может быть запрограмми­ рован и выполнен на ЭВМ.

Расчет ведется в следующем порядке: определяются

величины		=	д* [fy y j	, и* =	3 — 4vj	(t =	0, 1) и зна­
чения t,	d,	/, s,	у по формулам (1.24), (1.20),				(1.18), (1.23)
и (1.48),	затем		величины	ht,	hi и /г"г	из	соотношений

(1.97), (1.98) и (1.99), причем количество этих величин определяется в зависимости от числа членов ряда отобра­ жающей функции п и количества уравнений г и s, удержи­ ваемых в системе; затем находятся корни уравнения (1.100) ak и их модули и аргументы по формуле (1.101).

После выполнения этих операций вычисляются вели­ чины A k, B k, Ch, D k, СУ и D k' из соотношений (1.103), (1.105) и определяются значения uk, vh, ик и vk' по форму­ лам (1.102) и (1.104).

Следующим этапом является вычисление коэффициен­ тов матрицы системы линейных алгебраических уравнений (1.110) по формулам (1.111)—(1.П4) и свободных членов в долях pR из (1.116) и решение этой системы относительно неизвестных cv, av.

После нахождения указанных неизвестных коэффициен­ тов определяются напряжения в массиве на линии контакта с обделкой по формулам (1.127), (1.125), причем вспомога­ тельные величины, необходимые для этих вычислений, находятся из соотношений (1.120), (1.119), (1.125) и (1.126) при значении р — 1.

Нормальные тангенциальные напряжения Oq на внеш­ нем контуре сечения обделки отыскиваются из соотноше­ ния (1.131), куда подставляются значения вспомогатель­ ных величин, найденные по формулам (1.120) и (1.130) при р = 1; напряжения же на внутреннем контуре опреде­ ляются формулой (1.132), в которую подставляются те же величины, вычисленные при значении р = Rx. Усилия в обделке определяются по обычным формулам сопротив­ ления материалов для внецентренного сжатия бруса ма­ лой кривизны.

Отметим, что в результате конформного отображения по­ перечное сечение обделки имеет переменную толщину, не­ сколько увеличивающуюся в боковых стенках и лотке по сравнению со сводом и уменьшающуюся в окрестности угловых точек контура выработки. Это происходит вслед­

7 3

ствие принципиальной невозможности построения указан­ ного отображения для некругового кольца постоянной толщины, поэтому напряженное состояние реальной об­ делки определяется последующим переходом от усилий М я N к напряжениям по формулам сопротивления материа­ лов с подстановкой в них проектного значения толщины обделки.

Поскольку отклонения толщины обделки от проектного значения, появившиеся вследствие конформного отобра­ жения, как правило, невелики и, кроме того, в натуре не может быть строго выдержано постоянство толщины обделки по всему периметру выработки, по-видимому, погрешность, возникающая по этой причине в результатах расчета, не будет иметь существенного значения.

Все формулы, необходимые для вычислений, содержат величину п, т. е. пригодны при любом количестве членов ряда отображающей функции. Поскольку на практике в ос­ новном встречаются тоннели корытообразного (сводчатого) и коробового очертаний, а также других форм, контуры поперечных сечений которых достаточно точно отобража­ ются при сравнительно небольшом количестве членов ря­ да отображающей функции, в дальнейшем мы будет про­ изводить вычисления при п = 4. Кроме того, в системе урав­ нений будут удерживаться четыре уравнения первой группы (г = 4) и шесть уравнений второй группы (s = 6), что, как показали подсчеты при г = 7, s = 9, дает погрешность в величинах напряжений, не превышающую 5%.

Этапы расчета

Определим напряженное состояние обделки напорного

тоннеля сводчатого		очертания.	Форма и относительные раз­
меры	поперечного	сечения	обделки	представлены на
рис.	3. Угол опирания свода а = 120°,			отношение высоты

внутреннего контура сечения (от лотка до пят свода) к его пролету hJ2b~-1,2, относительная толщина обделки в замке

свода Ь/2Ь = 0,15,		отношение модулей		деформации мате­
риала	обделки и	окружающей	горной	породы EJE q =
= 1,25,	коэффициенты Пуассона		= v0 = 0,16.

Для осуществления необходимого конформного преоб­ разования отобразим сначала внешность внутреннего кон­ тура поперечного сечения обделки на внешность единичной окружности, а затем путем еще одного преобразования пере­

74

ведем окружность радиусом Rt* > 1, в которую при ото­ бражении переходит внешний контур сечения, в окружность единичного радиуса, при этом внутренний контур сечения преобразуется в окружность радиусом Rx < 1.

Указанное конформное отображение можно осуществить различными способами. Очень удобным в случае, когда контуры сечения заданы графически, является графоана­ литический способ П. В. Мелентьева [53], которым мы и бу­ дем пользоваться.

хх

О

О

Рис. 4

Ж

Построение производится следующим образом. Вычер­ чивается в Масштабе внутренний контур поперечного се­ чения обделки. Начало координат располагается внутри контура на оси симметрии, с которой совмещается ось Ох (рис. 4), причем его положение выбирается так, чтобы мож­ но было провести окружность, описанную вокруг контура с центром в начале координат. Затем половина симметрич­ ного контура разбивается лучами 0, I, II, ..., VI, исходя­ щими из начала координат, на шесть частей (лучи прово­ дятся под углом 30° друг к другу). Далее из того же центра проводятся вписанные окружности (их может быть несколь­ ко). Если один луч пересекает две окружности, то для сле­ дующего построения выбирается окружность большего ра­

75

диуса. На отрезках лучей /, II, .... V, заключенных между описанной около контура и касающимися контура изнутри окружностями, как на диаметрах, строятся вспомогатель-

и
ные окружности, пересекающие контур	в двух точках.
Из двух точек пересечения выбирается	более удаленная

от начала координат и из нее на соответствующий луч опускается перпендикуляр. Расстояние этой точки от луча

76

обозначается vn, а длина луча от начала координат до пе­

ресечения с перпендикуляром — ип. Значения п^0) читают­ ся на шкале прозрачной палетки (рис. 5), которая накла­ дывается на чертеж таким образом, чтобы шкала ип совпала с п-м лучом, а шкала vn •— с перпендикуляром, опущенным на луч из точки пересечения вспомогательной окружности

с контуром. Отметим, что оо0> и Об0> равны нулю, поэтому в качестве «о0) и г40) принимаются длины соответствующих лучей до пересечения их с контуром. Затем решается систе­ ма семи уравнений относительно а„ \ у которой в качестве свободных членов берутся измеренные значения i4,0). Матри­

ца системы уравнений			для	вычисления а(п0) приведена
в табл.	1.1.
					Т а б л и ц а 1.1
	Матрица	системы уравнений для определения а ^
й(0)	4°>	4 0)	а<°>	а<°>	а (°)	а<°>	Свобод­
“о			а 3	а 4	а 5	а б	ные члены
1	1	1	1	1	1	1	„(0)
							и о
1	0 ,8 66 02 5	0 , 5	0	— 0 , 5	— 0 ,8 660 25	— 1	и<°>
1	0 , 5	— 0 , 5	— 1	— 0 , 5	0 , 5	1	4°>
1	0	— 1	0	1	0	— 1	4 0)
1	— 0 , 5	- 0 , 5	1	— 0 , 5	- 0 , 5	1	4 0)
]	— 0 ,8 66 02 5	0 , 5	0	- 0 , 5	0,86 602 5	— 1	ц<0)
1	— 1	1	— 1	‘	I	1	4°>
Найденные из решения системы величины ап(0) подставля­
ются в формулу для определения ti0):
		v(n0)=	- S	4 0)s in — .			(1433)

v= 0

Для нахождения следующего приближения Un) проз­ рачная палетка со шкалами ип, vn (см. рис. 5) накладыва­ ется на соответствующий луч, после чего передвижением

77

							Т а б л и ц а			1.2
	Результаты трех приближений при построении конформного
				отображения
п	„(°)	в<°>	„<°>	«<*>	0(‘>	п	4 2>		а<2>	„(2)
	п	п	п	п	п				п	п
0	8,05	6,915833	0	8,05	6,907500	0	8,05		6,900833	0
1 7,72		0,129171 —0,85 7,7			0,147919 —0,83 7,7				0,149705	-0 ,8 4
2	6,68	1,203333 —1,51 6,68			1,151667 — 1,53 6,68				1,171667	—1,52
3	5	0,205	—0,22 5		0,248333 —0,13 5				0,248333	—0,18
4	6,67	—0,703333	1,79 6,8		—0,695	1,67	6,72	—0,688333 - 1 ,7
5	8	0,290829	0,02 7,84		0,228748 —0,04		7,88		0,253628	0
6	6,8	0,009167	0	6,80	0,060833	0	6,8		0,040833	0

шкалы ип вдоль луча добиваются, чтобы полученное зна­

чение v(n } оказалось на пересечении контура со шкалой vn. При таком положении палетки на шкале ип читаются зна­

чения ип( \ Величины u q 1) и остаются прежними. Далее снова решается система семи уравнений, но в качестве сво­

бодных членов принимаются uil) и все операции повторяют­ ся до тех пор, пока построение следующего приближения уже не будет вносить существенной поправки в величи­ ны ап, В табл. 1.2 приведены результаты трех прибли­ жений для рассматриваемого конкретного случая.

Таким образом, получается функция, осуществляющая конформное отображение внешности внутреннего контура

сечения обделки на внешность единичной	окружности,
в форме
5
г = ю(Ба)= 2	(1.134)

п— 0

Врассматриваемом конкретном случае отображающая

функция имеет вид (последний член отбрасывается)

г =	со (k) = 6,90085, + 0,1497 + 1.1717СГ1 +
+	0,2217^72 — 0,6883£г3 — 0,2536£Г4.	(1.135)

Для определения радиуса окружности Д,*, в которую при этом отображении переходит внешний контур сечения обделки, решается уравнение пятой степени

a0R*15 + (a1- h 1)FC1* + a2R*1s +

+ a9* :2 + M ; + a6 = 01

(1.136)

78

где h±— расстояние от начала координат до точки пересе­ чения внешнего контура с осью Ох. В качестве R±* берется действительный корень уравнения (1.136), больший еди­ ницы.

Далее осуществляется еще одно преобразование, состоя­ щее в том, что окружность радиусом Rx* в плоскости переходит в окружность единичного радиуса в плоскости переменного £. При этом, следовательно, внешний контур сечения обделки перейдет в окружность единичного ради­ уса, а его внутренний контур — в окружность радиусом

Ri = ъ* < 1 • Отображающая функция примет вид

z = i & n £‘- n,	(1.137)
п —о
где
bn = an R	(1.138)

Окончательно получим, отбрасывая член при п — 1, определяющий лишь положение начала координат:

2 = fi,(£) = /?(g +	2 ? v £ - v),	(1.139)
где
R = b0; qv =	- ^ - -	(1.140)
	UQ

Произведенные подсчеты для рассматриваемого случая дали следующие результаты:

<7!	=	0,119;	<72 =	0,01884;	?3 = —0,04899;
<74	=	0,01511;	Rx =	0,8371.	(1.141)

Таким образом, определены необходимые для дальней­ шего расчета величины qu q2, q3, R\*

Чтобы построить контуры поперечного сечения обдел­ ки, отображаемого на круговое кольцо с помощью полу­ ченной рациональной функции, нужно воспользоваться следующими формулами:

х =	5
	2	6np‘- ncos(l — п)0;
	П=О	(1.142)
У =	2	bn pl~ n sin (1 — п)0.
	п = О

79