книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

В ' - ^ А г Я г ^ К ± 2 A 2R r 3K + ...+

+ ( п - 2	) л „ _ 2 ^ - « + 1 / г '_ 2= б 2		2	2 vA , a x - (v+I) ;
			v=o
5 1 2 = Л ^ Г 2 Л; + 2 Л2 ^ Г 3^ + - +
+ .(я—2 ) Л„ _ 2 R ^ n +		1 /гА—з = 6 2	л — 2
			2	v4v/ ^ _ i £ r (v+,) ;
			v = 1
Таким образом,
В 1 а = 6 2	2 2 v A , t f r	( v + 1 ) ^ - A +	i	(k = 1, 2 , ... , п — 1 ) .

v = A — 1

(1.64)

Следовательно, упомянутое произведение можно предста­ вить в форме

—( Ri \		П— 2								л — 2
СОI	I
V 1	'	А = 0								А = 0
я — 1			я + 1	„	/	л —2
f 6 1 У В 1 * о -* +			У	#l£A		У	М Л/?Г ‘ - > 0 ^				. (1.65)
k= 1
Учитывая (1.58) и (1.62),					получим
			- ( R 1
		1	со	—					d a
			v	a	'-я ; ( а д
		2 ni						a —ri
			J со'		a)
			г
			л - ы			/			oo	ALkT] —k
— t			/..i			- “>•			2
								* .
-db„						" + l		*	l S ;	x
		2 B i » n - ‘ +				2 \ ^ii1
									—aft
		\ k = \
л — 2
X	У						),			г] вне Г;
A = О
	п — 2					2				Л внутри	Г.
- ^	2	2 4feT)* +d8 2
	А = 0				А = О

50

Интегралы типа Коши от остальных членов граничного условия (1.50) выписаны ниже:

		2 ш		QARi°y а			d a
							—	ц
		п+ 1
*'(*■’« 2			^	-	2	А = 1
		й=1	^ т 1 - а Л
-j-d6 s	П—I					л+ 1
	2	в - . « г * л - * + 2					^
	_ft= 1					* = I
							л + 1
X " 2	kAhR r k- ' i )			-ft—1		+ 2			# 1
ft = 0							*= i
l	°°	chR ~ k x\~k,			г\	вне	Г;
—-—	У\

d * = i

Л- +

X

■«л

8k

^ Ю -

T1 — «ft

			o,	г) внутри Г;
l	R	i \	f—RRir]-1,		rj вне Г;
			d a	y i qhR r kyt ’
2 n i J	\	a )	а—Ц |R		Л внутри Г.
г			1	*=i

Подставляя полученные значения интегралов в проин­ тегрированное при т] вне Г граничное условие (1.50), имеем

оо

Л+ 1

г

k=i

k= i

—t

n+ 1

ST, Ki4\—«ft

ft= 1

ft= l

л - 1

Л+ 1

/

n — 2

>—ft —1 n—A— 1

- g?6 ,

2

в - ^ ‘ + 2

* ^ : 2

^

+

г ‘ - ' Ч

ft=l

ft=l

Яш —«ь

1 1

ftft= 0

+ t

n+l

8h

ft n - f t

+

ф'№ л) 2

- У Л_к^ г *т)

n—1

Л +

1

"j" c?62

x

n — 2

n+l

gft

+ 2

)-

ft—о

Ri n—«ft r ; k

*=i

51

— Г 2 ch R r k i \ ~ k = p R R i i r 1-

	d	k=\
	После приведения подобных членов получим функцио­
нальное уравнение:
	П-\- 1	/
t	Rigk — gk		2 (Л1 * - Я Г М _ * )т гА +
	ф'№ п) 2 D
	A	- ah	к = 1
	п — 1		п + 1	_ /
	+ d6 2 2 (В 1*-/?Г *Я -*)ГГ *+ 2			X
	_k= \		k = 1	Pi Л —«ft

х	k=Q	л- *-1	+Д ск(/??+т/?гй)т,-А+
	ГС-1- 1	R i g k — g k	P'1{ah) = - p R R 1r\-1. (1-66)
	/г= 1	Ri4 —«ft
	Подставив значения интегралов типа Коши в граничное

условие (1.50), почленно проинтегрированное в предполо­ жении, что точка г| расположена внутри контура Г, получим

	(О	А			п+ 1			- ( 1
- Со		11	г ;< я .ч > - ! г т
	со'	( R i V )					р ; м + ! *		Ri4
					^	Rill—«й
		п — 2				-	I 1
						О)
	+ А У . 4 . R 14s + ' 6« —							р ; № ч) +
		k=0		_
		п 1			p; (a^-rf68V v ? J * l fc+
		, 'V		g h
			ЛгЛ — «ft				k=0
					n — 2		+	— c0 —
	+ / ф( — W d 6 2 2
	-/6a "2 AS 4k+ db2"2 в'кЛ* = -/>£ 2 ft Rr kл*.
		ft= 0			ft= 0			ft=l
После преобразований					имеем
				s ф	P „	, + A	2 2AkR r kr\k-
					ч	>	*=o
		+ db2" 2		(Bk -	R1 Bh) ^ - t b 2" 2			^ л6-
			ft= 0				ft = 0

52

		n — 2	RA	-	( l
■<u,			(01	“ ю	и -
		^ »	д , - ‘ ч Ч ^ 11		r	1'1' p,(R.4>-
П+ 1		ft= 0	< *> ' ( *1		4)
- 2	,		Г p i <“*>+» .= -	p r	У,	* Rr* ч‘- o-67)
■“	7\1	4--«ft			■“
ft= 1					ft= 1

3. Составление системы линейных алгебраических уравнений

Полученные функциональные уравнения (1.66) и (1.67) в качестве неизвестных содержат функции ф (т]) и Рг (т]), которые определяются разложениями в соответствующие ряды с неизвестными коэффициентами av, <V Чтобы полу­ чить систему линейных алгебраических уравнений отно­ сительно av и cv, необходимо разложить все члены уравне­ ния (1.66) по отрицательным степеням тр а члены (1.67) — по положительным степеням ц и в каждом из них приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменного тр

"tJ R^k - Bh в ряд по отрицатель­ Разложим выражение ^ Ящ — “ft

*=i

ным степеням г). Учитывая разложение

оо

,т+ 1

=2 «ft1- RTmх\~т->

т—1

получим

2	(# ig'k— gk)(Rx4— ah)-l =				2 (Rigk— gk) х
* = 1					* = 1
	т— 1 г>—т ~		oo	rt-f-1
. . V 1			=2	2 (Rigk—gh) a k ~ l R7m-
X 2l	ak R 1	11
m= 1			m=1	£ = 1
Это соотношение можно представить в виде
	я+ 1	*1 8 ь-_8 к = — у			c*mRTmn	( 1.68)
	у
	М		— ah	**
	k—1			т~1

53

где коэффициенты Cm определяются формулой

					П-j-I				(1.69)
		Cm — Ri 2 (^1				8k		8к) ак
					А=1		в (1.66) выражение ALk —
	Рассмотрим далее входящее
	A - k R j k. Согласно				(1.60) и (1.32)
	ALk- R J k A - h= 2				(v + £— l)av+*_, (RTiv+k)h'v- R T khv) =
			v=0
				n
	= RTk2 (v + &— 1) (R^v h'v— hv) av+k~\.
	Тогда		V=0
						oo
	00							n
	2 iA-m —RTmЛ_т)т]~т= 2 RTm2 (v +/n—1) x
	m=1					m=I		v=0
								OO	T"* X
	X(RtvK—hv)av+m- 1KTm= 2
	/г-f (m—1)							m=1
				Vdv(/?-(v-m+1) Av'_m+! _/iv_m+j).
	X 2
	v=m—1
	Разложим	по отрицательным степеням							т] выражение
	tl-\~ 1 n		t
	ч>'(Я,ч)	I Т1 —«ft
	ft=l
	ф '	( R i 4]) = — 2				vav R Y v~ l
					V — 1
	Тогда, учитывая формулу (1.68), получим
					И+ 1	_	/
			ф'(ЯхТ1)			Rigk—gh =
							-«л
	оо						оо
	= 2 wv^rv~‘ Л- ''- 1						2 с*т R~m ц~т=
	V = 1					т = 1

оооо

= 2 42 vav £f-(«H-v+1)- ri(m+ v+ 1>=

т — 1 v — 1

оо	оо
= 2	2 cm-v-ivavRrm,n_m=2 RrmyГтх
m=v+2 v= 1			m=v+ 1
X 2 Vflv 4 - V - 1 F =			m—2
		2 ^T m rl_m 2 vav c*m-v -i.
v=l		m= 3	v = l

54

Таким образом,	имеем
Л+ 1	„ '	ОО
*'' <fi‘ ''О 2	-	2 <л1‘ ■- «г*■- м ч-‘ -
А= 1	1 я	А= 1

=2	Дги*г,п2 vavСш-v-i+2 /?rn’rMх
m = 1		v = 1	m= 1
rc+(m—1)			oo
X 2	Vflv (/lv_m+1		hv—m+l) = 2	Тт Ц~т ,
v=m—1			m = 1	(1.70)
где коэффициенты разложения			T m определяются формулой
	ОО
i	т 2	vav [8n_ m+ v + 1 Cm—v— i -f- 6v—m (1 ■т— б/г—m +v+ 1 ) X
	V=1
	X (/iv_m+i —tf7(v~m+1)^v-m+i)].			(1.71)

Запишем далее, принимая во внимание (1.64) и (1.44), выражение

			п — 1
			2 {BLm~ R TmB - m) v r m =
			т = 1
= 6 2	2	2	vAv (Ry (v+1) K - m+l — R j m hv- m+l) ц~т =
	т = 1 \ = т — 1
= б2	2	2	RTm4 - mvAv (R Y^ -m+ " X - m+l — Av-m+i).
	m= 1 v=m—1

Учитывая (1.31), имеем

■П—1

2 (Д1«—я г т Д -« )т гя =

т= 1

= ба 2 2 ^ 7 m^_m(^ r(v_m+1)/lv-m+i —

т = 1 \ = т —1
п—(v+1)
^v—m+l)'V&v+l 2	рЯрбр+v+i.
Р = 1

Таким образом, справедливо представление

Я—1 ОО

2	(BLm - R T™В —т) ТГ" = 2	'П~т . (1-72)
т = 1	m = 1

55

где коэффициенты Рт определяются соотношением

п—2

Ят = §2^,(г ^Т"1	2	v		/Zv—»i— l) 6V+ I X
л,__1
/4n—VV“r(v+1)/			'*	'*• VH
X 2 p a p V fv + i = t f r mM m 2 v a v 2 V f i P X
P= 1			v = l	p=m — 1
p = l
X { R p ^ p			~\h-1p - m^p—m-(-1) ^p+v+1=
		oo	П—(V+1)	6V+1 pX
*=Rl m62 2			^Vn+v—1 2
		v = l	p=m — 1
X ( ^ - ( p - m + i ) f i ' p _ m + l — h p - . m + 1 ) h p + v + 1 .					(1 .7 3 )
Проделаем аналогичные операции с остальными членами
уравнения (1.66).		В частности,
^	Ri n ~ a h		А

ооп — 2

= — 2 с*т R z m Ч~т 2 P ^p Rpp~ l Ц- р~ 1 =

т = 1	р=0
ОО п—2
= — 2 2	с ^рЛ „# 7 <'И-/’+ 1) г]-("г+р+1) =

т= 1 р=0

ооп—2

=— 2 2 с*т_р_! рАр RT">X]-™=

т= р + 2 р=0

оо	е—2		оо
=—2	я?" 1 чгт 2	c^_p_iрлр = —2 Ягтir_mх
т = 3	р=1		т = 3
е—2	п—(р+1)		оо
X 2 ^m—p—l ^ p + l P		2	VGv^v-f-p+1г=—2 *^пг1Т-т>
р = 1		v= 1	т = 1
			(1.74)

где е = Е (т, п) — наименьшее из чисел т и п .

Коэффициенты разложения S m выразятся следующим образом:

ООС—2

^ т ®n-f2-e	га 2 VGv	2 ^p+V Р ^ т — р— 1 ^v-f-p+1 • {1.75)
	V = 1	—р=1•
		М-^ R г

Рассмотрим далее выражение V 1<l8k~ 8k p[(ak),K0 T0 -

рое будет иметь следующее разложение:

56

°° n + 1

'г=1 1 1	й	m=l£=I		X
			А 1
		оо
	Х г \ - тР [ Ы = - ^ Dm^		,	(1.76)
где		m= 1
	п+ 1
А» =	2		(«*) =
	А= 1
	п+1	( R T 'g k - g 'd a k - 'P 'i fr J .
= Я Г " + 1 2				(1.77)
	k =	i

Таким образом, уравнение (1.66) после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях т) преобразуется к виду

tTm+ d62 Pm- d 8 2 Sm+ c m (R T + -L -R -

	—An — —pRRl^m , ( m — 1,2,...),		(1.78)
	где введено обозначение
	О	т Ф 1;	(1.79)
	%т >1	т = \ .

Разложим все члены уравнения (1.67) по положитель­ ным степеням тр Два первых члена дают

со

*ф( — ) + 5ф (-бУ		= * 2	amRTm^ +
\ л /	\R i4 /	«=о

оооо

	+ s 2 amR f a		m4]'n ( t Ri m+ sR>").			(1.80)
	m — Q	m = 0
Следующий член,		учитывая (1.31),		имеет разложение
п — 2		п — 2	п— (m+1)
2	ЛAbR^nk =	2 /R'г ?nm&бтm+i1		2	V«vhv + m + 1	=
ft= 0		m= 0		V—1
		2	Nmr f .			(1.81)
		m = 0
Здесь	принято
	N m =	6m_j_ i R ™ 2	Vflv ^v+m ^v+ m + 1 •			(1.82)
		V=1

57

Далее, принимая во внимание соотношения (1.63), (1.43)

и (1.31), имеем

	2 ?(B'k-R*Bk) y\k =						"2 (в;п-		Rf B J тг =
	k=0					m= 0
	n—2				n — (m+I)		pApiR^p+n+vh;+m+l—
	= 2 ^ г л т бт+1					2
	m=	0				P— Q
					^p+m+l) — 2			■Mm Tlm.			(1.83)
							m= 0
Коэффициенты Л4т определяются формулой
					n—(m-fl)
	м го = 8 т + 1		я ?		2	p (/?r<p+m+1 ) ^ + /n + i - ^ +m+ i)x
					P = 0					oo
			я —(p+1)
	x 6 p + 1			2	vav/zv+p+ 1 — 8 m+ 1					2 vav X
л—(m+1)			V= 1							V= 1
X	2	8 v_pp p (Ry				Лр+m +l			^p+m + 1) ^v+p+1 ■ (1-84)
	p=l
	Следующее			слагаемое,			учитывая			(1.59), представим
в форме
л—2			л—2			л—(т+ 1)
	2 A'k r]k=		2		1Г 8 т +1		2	vav R -^+V к + т +			1 =
k—Q			m=	0			v=l
					=	2	i„				(1.85)
где						Л! = 0
	Lm= 6 m+i				2	8 v+mvav# r (v+m+1 )^v+m+1 .					(1 .8 6 )
					V—1
	Далее,
	л—2				л—2			л—(m+1)
	2 Л Яг*Л* = 2 RTm Чт8m+!								2	vavAv+m+, =
	* = 0				m= 0				v=l
					=	2	^ л	и ,			(1.87)
						m=0
где	коэффициенты jV„					выражаются			следующим образом:
							oo
		Nт—6m+ l Ri т2 8v+m VOy ^v+m+ 1•									(1.88)
						v=l

58

Рассмотрим входящее в (1.67) выражение —						^ lT1'
Исходя из (1.1),	имеем				со' (Rt л)
R1 ) = R			л-1 + Д <7v# rvл*) ;
П
“ ( ^ ) = K		* r , ” " ‘ + v t , , v i ? i ’ , lV ) i
(o' (# 1	Л) = #	^ 1	— 2 vqv RTv~ l t)~v_ i j-
Тогда
“ ( т Н Ш	_ ( * . - * г ‘> - « + | м * г - ч > 1 -
со' (Л1 Л)			1 — 2	V?V^ 1	V 1 л v	1
			V = 1
^ i+i			?v^	+i (i?7	v—/?]) T]v+n+ i
			v= 1
Rn+v + 1		-	2
			v= 1
			00
		=	2	tiv-		(1.89)

Коэффициенты этого разложения h? получаются делением многочлена на многочлен (что будет выполнено далее), причем многочлены располагаются по возрастающим сте­ пеням тр Тогда

Ri

( - L \

пP\(Rir\) =

СО' (/?! Л)

оооо

=2 h'mлт 2 vcvR\~lrjv_1 =

			V = 0
=	2	^	2 vcvpx- 1 tio t + v _ 1 =
	m —n		v=0
	OO		CO
=	2	2	/lm-v+1 V C v P ^ ’- 1Г )~ т =

m = n-\-v—1 v=0

59