книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

в точках a — ah, определяемые формулами (1.148) —

	(О		ю	( т )
1~Ь И1 ______		Р[*У(о)-					vqv а~
RPi			со' (а)				МП.. Г Г — V — 1 ;--
	« ' (о)
— (h0 -jrh1 o-i-...-\-hn оп) (q1 а 2 +						V — 1
					2 <72а 3 +		. . . - Ь ^	cr-* -i)+
	+	2	2		v<7v	a - v -	i ,	( 5 . 8 )
		й=1СТ—a fev= l
где ht (i — 0, 1,		п) — коэффициенты целой части функ-
1
ffll-	вычисляемые по формулам (1.146); ah — корни
ции —
уравнения	(1.147)	и gk =	uh +			ivh — вычеты		функции

5 ( 4 ' .

о)'(о) (1.150).

Выпишем коэффициенты при положительных степенях a в выражении (5.8):

					п—1
В*0 = Чхh2 +	2 </2 Аз+ .•• +		( Я -	1)qn- i К =	2	vqv hv + 1	;
					V =	1
					а — 2
В* = q1 h3 -{-2qzhi -\- ... +			(н— 2)qn_zhn = b2		2	vqvhvjr	2 ;
					V =	1
Bn—2 — 9l^n-
							(5.9)
В общем виде
n —(&-b 1)
fife = 6ft+i	2	vqvhv+ k+i		(k — 0 , 1,...,		n—2).	(5.10)
	V =	1

Коэффициенты при отрицательных степенях a:

П

в * - 1 = q 1 hl + 2 q2 hz+ ... + nqnhn = 2 vqvhv\ v= о

( 5 .1 1 )

B - 2 = ^ l ^ 0 + 2 ? 2 ^ 1 +	+	^ n - l =	2	V < 7 v / l v - i ;
			V =	1

B —(n+ 1) — пЯп^0-

160

В общем виде
	П			(k=l, 2,..., n + l).
В*_а= 2 vqvhv_k+i						(5.12)
	v = A—1
Тогда формулу (5.8) можно записать следующим образом:
5(Т	л 0)'+)=	1 + Xi	s2	2 ? ££<** + * 2 Я*-Аа -* +
(О' (0)
	n+l		k = О		Л=5 1
			п
	+ 2	g k	2	v?vo ~ v_l		(5.13)
	k = \	О — CCk V= 1

и интеграл типа Коши от этого выражения имеет значения

Г « +

•

л 1 ~ к +

Я Р г

2

в

1 + хх

k= 1

-

/ 1

+

я+1

г ^ ~

я

J

_со

2

2 v<7vt—v—!

-

f

P i ° y

(о ) —

*=i £ —

v=i

Г

2я1i

.) со

(a)

о —£

С вне

Г7ТГ бг 2

£ внутри Г.

с т

&=о

(5.14)

и

После подстановки

(5.14)

и (5.5)

в

выражения (5.4)

(5.6)

получим

Q<o) (£) = _

l+Xj

f ( хх-

4 - ) г 1+ " 2

в и

£ -* +

[Д

d J

*=i

n + l

n

vqvt~v~ l

(5.15)

+

2

2

fe=i £ — a bv=i

Q[0) (£)

RPi

*=o

№

+ * i 2

+

£* . (5.16)

1 + xx

k=■-

’1

Найденные выражения функций подставляются в гра-‘ ничное условие (5.3), которое теперь будет иметь правую часть:

/R	СО	-)
D= _Q(°)(Rl0)_ p (“)( - 1

(5.17)

6 Зак. 488

161

Далее, как и в главе 1, граничное условие с правой

частью (5.17) умножается на ядро Коши ~ •

и интегрируется почленно по контуру Г при последова­ тельном расположении точки т] вне и внутри Г.

Выпишем значения интегралов типа Коши от слагаемых, входящих в правую часть D:

1 \Q{0)(Ri ст)-^-
2я i J	О—Г]

1 Г p m / _^i_ \		da =
2ш J	\ о )	а ~ ц
Г

			О, т] вне Г
		Rpi	■		_2
			s2		2
		1
				k = 0
+ « i		2			, ц	внутри Г
	А= 1					(5.18)
			О,	т]	вне Г
^ Pl		2 <7v^rVTlv>’l				внутри Г.
1 + Х !		v = 0

(5.19)

П+1

	RPi		*=1
	1+*i
da	+	(я Г--- j \			R j 1т г 1+
	n-И
а — г]			2		v<7v R-v-1 n - v- ‘
	■f-s	r|—
	fe=i		v=i
			т]	вне Г
		О,	г]	внутри Г.

(5.20)

Чтобы определить значения интеграла типа Коши от

третьего слагаемого выражения (5.17), представим его в виде

	- (	Ri
1+ щ	и '	сг - P ^ ' i R . a ) :
R P i	( o ' ( R i a )

	со	Ri
		a	v vqv /?r v-i fj v l ^

О) ' (RiO) Ai

v = 1

— (ho -f h{ a + ... -f h n’ an) (q± R ~ 2 o~ 2 -f 2q2 R~3 g~ 3 -f

+ - + nqn R^n -1 a-" -i) +

162

П+1	Ri gk			V^v R\ -V—1(J—V—1
У			2					(5.21)
h= i	Rx 0 —akv=l
							СО
где hi —коэффициенты		целой			части	функции	i * ) .
g'k = u'k-'r iv'k—вычеты		этой		функции			со' (Rio)
						в точках a = ah/R v
Коэффициенты при положительных степенях а имеют
вид
■во — <7l в Г 2 ^ 2			+ 2^2 Ri 3 ^з + ---+
				п — 1
+(н —1) <7,г_а в г" /in=8x 2					vgve r (v+1)ftv+r,
				V = 1
в i ’ = <7 i в Г2 йз -f 2 qz R Г3 й4-f-... -f-								(5.22)
+ («—2)с/п_2 R j n + 1 К = Ь 2 2					v?v K r(v+1) K +2)
B ' n U ^ R T ' h ' n .
В общей форме
n — ( k + 1)	vqv R -^+ ^h'v+k+\					(k = 0, 1,...,		n —2).
e |'= 6 ft+1 2
V = 1								(5.23)
Коэффициенты при отрицательных степенях о:
B—i =Qi RT2 h\ -(- 2q2R \ z h-2						+ ... +
+ nqn Я к "-1К =				П	V7v # r v-1 К)
				2
				v = О
в1'2=(71вГ2^			+ 2с72в Г 3й, + ...+					(5.24)
				п
+ nqn R z n~ l h'n-i =				2	v^v	v—1/iv—i;
				v= 1

в- W n —nQ nRrn'~1ho-

Вобщем виде

B!4 = 2 v < 7 v ^ v- a+ i (^=1> 2,..., n + 1). (5.25) v—k—1

6*

163

Таким образом, выражение (5.21) можно представить в форме

			RPi	п —2	П+ 1
	со' (Ri а) Р[0)’ {*!<*)			ба 2 5 * 'а * + S B*Jk a~k +
			l+ ^ i
				4 = 0	4=1
	п+1	Pi gk
	2		2	V9v R r v~ 1ГГ	(5.26)
	4= 1	/?х ст — a ft v = 1

Интеграл типа Коши от этого выражения имеет значения

~ ( Е±.

1 _Г °Ч о

2ш J ©' (^х а)

г

п+1

PPl 2 1+*i *=1

		da
	Р (° )'(^ а )
		a — т)
	ВЕк ц - ь +	п+ 1	Rigk
		V		X

4 = 1 R 11] — ад

X 2	V^vP-v-1T)-V~ I , т] вне Г.		(5.27)
v = 1
	п - 2
-EEl . 62 2		Л4. Л внутри Г.
1 + К х	4 = 0

Таким образом, полученные в главе 1 функциональные уравнения относительно неизвестных функций ср(£) и Р ^ ) будут иметь тот же вид (5.66) и (5.67), но правые части их изменятся:

Ях =	Rpi	п% (В * л ~ в и р г *) тр Ч -
	1+ Ki
П+1		4 = 1
4=1	Pi'll — Кд v = 1
	«1— j ) R i 1 л "1		(5.28)
d2	Rpi	n —2
		62 2 ( в г я ч - в у ) ^
	1+Xj	4 = 0
	+ 2	<7ft(#r4 + *i#i)r]*
	4 = 1

164

После разложения членов первого функционального уравнения в ряды по отрицательным, а второго — по поло­ жительным степеням переменного ц и приравнивания коэф­ фициентов при одинаковых степенях ц получим ту же ли­ нейную систему алгебраических уравнений (1.152), но со свободными членами:

					« r ‘ V
-Sm-2RTm 2		vqv (RT(v->"+') h ^ m + l-hv-m+l) +
V = m — 1
		E ( m — 2,		n )	\	(5.29)
+ S 2 - m + n ^		r m	2		Cm — v — 1 ( ')
			v — 1		J
d'm =	RPi	Sm-iqm(RTm + KiR?)-
	l+ ^ i
n ~ ( m + l )
1 %?	2		(Ri		^v+m+l)
	v= 1
Напомним,	что
	Я	1	i — 1		П i'< n
		о 1 ^ 1		’ бг = (0 г > п ;

Е(т — 2, п) — наименьшее из чисел /п — 2 и п.

Таким образом, отыскание неизвестных коэффициентов разложения в ряды функций PjXS), ф(£) — cv и av сво­ дится к решению системы уравнений (1.152) со свободными членами:

d f			RPi	%-----—+	2	vqv(K — R~vh'v)
			R i (1 +Xi)
				d	v =	l
d‘i	'		RPi	2 v q viK -i — R^-Vh'v-i)-,
		R i ( l + x j ) v = i
d&—			RPi	<7iC*+ 2 V(7v(^v-2—Ri^v 2^ v —2 )
		Ri (l+xi)		V = 2

.__ 5 £ l	q%c1 +2<72cf +
« 1(l+*i)	L'

165

+ 2 V^v(^v—3 — (v-3) ^v-з) (5.30)

V = 3

d[ ==^ l _ L ( ^ r 1 + Xi^i) + l + xi _

+ #1 2 V^(/zv+ 2—i? r <V+ 2)/lV+ 2) v= 1

d%— —^El. [q2(£j j 2	кг R 1 ) + R 1 Qi (hi R 1 Л4)],
1+Xi
da = 7 7 ^ <7з (/?Г3 +	«!/??);

ds = de = 0.

1+ xi

Коэффициенты с*, c^ вычисляются по формуле (1.151). Напряжения в обделке и массиве определяются извест­

ными соотношениями Колосова — Мусхелишвили. Фор­ мулы для определения напряжений в массиве, полученные на базе этих соотношений, имеют вид

(7л — -		pi	c[(2 a[—a"l		л г У +‘г:(24;- 6')
„ м		+di	L
с1
	, 2	, 2
О0		Pi	c{i ( 2 a i +		a ; - j ^ - )) + iii(2(j;+6;)] ;					(5.31)
	, 2	, 2
ci		+d1
'tp6==		Pi	Ci b 1 —d\ (a 1 -j-				1
	/ 2	, 2
ci		+di				d (1 + Щ)
гдес^,	d[, a[,		a",	a” ', 6*,	6",	£>i''	вычисляются по			форму­
лам § 6 главы 1				при p = 1.		вычисляются по			формулам:
Напряжения				в обделке
		Ор = (Тр—рх (на внешнем контуре);								(5.32)
„к	„ с\ [аг (1 +Xi) —с! +				1] + d [ [62		(1 + Xj)—d [ ]		-eKP, (5.33)
СГ0 =	4 --------------------------------------------------							P r
					( , 2	, 2 \
				(1 + Xi) (cl		+ d i j

причем при определении al) на внешнем контуре входящие в формулу (5.33) величины определяются из соотношений

§ 6 главы 1 при р = 1, а в качестве aj) берутся его значе­ ния в соответствующих точках, полученные из (5.32). Чтобы определить нормальные тангенциальные напряже­

ния ое на внутреннем контуре сечения обделки, следует

166

в (5.33) подставить значения входящих величин при р =

= R x и ар = 0.

На рис. 28 приведены эпюры напряжений в обделке сводчатого очертания при Ех/Е0 = 1,25, vx = п0 = 0,3.

Кривыми 1 и 2 показаны радиальные напряжения Ор1рх и нормальные тангенциальные напряжения од1рх на внеш­

нем контуре, кривой 3 дана эпюра ав/р1 на внутреннем контуре сечения обделки.

2. Напряжения в обделках тоннелей сводчатого

очертания

Напряженное состояние обделки при совместном дей­ ствии нескольких видов нагрузок определяется их коли­ чественным соотношением. Расчеты выполнены для обделки сводчатого очертания (см. рис. 28) при исходных данных § 1 для следующего сочетания нагрузок:

а) давление грунтовых вод и внутренний напор; б) давление грунтовых вод и горное давление.

В первом случае исследовалась зависимость напряжений в обделке от величины отношения р/рх, во втором — от

УН( 1 — f)/px.

Результаты расчетов на действие давления грунтовых вод и внутреннего напора при разных величинах отношений р/рх представлены на рис. 29—31. Анализ полученных дан­ ных позволяет сделать следующие выводы.

167

~6fi/p1

~ 6 ве нутр/ Р 1

б ^ / р ,

Рис. 30

Рис. 31

1. С увеличением внутреннего напора контактные на­ пряжения сгр растут по всему периметру, причем если при отсутствии внутреннего напора (р = 0) напряжения ор в се­ редине боковых стенок минимальны, то уже при р = 0,5рх они распределяются почти равномерно, а при дальнейшем росте напора в середине боковых стенок ор принимают мак­ симальные значения.

ij/Pl

2. Сжимающие напряжения сг0 на внешнем контуре се­ чения обделки при увеличении внутреннего напора умень­ шаются, особенно значительно в сводовой части и окрест­ ности угловой точки. Уже при р = 1,5 рх в этих местах появляются растягивающие напряжения, которые растут с дальнейшим увеличением напора, и при р ^ 3 рх по всему периметру обделки имеет место растяжение.

3. Сжимающие напряжения ое на внутреннем контуре при увеличении внутреннего напора также уменьшаются во всех точках, кроме середины боковых стенок, причем область растяжения в окрестности угловых точек появ­ ляется уже при р = рг, а в сводовой части — при р = 1,5 pv

169