книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

40					ВВЕДЕНИЕ						[Гл 1
рассмотрим наряду с системой (1) две системы уравнений:
	У]аЦк (0 (•уУ)(к> 4 ~ ci (0 =					Q>	/ =		1	.......... п,	(3)
	У. *
	£	аи>, (0 C*')<ft) +			di (0 =	°;	t =		ь	• • • - n-	(4)
	i<*
Если дг' =	^ (0 , / =		1,	n,	есть решение			системы (3), a x ‘=			x‘(t),
1 = l, .	л,	есть решение		системы		(4),	то	система функций
		х ‘ — аф'(<)-		f	- (0>		i = h		..•> п>
представляет		собой	решение		системы (1).

ГЛАВА ВТОРА Я

•ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоян­ ными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных дифференциальных уравнений, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Ввиду того, что решение этих уравнений принципиально не представляет больших трудностей, часто считают, что они не имеют сколько-нибудь значительного интереса для теории, и в учебниках им обычно отводят место простого при­ мера к общей теории линейных уравнений. Между тем линейные урав­ нения с постоянными коэффициентами имеют многочисленные техни­ ческие применения, так как работа весьма многих технических объектов достаточно адэкватиым образом описывается этими уравнениями. Именно технические применения выдвигают ряд новых задач теоретического ха­ рактера в теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решению этих теоретических задач посвящено немало работ, имеющих

прикладную направленность, и некоторые		из них нашли отражение в
настоящей	главе. Так, в этой главе используются обычные		для ин­
женерной	практики о п е р а ц и о н н ы е	о б о з н а ч е н и я ,	которые

очень удобны для решения систем уравнений методом исключения.

Рассматривается вопрос		об	у с т о й ч и в о с т и	р е ш е н и й	систем
линейных уравнений, очень важный в теории автоматического					управ­
ления. Далее,	излагается	так	называемый м е т о д к о м п л е к с н о й
а м п л и т у д ы ,	представляющий собой удобный			способ нахождения

частных установившихся решений и широко применяемый в электро­ технике.

Не ограничиваясь решением чисто математических задач, порож­ денных практикой, я привожу здесь в очень краткой догматической форме изложение теории электрических цепей. Расчет электрических

цепей дает хорошую и важную	с технической	точки зрения иллю­
страцию развитых в этой главе математических методов.
Кроме того, в настоящую главу включено		исследование фазовой
плоскости линейных систем второго порядка,		которому	предшест­
вует самое начальное изучение	фазовых пространств		автономных

42	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

(вообще говоря, нелинейных) систем. Фазовые пространства авто­ номных систем также находят важные приложения в технике.

Благодаря всему сказанному глава о линейных уравнениях с постоянными коэффициентами занимает в этой книге значительно больше места, чем это обычно бывает в учебниках по теории обык­ новенных дифференциальных уравнений. Изложение всего материала настоящей главы очень элементарно, за исключением лишь § 14, где используется жорданова форма матриц. Все сделанное при по­ мощи жордановой формы в дальнейшем не употребляется и может быть пропущено, как это подробно указано в § 14.

§ 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней)

В этом и следующем параграфах будет решено линейное одно­ родное уравнение с постоянными коэффициентами порядка п, т. е. уравнение

г("> + в ,г("-,>+ ...	-f- а„_, £ -)- ал г — 0,	(1)
где г есть неизвестная функция	независимого переменного /,	а ко­

эффициенты а,........ ап суть постоянные числа (действительные или

комплексные). Сначала будут найдены					все комплексные решения
этого уравнения, а затем (в случае, когда					коэффициенты			аи ..., ап
действительны)	из	них будут	выделены		действительные			решения.
Уравнение (1) можно записать в виде:
z(n) =		— а, г (л'°	—	... — а„_, £ — апг,					(2)
так что к нему	применима теорема			существования и			единственности
(см. предложение В) § 5). В дальнейшем					будет	использована			лишь
единственность,	так	как решения уравнения (2)				будут	найдены		явно
и тем самым существование			их будет установлено;				единственность
же будет использована для доказательства того,						что найдены в с е ре­

шения.

В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет о п е ­ р а ц и о н н о е и с ч и с л е н и е . Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе опера­ ционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что

производная			по времени t от произвольной функции						z = z(t)	обоз­
начается не			через	г, а через pz, так		что	буква	р,	стоящая	сле­
ва	от	функции,		является	с и м в о л о м	д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я
по t. Если			позволить себе		применить к	символу		дифференцирова­
ния	р	некоторые		алгебраические действия,			то	мы	приходим к

* 71	СЛУЧАИ ПРОСТЫХ КОРНЕИ		43
обозначению	</*	*
	•Щ*г = = Р г-
Пользуясь этим обозначением, мы можем написать
авг(я) + а,2(я_,) + . . . +	+ а„г =
	=	а0рпг + а р п~'г 4 - . . . - f	an_pz 4~ anz.

Если теперь в правой части последнего равенства позволить себе

вынести за	скобку	функцию z, то мы получаем равенство
о0гя 4 - axz (n	4 * • • •	ап-\%4- anz —
		— (а»рп + а р п~14* •.. 4" а«- iP ап)г'

Таким образом, мы приходим к формальному определению. А) Пусть

I(р) = а р п 4- а р п~14 - . . . 4 - an_lP 4 - ап

—произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z — некото­ рая действительная или комплексная функция действительного пере­ менного t. Положим:

L (p)z — алг (п) 4- a,**"'1>4 - ... 4- ап - f anz.

(3)

Если Ц р) и М(р) суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования р),

а г, 2,, 2*—функции переменного t, то, как легко видеть, мы имеем тождества

I (р) Oj 4- Z j = L (р) Zi 4 - /. (p)zt,

(L (p) + M (p)) z — l,{p )z-\-M (p) z,

L (p) (M (p) z) = (L(p)M (p)) z.

В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть запи­ сано в виде:

L(p)z — 0,

(4)

где

/- (Р) = Рп+ а'РП>+ • • • + « я - l Р+ ап-

Б) Пусть Ц р ) — произвольный многочлен относительно символа р. Тогда

L(p)eu = L (l)e u.

(б)

Докажем формулу (5). Мы имеем

реи — Хеи

44	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ				[Гл 2
(см. формулу (9) §		5). Из этого следует, что ркеи — ккеи . Отсюда
формула (5) вытекает непосредственно (см. (3)).
Из	формулы (5)	следует, что	функция еи тогда и	только	тогда
является решением		уравнения (4),	когда число ), есть	корень	много­

члена L (р). Многочлен L (р) называется характеристическим много­ членом уравнения (4). В том случае, когда он не имеет кратных корней, совокупность всех решений уравнения (4) описывается следу­

	ющей теоремой.
	Т е о р е м а	4. Предположим, что		характеристический		много­
	член L (р) уравнения		0			(6)
		L(p)z =
	(см. (1) и (4))	не имеет кратных	корней, и		обозначим его	корни
	через	к$, • • •,		кп.
	Положим:
		zl — ex't, z2= £?*»', ..., z„ =			eV.	(7)

Тогда при любых комплексных постоянных с1, с*, ... , сп функция

Z = с1Zi - f с* Z i - f ... -j-cnz„

(8)

является решением уравнения (6). Решение это является общим

в том смысле, что каждое решение уравнения (6)								может быть
получено	по	формуле	(8)	при	надлежащем		выборе констант
с', сг, ... ,	сп.	При этом константы с1, с4, ... , сп {называемые
постоянными		интегрирования)			однозначно		определяются		для
каждого	данного решения			z.		на	всей	числовой	пря­
Заметим, что функции				(7) определены
мой — оо	t	-|- оо.	Из формулы (5)			следует, что каждая функ­
Д о к а з а т е л ь с т в о .

ция системы (7) является решением уравнения (6), а из того, что уравнение (6) линейно и однородно, вытекает (см. § 6, А)), что при произвольных комплексных константах с1, с4....... сп формула (8) да­ ет решение уравнения (6). Покажем, что если z# = z* (£) есть произ­ вольное решение уравнения (6), то оно может быть записано в виде (8).

В силу	предложения		В) § 5 мы можем		считать, что решение z*
определено на всей прямой — оэ <^t <^оо. Положим:
	**(0) = ~%		** (<>)= *«.............
Покажем теперь,		что	константы с,, ct........		сп можно	выбрать так,
чтобы и	решение z(t),			определяемое формулой (8),		удовлетворяло
тем же	начальным условиям
	z(0) =	zo,	i(0) = i„.............		z(n-,) (0) =	zj-1.	(9)
Подставляя функцию z				из формулы (8)	в уравнения	(9),	получаем:
c 'z ^ o ) + .		. . +	c4	s) (°) = 4 S);	* = o , - i ........	я — i.	(Ю)

§ П СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕИ 45

Соотношения (10) представляют собой систему из я уравнений отно­

	сительно неизвестных с1,	с4,	сп.	Для	того	чтобы система (10)
	была разрешима, достаточно, чтобы детерминант матрицы
	/*) (0)	*4(0)			*»(0)	\
	*х (0)	**(0)			*«(0)
	г, (0)	г.(0 )			*„(0)	(П)
	г<п- 2>(0)	г<п~2, (0) ...			г{п~2]
						(0)
					п
	U " ' > )	4 “~ " (0)		•••	г(п- ,)	(0)1
					п

не обращался в нуль.

Непосредственно видно, что матрица (11) имеет вид:

/1	1	.	1
X,	ха	..	х„
	X2	..	X2
	А3		п
1 ХГ '	X"-'	..	хл-
	А2		п

и потому ее детерминант (детерминант Вандермонда) отличен от нуля, так как все числа Х„ Х2, .... Хя попарно различны. Однако мы дадим другое (непосредственное) доказательство того, что детерминант мат­ рицы (11) отличен от нуля. Доказательство это в дальнейшем будет обобщено и на случай кратных корней.

Если бы детерминант матрицы (11) обращался в нуль, то суще­ ствовала бы линейная зависимость между ее строками. Допустим, что эта линейная зависимость имеет место. Это значит, что суще­ ствуют такие числа bn_lt bn_it ..., b9, не обращающиеся одновременно в нуль, что, умножая на них строки матрицы (11) и складывая, полу­ чаем нулевую строку. Выписывая А-й член этой нулевой строки, полу­ чаем:

V A

(°) + К - Л (0) +

• • • + V

l r 2)(0) +

b9z[n- l) (0) =

0. (12)

Если обозначить через М (р) многочлен Ь^р" 1

Ьфп 4

Ьп_& -J-

~\-bn_i, то

соотношение (12)

можно записать в виде:

Af0 0 **|/_o =

0.

В силу формул (5)

и (7),

отсюда получаем:

М(Х*) =

0,

а это

невозможно,

так

как

степень

многочлена

М(р) не превосхо­

дит

я — 1,

потому

он

не

может

иметь

я

различных

корней

46	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ		[Гл. 2
X,, .....	Xfr,.	Х„. Полученное противоречие показывает, что	детер­

минант системы ( 10) отличен от нуля, и потому константы с'........с"

можно (и притом однозначно) выбрать так,			чтобы	решения	z*(t) и
z(t) удовлетворяли	одинаковым	начальным	условиям. При		таком
(и только при таком) выборе этих		констант	решение (8) совпадает
с заданным решением	z ф (t).
Итак, теорема 4 доказана.		L (р), входящего
Если коэффициенты многочлена				в уравнение (6),

действительны, то возникает вопрос о выделении действительных решений из совокупности (&} всех комплексных решений.

Решение этого вопроса опирается на предложение Г), при форму­ лировке и доказательстве которого мы будем пользоваться вектор­ ными обозначениями. Напомним их здесь.

В) Вектором «-мерного пространства будем называть последо­

вательность, состоящую из п	чисел:
« =	(«’, гг4, ..., гг").

Здесь гг — вектор, а гг1, гг4, ..., гг"— числа, называемые его коорди­ натами. Векторы всегда будем обозначать жирными буквами. Если координаты вектора — действительные числа, то вектор считается действительным, если же координаты его комплексны, то и сам

вектор считается комплексным. Вектор и, комплексно сопряженный с вектором гг, определяется равенством

и = (гг1, г?, . . . , гг").

Очевидно, что вектор а тогда и только тогда является действитель­ ным, когда

гг= гг.

Произведение вектора и = (гг1, гг4, ..., гг") на действительное или комплексное число а определяется формулой

ай = И<х = (агг1, агг*, ... , агг").

Сумма векторов

я = (гг1, гг4, .... гг") и г» = (г>1, гг4, ..., гг")

определяется формулой

и —j—V = (гг1 -|—гг1, и4-f- гг*, ... , гг" -|- f л)-

Нулевым вектором называется вектор 0, все координаты которого равны нулю.

Пусть

«1, «2........

иг

— конечная система векторов. Соотношение

д1й2— ос*й2— ... -j- ot й^ — О,

* П	СЛУЧАИ ПРОСТЫХ КОРНЕИ	47
где at, a.2, ... ,	ar — числа, среди которых имеются не	равные нулю,

называется линейной зависимостью между векторами и и щ ........и ,. Если между векторами не существует линейной зависимости, то они

называются линейно

независимыми.

Пусть

Ну= (и), и],

и"),

у =

1,

...,

г.

Числа и1, образуют матрицу

(up; 1 = 1 ........ л;

j —

1,

...,

г.

Если

считать, что верхний

индекс

I

указывает

номер

строки,

а

нижний

у — номер столбца, то

матрица

(up

имеет

высоту

п

и

ширину г.

Таким образом, вектору ну

в матрице (up

соответствует у'-й

столбец

(состоящий из координат этого вектора). Отсюда видно,

что

линей­

ной зависимости

векторов

u t,

и.г,

...,

иг

соответствует

линейная

зависимость столбцов

матрицы

(up. В случае г =

п

матрица (up квад­

ратна, и векторы и j,

и2,

ип тогда и только

тогда

линейно неза­

висимы, когда

детерминант

|н'|

этой

матрицы отличен

от

нуля.

Г) Пусть

*i. ** •••. *п

(13)

■— система из

п

линейно

независимых комплексных векторов

в л-мер-

ном пространстве. Допустим, что система (13) вместе с каждым

вектором содержит сопряженный ему вектор.

При этих

предположе­

ниях вектор г , определяемый формулой

г = с 'г1+ . . . + сяг я,

(14)

тогда и только тогда действителен, когда

коэффициенты,

стоящие

при сопряженных векторах, сопряжены, а

коэффициенты,

стоящие

при действительных векторах, действительны.

Докажем

это. Будем предполагать для определенности, что выпол­

нены

соотношения

г \ —

........ гЫ-1 — Zik>

1

Z j

= Zj \ y =

2A-f- 1, ....

л.

J

Тогда

вектор

г согласно (14) имеет

вид:

г = с% +

с*г, + . . . +

- f ***** - f

c*«"zih+l +

. . . +

сяг„. (15)

а вектор

z — вид:

z = c^Zi -j- cxZi

c ^ Z i^ i~f- cik

-j-

-f- cn zn. (16)

Если

cx =

? , . . . ,

с«-» =

е*Г,

. . . , сп=

с*,

(17)

то из

равенств (15) и

(16)

следует,

что z =

z, т. е.

что

вектор я

действителен.

Если,

наоборот,

предположить, что

вектор z деи*

48	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ			[Гл. 2
ствителен, т. е. что z — z, то равенства		(15) и	(16) дают (в	силу
линейной независимости векторов (13))		систему	соотношений	(17).

Итак, предложение Г) доказано.

Нижеследующее предложение Д) дает способ выделения дей­ ствительных решений из совокупности всех комплексных решений уравнения (6) в случае, когда коэффициенты многочлена L (р) дей­ ствительны.

Д) Допустим, что коэффициенты многочлена L (р) действительны; тогда наряду с каждым комплексным корнем X многочлен L (р) имеет

сопряженный с ним корень X. Решения eXt и ext уравнения (6) сопря­ жены между собой (см. § 5,Г)). Если же корень X действителен, то реше­ ние еи действительно. Таким образом, наряду с каждым решением в

системе	решений (7) имеется также комплексно	сопряженное с ним
решение.	Для того чтобы решение (8) уравнения	(6) было действи­
тельным,	необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, стоящие при

комплексно сопряженных решениях, были сопряжены, а коэффициенты при действительных решениях действительны.

Для доказательства обозначим		через z k		вектор с координатами
{2fc(0), £fc(0), . . . ,	z^~ 2\0), z I"-1» (0)}		и через	z — вектор с координа­
тами (г0, i 0.......Тогда соотношения		(10) принимают вид:
	CXZy - JC2Zi- -	f -	. CnZn. . -= j Z.-
Векторы z it	z n линейно независимы, так как детерминант мат­

рицы (11) отличен от нуля. Таким образом, необходимость приведен­ ного в Д) условия следует непосредственно из Г). С другой стороны, если это условие выполнено, то решение (8) действительно. В самом деле, если Xt и Х,2— два комплексно сопряженных корня, а с1 и с®— две комплексно сопряженные константы, то функции с1ех^ и c*eV комплексно сопряжены, а следовательно, их сумма действительна.

Итак, предложение Д) доказано.

Пр и м е р ы

1.Найдем все комплексные решения уравнения

	Г — 3 * - f			13z =	0.
Его можно записать в виде (6),			где
	L(P) = P* — 3/>а + 9/> +					13.
Непосредственно	проверяется, что р = — 1				есть корень характери­
стического многочлена L (р). Разделив				L (р) на		—f—1, получаем:
	£(Д> =	(ф+1)(/>а - 4 ? + 1 3 ) ,
откуда находим	еще два	корня	2 +	3/.	Таким . образом, корнями

$ П	СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ	49
многочлена	L (р) являются числа
	Х1=== 2 -f- ЗЛ Х,2= 2 — 3/, Х, =	— 1.

В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения имеет вид:

Z= с1е^а+3*^ -)- с9^ 4-*1^ -j- с3е~1.

В нижеследующих примерах 2 и 3 даются два общих правила выделения действительных решений. Правила эти непосредственно вытекают из предложения Д).

2. Будем считать, что система решений (7) удовлетворяет условиям

— 2а» ..., Z-ik-1-— Z$k> — Zik-i-i* • • •> — %n, 0

и положим:

—......... zik-i — x k “b

где Xi,

..., x k, y lt

...>

У* — действительные

функции.

Будем,

далее,

считать, что числа с1, с9........ сп удовлетворяют условиям (17)

и по­

ложим:

с* =

1 (а1-

lb1), ... , с9*-' =

~ {ак -

/&*).

где а1,

... , а \

Ь1,

... ,

— действительные

числа.

При этих

обозна­

чениях

общее

действительное

решение уравнения

(6)

записывается в

виде:

z — а'х1 -j- Ь{у г

-\-ahx k-|-bky k

-j- . . . -j-cnznt

где

в1,

b1,

... ,

ак, Ьк, с

суть произвольные действительные числа.

3.

Опять будем

считать, что решения

(7) удовлетворяют условиям

(18); положим:

^i =

IJ,i - W

vi.........^**-1 “

Р* ~Ь h f r

В предположении,

что

числа

с1, с9, ... , сп

удовлетворяют

условиям

(17), мы можем положить:

с1—

р / Ч

...,

сгк- 1 =

В этих

обозначениях каждое

действительное

решение

г записывается

в виде:

%==РIе*11<cos (vji — <Xi)—|—,.. -j—pfte'V cos (v^i -j—a*) —|—

_(_ c2ft+iex2ft+1<_j_ ____f_ c"eV.

Здесь pi, ...,

pft, a,, ...,

ak,

c9ft+1,

...,с "су ть

произвольные

действи­

тельные константы.

Из

последней

записи

видно,

что

каждая

мнимая