Здесь критическая область примет вид {uUл(q,m,n)}.

В таблицах обычно приводятся критические значения, соответствующие числам qиз ряда0,05, 0,025, 0,01, 0,005, 0,001. Ввиду дискретного характера распределения вероятностей между возможными значениями случайной величиныUприведенные выше уравнения не всегда имеют точное решение и в таблицах они приводятся приближенно. Для вычисления по таблицам значенийU_л(q,m,n)можно воспользоваться соотношением

U_л(q,m,n)+ U_п(q,m,n) = mn,

вытекающим из симметрии распределения статистики Uотносительно своего центраmn/2.

3. Отвергнем гипотезу Н₀ против правосторонних (левосторонних) альтернатив при попадании U_набл в соответствующую критическую область.

4. При проверке Н₀ против двусторонних альтернатив в качестве критического множества можно взять объединение

{U  U_л(q,m,n)}  {U  U_п(q,m,n)},

т.е. отвергнуть Н₀, если происходит одно из двух ранее упомянутых критических событий. Ввиду уже отмеченной симметрии этому критерию можно дать вид

.

При таком выборе критического множества уровень значимости удваивается. Теперь он равен 2q(с теми же оговорками насчет дискретности распределенияU, что были сделаны выше). Если мы желаем сохранить и здесь уровень значимостиq, надо взятьU(q/2,m,n)иU_п(q/2,m,n).

4.3.5. Критерий знаков

Покажем, как использовать критерий знаков для анализа данных о времени реакции на звук и свет (табл. 4.6). В этом примере рассматривается группа испытуемых, а целью исследования служит проверка гипотезы о равенстве времени реакций на звук и свет. Порядок организации эксперимента позволяет предположить, что полученные данныеоб одном испытуемом независимы от аналогичных данных для остальных.

Осуществим переход от пар (х_i, y_i)к величинамz_i, = y_i – x_i , i=1,… nи запишем последние в видеz_i=  + e_i, i = 1,…, n, где – некоторая константа. Выполняются ли для сформулированной задачи допущения, используемые в критерии знаков? Независимость случайных величинe_iобеспечивается условиями организации эксперимента.

В случае совпадения распределений времени реакции на звук и на свет справедливо следующее соотношение:

P((y_i – x_i)> 0) = P((y_i – x_i)< 0 ) = 1/2.

Следовательно, P(z_i >0) = P(z_i <0)= 1/2,то есть медиана распределенияz_iравна нулю. Гипотеза о равенстве времени реакций формируется в видеН₀:  = 0.

Одной из разумных альтернатив нулевой гипотезе в данном случае является предположение о том, что   0. Далее мы будем использовать критерий знаков против этой односторонней альтернативы Н₁.

Пример 4.7. Возьмем исходные данные примера о времени реакции на звук и свет (табл. 4.6). С помощью критерия знаков проверим гипотезу о том, что реакция на свет и звук одинакова.

Решение. Обозначим число положительных значенийz_iчерезS_набл. Из табл.4.7 видно, чтоS_набл равно трем, а средиz_iесть одно значение, равное0. В таких случаях необходимо уменьшить число наблюденийz_iна число значенийz_i, равных0, т.е. перейти отn =17кn = 16.

Вычислим вероятность P(S =S_набл  p=1/2). Для этого воспользуемся таблицами биноминального распределения приp=1/2, n = 16и рассчитаемP(S =S_набл) по формуле (1.30):

.

Учитывая, что в силу симметрии приp = 1/2 P(S =S_наб)= =P(S = n – S_набл), полученные значения запишем в табл.4.8.

Найдем вероятность события S > S_набл.

P(S >S_наб p=1/2) =1–P(S  S_наблp=1/2) =1 – (P(S=0) +…+P(S= S_набл)).

Таблица 4.7. Значения разностей реакций человека на свет и звук

i	Xi	Yi	Zi	S(xi)
1	223	181	–42	–
2	104	194	90	+
3	209	173	–36	–
4	183	153	–30	–
5	180	168	–12	–
6	168	176	8	+
7	215	163	–52	–
8	172	152	–20	–
9	200	155	–45	–
10	191	156	–35	–
11	197	178	–19	–
12	183	160	–23	–
13	174	164	–10	–
14	176	169	–7	–
15	155	155	0	0
16	115	122	+7	+
17	163	144	–19	–

Таблица 4.8. Расчетные значения вероятности

S	0	1	2	3	4	5	6	7
P(S =Sнабл )	0,00002	0,00024	0,00183	0,00854	0,0278	0,0667	0,1222	0,1746
P(S >Sнабл )	0,99998	0,99974	0,99791	0,98936	0,9616	0,8949	0,7728	0,5982

S	8	9	10	11	12	13	14	15	16
P(S =Sнабл )	0,1964	0,1746	0,1222	0,0667	0,0278	0,00854	0,00183	0,00024	0,00002
P(S >Sнабл )	0,4018	0,2273	0,1051	0,0384	0,0106	0,0021	0,00026	0,00002	0,00000

Из табл.4.8 видно, что

P(S > 16 –3  p=1/2) = P(S > 13  p=1/2) = 0,0021.

Таким образом, минимальный уровень значимости, на котором можно отвергнуть гипотезу о том, что  = 0 против односторонней альтернативы, равен 0,0021. Учитывая малую этого числа, заключаем, что гипотезу следует принять.

Задания для самостоятельной работы

1. В табл.4.9 приведены данные об объеме продаж коммерческой фирмы за последние два года. Определите стабильность работы предприятия (т.е. однородность выборок), используя непараметрические методы.

Таблица 4.9. Исходные данные объема продаж фирмы

Месяц	Год 2001	Год 2002
Январь	50	43
Февраль	53	51
Март	51	53
Апрель	64	49
Май	67	62
Июнь	65	66
Июль	69	67
Август	60	59
Сентябрь	55	61
Октябрь	47	52
Ноябрь	51	43
Декабрь	42	39

2. Сопоставьте результаты проверки гипотезы об однородности на основании критериев Уилкоксона и Манна–Уитни.

1Формулы для определения объема выборки для разных способов отбора приведены в книге «Теория статистики» под ред. Р.А.Шмойловой.

1 Отклонение гипотезы Н₀ в случае «слишком малых» значений на первый взгляд противоречит здравому смыслу. Однако надо отметить, что γ является величиной случайной, т.е. величиной, подверженной обязательному разбросу. Поэтому одинаково неправдоподобными следует считать как слишком большие, так и слишком малые значения γ.

1 Слишком большое значение статистики t (4.9) может быть следствием как неоднородности математических ожиданий двух выборок, так и неоднородности дисперсий. Последнее может являться самостоятельной задачей исследований.

132 133