3.2. Оценка статистических параметров

Во многих случаях бывает заранее известно, что функция распределения F(x) принадлежит к определенному классу функций, для которого определяются числовые характеристики, называемыепараметрами функции распределения, т.е.F(x,). Всякая оценка неизвестного параметра по выборке является функцией от выборочных значений ,т.е.. Числовые характеристики, полученные по выборкам, называютсястатистическими оценкамипараметров, илистатистиками.

Здесь возникает вопрос о выборе вида функции для оценки неизвестного параметрафункции распределения=F(x,a). Если параметрaявляется, например, средним значением, дисперсией или какой-нибудь иной из ранее рассмотренных числовых характеристик распределения, то функциюможно найти следующим образом:

• по выборке строится эмпирическая функция распределения;

• выбирается одна из известных (типовых) F(x);

• вычисляется соответствующая числовая характеристика функции распределения, которая принимается за оценку параметра.

Такой способ оценки параметров пригоден лишь для параметров, являющихся числовыми характеристиками известных распределений. В общем случае применяются другие способы, которые рассмотрим ниже.

3.2.1. Основные распределения статистических

оценок

Поскольку элементы выборки x_i можно рассматривать как случайные величины, то икак функция от этих величинтакже является случайной величиной, имеющей соответствующее распределение. Отметим наиболее известные распределения оценок.

1. Распределение Стьюдента(t-распределение)

,

(3.3)

где – среднее значение, полученное по выборке длинойn;

M[x]– математическое ожидание генеральной совокупности;

s – среднеквадратическое отклонение эмпирического распределения ;

Форма t-распределения близка к нормальному закону, т.е.t-распределение стремится кf(x) = N(0,1)при объеме выборки и зависит от числа степеней свободы=n  k, гдеnобъем выборки,kчисло оцениваемых по выборке параметров. Приk =2 (иs) число степеней свободы =n  2.

2. Распределение Пирсона(-распределение)

,

(3.4)

где распределение, зависит от числа степеней свободыn=n – 1;

оценка дисперсии случайной выборки объема n;

дисперсия генеральной совокупности.

2. Распределение Фишера(F-распределение)

,

(3.5)

где оценки дисперсии независимых случайных выборок объема и .

F - распределение, зависит от двух степеней свободы: и –1.

3.2.2. Свойства статистических оценок

В общем случае оценки параметров должны удовлетворять следующим условиям:

1. Они должны быть несмещенными.

Несмещенной называется оценка , если выполняется условие

,

(3.6)

т.е. математическое ожидание выборочной оценки параметра при любом объеме выборкиnравно оцениваемому параметругенеральной совокупности. В противном случае оценка называется смещенной. В этом случае, вычислив ее математическое ожидание и введя поправочный коэффициент, можно получить несмещенную оценку.

2. Они должны быть состоятельными.