4.1. Проверка гипотезы об однородности двух или нескольких анализируемых совокупностей

Пусть мы имеем несколько наборов данных (выборок), образованных в результате наблюдения за одним и тем же параметром интересующего нас объекта. Эти наборы могут быть образованы, например, за счет разделённости их регистрации во времени или пространстве.

Первая выборка:	,	,	…,	;
Вторая выборка:			…,	;	(4.1)
j-я выборка:		,	…,	.

Обозначим функцию распределения, описывающую вероятностный закон, которому подчиняются наблюдения, первой выборки через F₁(x), второй –F₂(x)и т.д.

Основные гипотезы однородности можно записать в следующем виде:

Н0 :F1(x) = F2(x) = … = Fj(x);	(4.2)
;	(4.3)
.	(4.4)

В случае принятия неотрицательного результата проверки этих гипотез утверждают, что соответствующие выборки однородны, т.е. принадлежат одной генеральной совокупности и различаются статистически незначимо.Это означает, что условия регистрации выборочных данных можно считать неизменными.

4.2. Проверка гипотез о распределении

вероятностей

Для статистической проверки гипотез о виде закона распределения вероятностей исследуемой случайной величины используется критерий согласия

,

(4.5)

где – параметры поверяемого закона распределения.

4.2.1.Критерий согласия χ² Пирсона.

Этот критерий позволяет проверить гипотезы вида (4.2) как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Критерий основан на теории Пирсона–Фишера о том, что распределение статистики

(4.6)

сходится при объеме выборки к-распределению с числом степеней свободы (k − d − 1).

Здесь m_i – число выборочных данных, попавших вi-й интервал;k  количество интервалов; d – количество параметров; –вектор оценок параметров теоретического распределения, определенных по выборочным данным.

В непрерывном случае статистика (4.6) строится по группированным данным в соответствии с рекомендациями, изложенными в гл.3. Случай анализа дискретной случайной величины отличается от предыдущего лишь тем, что мы работаем с исходной (а не группированной) выборкой, гдеm_i число выборочных данных, равныхi-му возможному значениюх_i, аkчисло всех возможных значений дискретной случайной величины.

Методика проверки гипотезы (4.5) о законе распределения выборочных данных по критерию Пирсона включает следующие этапы.

1. По выборочным данным (сгруппированным при анализе непрерывной случайной величины) находим оценки параметров так, как показано в гл.3.

2. В соответствии с формулой (4.6) подсчитываем значение критической статистики Пирсона γ.

3. По заданному уровню значимости критерия q для (k  d  1) числа степеней свободы по таблицам χ²-распределения находим 100(1  q/2) и 100(q/2) % точки.

4. Если , то гипотезаН₀ (4.5) принимается; в противном случае гипотезаН₀ отклоняется¹.

Пример 4.2. Воспользуемся данными примера 3.6, рассмотренного в гл. 3. Необходимо проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности случайной величины дневной выручки в магазине:

Н₀ :F(x) = N .