4.3.3. Критерий Уилкоксона

Критерий Уилкоксонапредназначен для проверки однородности двух генеральных совокупностей, понимаемой в смысле отсутствия различий в значениях параметров местоположений (средних значений, медиан) соответствующих распределений.

Итак, мы располагаем двумя выборками (4.1), извлеченными из двух генеральных совокупностей (l = 2).Пронумеруем эти выборки так, чтобы обеспечить выполнение неравенстваn₁ n₂. Объединим выборки и по объединенной выборке объемаn₁ +n₂ построим общий вариационный ряд.

Обозначим через порядковый номер (ранг), который получает при этомi-й член вариационного ряда,построенного только по первой выборке, в общем вариационном ряду (т.е.это ранг элементах_1(i) вобщемвариационном ряду, где– вариационный ряд, построенный только по первой выборке).

Критическая статистика описываемого критерия имеет вид

(4.14)

и носит название суммы рангов.

Удалось показать, что в условиях справедливости проверяемой гипотезы (4.2) статистика (4.14) ведет себя (асимптотически по n₁так, что пределlim(n₁/n₂) = c > 0)как нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией

,	(4.15)
.	(4.16)

При этом сходимость к нормальному распределению очень быстрая: она уже эффективно работает при n₁>8.

Это позволит построить следующее правило проверки гипотезы (4.2).

1. По заданному уровню значимости критерия qс помощью таблиц квантилей (процентных точек) стандартного нормального распределения определяем квантильU_1–q/2уровня значимости (1 – q/2).

2. Вычисляем стандартизированное значение критической статистики W_ст:

,

(4.17)

где значение Wопределено по формуле (4.16).

3. Если окажется, что

W_ст  U_1–q/2,

то проверяемую гипотезу следует отвергнуть (и соответственно принять при всех других значениях стандартизированной критической статистики W_ст ).

4.3.4. Критерий Манна–Уитни

Критерий Манна–Уитни применяется для анализа двух независимых выборок. Размеры этих выборок могут отличаться. Назначение критерия – проверка гипотезы о статистической однородности двух выборок. Иногда эту гипотезу называют гипотезой об отсутствии эффекта обработки (имея в виду, что одна из выборок содержит характеристики объектов, подвергшихся некоему воздействию, а другая – характеристики контрольных объектов).

В качестве исходных данных рассматриваются две выборки (выборках) и y₁,…, y_n (выборка y) объемов m и n. Обозначим закон распределения первой выборки через F, а второй  через G. Введем допущения:

• выборки идолжны быть независимы;

• законы распределения F и G непрерывны. Отсюда следует, что с вероятностью 1 среди чисел и нет совпадающих.

Утверждение об однородности выборок ив введенных выше обозначениях можно записать в виде гипотезыH₀ : F = G.

В качестве альтернатив к H₀ могут выступать все возможности F  G. Однако критерий Манна–Уитни способен обнаруживать отнюдь не все возможные отступления от H₀: F = G. Этот критерий предназначен, в первую очередь, для проверки H₀ против альтернативы H₁: F  G (правосторонняя альтернатива) или альтернативы H₂: F  G (левосторонняя альтернатива). Можно рассматривать и объединение обеих возможностей (двусторонняя альтернатива). Критерий Манна–Уитни повторяет основные идеи критерия знаков и в определенном смысле является его продолжением. Он основан на попарном сравнении результатов из первой и второй выборок.

Условимся, что всякое событие x_i < y_i обозначает «успех», а всякое событие x_i > y_i – «неудачу». Смысл такой терминологии может быть связан с тем, что мы предполагаем, что вторая группа лучше первой, и рады подтверждению наших представлений. Изменяя i от 1 до m и j от 1 до n, получаем mn парных сравнений элементов выборок X и Y. Обозначим число успехов в этих парных сравнениях через U. Ясно, что U может принимать любое целое значение от 0 до mn.

Введенная выше случайная величина U называется статистикойМанна–Уитни.

Вычислив значение U_набл,мы можем приступить к проверке гипотезыH₀.

1. Зададим уровень значимости qили выберем метод, связанный с определением наименьшего уровня значимости статистикиU, который описан ниже.

2. Для правосторонних альтернатив найдем по таблицам такое критическое значение U_n(q,m,n),чтоP{U  U_п(q,m,n)}=q.

При этом критическая область для гипотезы H₀против правосторонних альтернатив будет иметь вид{U  U_п(q,m,n)}.

При проверке Н₀против левосторонних альтернатив надо найти критическое значениеU_л(q,m,n),такое, чтоP{U  U_л(q,m,n)}=q.