3.4. Формирование выборки

Достоверность рассчитанных по выборочным данным характеристик зависит от способа отбора единиц наблюдения из генеральной совокупности. Вид, метод и способ отбора выбирается в каждом конкретном случае в зависимости от условий: сущности исследуемого явления, объема генеральной совокупности, распределения наблюдаемых признаков и т.д.

Приведем краткую классификацию отбора.

1. По виду отбора различают:

• индивидуальный;

• групповой;

• комбинированный.

При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбирают отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе  группы единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание группового и индивидуального отбора.

2. По методу отбора различают:

• бесповторныйотбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется отбор;

• повторный отбор, при котором попавшая в выборку единица возвращается в совокупность для участия в дальнейшей процедуре отбора. Объем генеральной совокупности остается неизменным, следовательно,постоянна и вероятность попадания в выборку всех единиц генеральной совокупности.

По способу отбора единиц из генеральной совокупности наибольшее распределение получили следующие выборки:

• собственно-случайная;

• механическая;

• типическая;

• серийная;

• комбинированная.

Собственно-случайная выборка получается при отборе единиц из генеральной совокупности наугад, без каких-либо элементов системности. При этом следует убедиться, что все элементы генеральной совокупности имеют равные шансы попасть в выборку (нет пропусков, игнорирования отдельных единиц). Технически собственно-случайный отбор проводится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел (генератором случайных чисел). Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным.

Механическая выборкаприменяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена. Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, и отбор осуществляется в соответствии с пропорцией через равные интервалы. Например, при пропорции1: 50(2%-я выборка) отбирается каждая50-я единица совокупности. Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать и упорядочивать по величине изучаемого признака, что позволяет повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки из-за занижения или завышения значения изучаемого признака.

Типический отбор используется тогда, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп (например, районы при обследовании населения). Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. Так как в выборку попадают представители всех групп, то типизация генеральной совокупности позволяет исключать влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.

Серийный отборприменяется, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии (например, упаковки готовой продукции, партии товаров, студенческие группы и др.). Отбор серийной выборки может быть выполнен собственно-случайным или механическим способом, внутри нее производится сплошное обследование единиц. Так как внутри серии обследуются все единицы, то средняя ошибка серийной выборки зависит от величины только межгрупповой дисперсии.

Комбинированный отборчасто используется на практике. Например, можно комбинировать техническую и серийную выборки, тогда серии отбираются в установленном порядке без нескольких типических групп. Возможна комбинация серийного и собственно-случайного отборов, при которой отдельные единицы отбираются внутри серии в собственно-случайном порядке.

Многоступенчатымназывают отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом более мягкие и так до тех пор, пока не будут выбраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

Рассмотрим некоторые моменты определения требуемого минимального объема выборки.

Прежде чем собирать данные, необходимо определить требуемый объем или численность выборки. Необходимая численность выборочных данных рассчитывается по-разному. При возможности получения математического ожидания и дисперсии по результатам предварительных исследований эта численность может быть определена на основе допустимой ошибки при выборочном наблюдении с определенной вероятностью¹. Рассмотрим лишь формулы для определения необходимого объема для собственно-случайной выборки:

• при повторном отборе

;

(3.33)

• при бесповторном отборе

,

(3.34)

где дисперсия признака;

предельная ошибка выборки;

t квантили распределения Стьюдента при заданном уровне значимостиq(чащеq = 0,05) и объеме выборкиn.

Значения ичаще всего получают по результатам предварительных исследований.

При невозможности вычисления математического ожидания и дисперсии по результатам предварительных исследований численность выборки может быть определена по среднему размаху признака в совокупности (R =X_max – X_min), который позволяет определить среднеквадратичное отклонение . При наблюдении за качественными признаками объем выборки производится исходя извыборочных долей данного признака.Важным условием использования приведенных формул является близость распределения к нормальному.

Пример 3.4. Пусть требуется определить объем бесповторной выборки для анализа успеваемости студентов по какому-либо предмету. Общий объем генеральной совокупности (группы студентов)N = 50. Требуемая точность.

1. Возьмем вначале небольшую группу n = 5 студентов (предварительные исследования) и по ней определим дисперсию =1,5.

2. Определим табличное значение t приq =0,05и , .

3. Определим объем собственно-случайной бесповторной выборки в соответствии с формулой (3.34):

.

Вывод: для проведения исследования при таких требованиях необходим объем выборки примерно17, т.е. для анализа успеваемости студентов достаточно взять выборкуn = 17.

Пример 3.5. Требуется определить объем выборки с повторным отбором для оценки успеваемости с точностью иt = 2 при уровне значимости q = 0,05.

Решение.

1. Определим размах оценки R = X_max - X_min = 5 – 0 = 5.

2. По размаху вычислим дисперсию: =R/6 = 5/6 = 0,833.

3. По формуле (3.3) определим требуемый объем выборки:

.

Вывод: для проведения исследования оценки успеваемости при повторном отборе и требованиях _x = 0,5, t = 2 при q = 0,05 необходим объем выборки n = 14.

Задания для самостоятельной работы

1. Определите объем выборки для задачи 3.1 при условии повторного отбора.

2. При исходных данных задачи 3.2 определите объем выборки для бесповторного отбора при общем объеме генеральной совокупности N = 100.

3. Сформулируйте постановку статистической задачи, когда требуется расчет объема выборочных данных, и приведите ее решение.