Задания для самостоятельной работы

1. В результате ежедневной регистрации выручки в магазине в течение квартала получена выборка, представленная в табл. 4.3. Проверьте гипотезу о нормальности распределения вероятности этой случайной величины.

Таблица 4.3. Исходные данные

День	Январь	Февраль	Март
1	33,36	62,81	34,92
2	37,77	56,08	69,87
3	46,19	37,06	33,95
4	54,43	53,97	59,58
5	50,89	46,87	50,47
6	75,63	54,12	50,03
7	52,99	47,37	30,81
8	54,76	42,03	41,93
9	56,36	43,58	61,83
10	47,99	40,91	50,36
11	63,92	43,15	63,04
12	55,62	45,14	59,25
13	54,69	49,99	55,97
14	63,96	49,39	53,78
15	45,69	72,86	48,30
16	55,64	23,58	45,28
17	51,29	53,31	53,88
18	51,43	42,14	56,65
19	41,91	47,93	42,26
20	47,04	38,81	59,38
21	48,74	47,32	58,48
22	44,48	62,26	58,19
23	57,84	58,15	36,40
24	69,34	44,80	67,28
25	56,76	50,83	61,26
26	58,75	53,41	43,73
27	49,08	60,97	46,15
28	45,32	39,59	61,36
29	44,59		51,93
30	68,84		58,17
31	42,82		43,02

2. Проверьте гипотезу об однородности распределений выручки в первый и последний месяцы квартала.

4.3. Проверка гипотезы об однородности

параметров распределений

4.3.1. Критерий Стьюдента (t-критерий)

Критерий Стьюдента (t-критерий) предназначен для проверки гипотезы (4.3) однородности математических ожиданий в двух выборках нормально распределенной случайной величины, имеющиходинаковую (хотя и неизвестную) дисперсию:

; .

В качестве критической статистики используется величина

,

(4.8)

где оценки математических ожиданий в выборках объемомn_1, n₂;

 стандартное отклонение

(4.9)

(средняя дисперсия, которая вычисляется по выборочным дисперсиямипо формуле

).

В условиях справедливости гипотезы (4.3) и при дополнительном условии однородности дисперсий статистика t(4.8) должна подчиняться распределению Стьюдентаc (k = n₁ + n₂ – 2) степенями свободы. Определим из таблицы t-распределения критическое значение t_кр для уровня значимости q/2 и числа степеней свободы n₁ + n₂ – 2. Еслиокажется, чтоt, вычисленное по формуле (4.8), по абсолютной величине превзойдетt_кр, то гипотеза об однородности (4.3) отвергается¹.

Частным случаем является проверка гипотезы о равенстве математического ожидания нормально распределенной случайной величины заданному значению. Итак, имеем выборку (х₁, х₂, … , х_n)из нормальной генеральной совокупностиN(m_x,).Рассмотрим различные варианты постановки задач по проверке гипотез о равенстве числового значения оценки математического ожиданияпостоянной величинес.

Вариант 1.при условии, что дисперсия генеральной совокупностиизвестна.

Критическая статистика

.

(4.10)

В условиях справедливости гипотезы Н₀ статистика t подчиняется нормальному закону. В качестве критического значения t_кр используется квантиль нормального распределения U_q c уровнем значимости q.

Правило решения гипотезаН₀ отвергается с вероятностью ошибки, равнойq:

• если t > U_1–qпри альтернативе;

• t < U_1–qпри альтернативе;

• t< U_1–qпри альтернативе.

Здесь U_q – квантиль стандартного нормального распределения c уровнем значимости q (см.прил.6).

Вариант 2. при условии, что дисперсия неизвестна. Критическая статистикаtвычисляется по формуле

(4.11)

и распределена по закону Стьюдента с (n – 1)степенями свободы. Здесьsвыборочная оценка СКО.

Правило принятия решения гипотезаН₀отвергается:

• если t > t_q,(n–1) при альтернативе;

• t < -t_q,(n–1)при альтернативе;

• t< t_-q/2,(n–1)при альтернативе.