Решение

1. Определим среднее значение рентабельности:

.

2. По формуле (4.8) найдем значение критерия Стьюдента:

.

3. Критическое значение критерия найдем по таблице t-распре-деленияСтьюдента:t_{0,05, (9)} = 1,83. Наблюдаемое значениеt < – t_кр,следовательно, гипотезаН₀должна быть отвергнута, что свидетельствует о нарушении эффективности торговых операций в анализируемом периоде.

Задания для самостоятельной работы

1. В целях проверки, на какой из сигналов человек реагирует быстрее – на свет или звук, был проведен следующий эксперимент. Каждому из испытуемых компьютером в случайном порядке поочередно подавались два сигнала: световой и звуковой. Увидев или услышав сигнал, испытуемый должен был нажать на кнопку на клавиатуре. Время между подачей сигнала и реакцией испытуемого приведено в табл. 4.6.

По результатам эксперимента определите: можно ли считать, что время реакции человека на свет и звук одинаково?

Таблица 4.6. Данные к примеру

Номер испытания	Время реакции, мс		Номер испытания	Время реакции, мс
	свет	звук		свет	звук
1	223	181	9	200	155
2	104	194	10	191	156
3	209	173	11	197	178
4	183	153	12	183	160
5	180	168	13	174	164
6	168	176	14	176	169
7	215	163	15	155	155
8	172	152	16	115	122
			17	163	144

2. По данным примера 4.5 определите, соответствует ли средняя оборачиваемость товарных запасов нормативному показателю.

3. Сформулируйте статистическую задачу на проверку гипотезы о равенстве математических ожиданий двух выборок.

4. По данным эксперимента, описанного в п.1 задания, определите среднюю величину разности между реакцией на свет и звук Проверьте гипотезу о равенстве нулю математического ожидания этой разности. О чем свидетельствует результат проверки гипотезы?

4.3.2. Критерий Фишера (f-критерий)

F-критерий однородности дисперсийпредназначен для проверки гипотезы однородности дисперсийв двух нормально распределенных совокупностях. Он основан на использовании статистики

(4.12)

которая в условиях справедливости гипотезы Н₀ должна подчинятьсяF-распределению Фишера с числами степеней свободы числителя(n₁ –1)и знаменателя(n₂ –1).Для удобства использования статистических таблиц в числитель обычно подставляют большую дисперсию. При заданном уровне значимости критерияqопределяют табличные значенияF_1-q/2; (n₁ – 1, n₂ – 1) иF_q/2; (n₁ – 1, n₂ – 1).

Если окажется, что

F_1-q/2; (n₁ – 1, n₂ – 1)F_nF_q/2; (n₁ – 1, n₂ – 1) ,

то гипотеза об однородности дисперсий принимается (и отвергается во всех других случаях).

Частным случаем является проверка гипотезы о значении дисперсии нормальной совокупности. Пусть по случайной выборке (х₁, х₂, … х_т), взятой из нормальной генеральной совокупности, получена оценка дисперсииs². Требуется проверить гипотезу о, гденекоторое конкретное числовое значение. При проверке этой гипотезы используют критическую статистику

,

(4.13)

которая в соответствии с теорией Фишера в условиях справедливости Н₀ распределена по законуχ² сn  1степенью свободы.

Правило принятия решения: гипотезуН₀ отвергают (с вероятностью ошибкиq), в следующих случаях:

	при альтернативе	;
	при альтернативе	;
	при альтернативе	.

Пример 4.6. Воспользуемся условием примера 4.4. Предварительный анализ законов распределения числа заболеваний в административных районах показал, что данные и в том и другом случае достаточно хорошо описываютсянормальной моделью.

Решение. Перед тем как использовать в решении поставленной задачиt-критерий Стьюдента, необходимо убедиться в однородности дисперсий выборок, т.е. проверить гипотезу

.

С этой целью воспользуемся F-критерием. В нашем примере его значение оказывается равным2,31 (дисперсии первой и второй выборок соответственно равны 336,9 и 777,7). Из таблицF-распре-деления находим критическую точку для уровня значимостиq= 0,05: F_{0,05 (7,11)} = 3,01.

Поскольку рассчитанное значение критерия меньше критического (0,43 < 3,01),то мы имеем основание принять допущение о равенстве дисперсий в анализируемых выборочных совокупностях.

Задания для самостоятельной работы

1. Воспользуйтесь табл.4.6 экспериментальных данных в предыдущем задании и проверьте гипотезу о равенстве дисперсий времени реакции человека на световой и звуковой сигналы.

2. Сформулируйте статистическую задачу, требующую проверки гипотезы о равенстве оценки выборочной дисперсии заданному значению.