Проблема 1. Вычислить интеграл

Примеры 10-13.

10)

∫sin4 x cos x dx

подстановка sin x=t

= ∫t

4dt = t5

+C = sin5 x

+C .

1

1

5

1

5

∫ex

3

3

11)

x2dx

подстановка x3 =t

= 3 ∫et dt = 3 et +C =

3 ex

+C .

12)

∫arcsin x dx подстановка arcsin x=z

= ∫zdz = z2

+C = arcsin2 x

+C .

1 − x2

2

2

13)

∫

1

− x2

подстановка x=sin t = ∫

cost

cost dt

= ∫

cos2 t

dt

x

2

dx

sin2 t

sin2 t

= ∫

1 −sin2 t

dt = ∫

1

dt − ∫dt

sin2 t

sin2 t

=−ctg t −t +C = −cossin tt −t +C

=− 1 −sin2 t −t +C = − 1− x2 −arcsin x +C. sin t x

В простых и очевидных ситуациях можно сразу записать результат, мысленно сделав замену переменной. Например,

∫tg xdx = ∫ sin x dx = −∫

d (cos x)

= −ln | cos x | +C ,

cos x

cos x

∫

xdx

=

1

∫

dx2

=

1

∫

d ( x2 +1)

=

1

ln(x

2

+1)

+C .

x

2

+1

2

x

2

+1

2

x

2

+1

2

3.5.2.Некоторые важные интегралы

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся интегралы, имея в виду поместить их в таблицу основных интегралов и в дальнейшем использовать полученные результаты при решении других задач.

∫a2 dx+ x2 .

Решение: Сделаем подстановку x = at .

Тогда

dx

adt

a

dt

∫

=

∫

=

∫

a

2

2

a

2 2

t

2

2

1 +t

2

+ x

+a

a

x

(11)

1 arctan t

1 arctan

=

+C =

+C.

a

a

a

45