5.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

5.1.Основные понятия

Кнесобственным интегралам относятся:

1)интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности;

2)интегралы от неограниченных функций (на промежутке интегрирования).

Примеры несобственных интегралов:

+∞

b

+∞

1

dx

2

dx

5

dx

∫ f (x)dx ,

∫ f (x)dx ,

∫ f (x)dx ,

∫

,

∫

,

∫

.

x

2 − x

(x −3)

2

a

−∞

−∞

0

1

2

Несобственные интегралы можно выразить через обычные определенные интегралы, используя предельный переход. В частности,

+∞	c
∫ f (x)dx = clim→+∞ ∫ f (x)dx ,		(1)
a	a
b	b
∫ f ( x)dx = clim→−∞ ∫ f ( x)dx .		(2)
−∞	c

Аналогичным образом можно выразить интегралы от неограниченных

функций. Пусть, например,	f ( x) → ∞ при x →a . Тогда
b		b
∫ f ( x)dx = clim→a		∫ f (x)dx .	(3)
a		c

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Примеры сходящихся интегралов:

∞

c

1 )

c

1) =1.

•

∫dx2

= lim

∫dx2 = lim (−

= lim (1 −

1

x

c→∞

1 x

c→∞

x

1

c→∞

c

c

+∞

c

1 lim (1

1 .

•

∫e−5xdx = lim

∫e−5xdx = lim (−1 e−5x )

=

−e−5c ) =

0

c→+∞

0

c→+∞

5

0

5 c→+∞

5

1

dx

= 2 x 10 = 2 .

• ∫

0

x

Примеры расходящихся интегралов:

∞

c

c

•

∫dx

= lim

∫dx = lim ln | c|

= lim ln | c |= ∞.

1

x

c→∞

1

x

c→∞

1

c→∞

c

c

∞

•

∫

cos xdx = lim

cos xdx = lim sin x

= lim sin c – не существует.

c→∞ ∫

c→∞

0

c→∞

0

0

110