3.6.Интегрирование рациональных функций

3.6.1.Основные понятия

Вэтом разделе мы обсудим проблему интегрирования рациональных функций, т.е. выражений вида

f ( x) = QP((xx)) ,

где P( x) и Q( x) – многочлены целой степени x .

Говорят, что рациональная функция QP((xx)) является правильной дробью,

если степень многочлена P( x)				в числителе меньше степени многочлена
Q( x) в знаменателе.
Примерами рациональных функций являются выражения
	x3	,	x2 −1	,	3x −	2		,	1		,
	2x + 7		4x2 +3x −5		5x3 + x −1				(x +	5)4

два последних из которых представляют собой правильные дроби.

	Если	P( x)	не является правильной дробью, то делением многочлена P( x)
		Q( x)
	на многочлен Q( x) , их отношение можно представить в виде
				P( x)	= P (x) +			R(x)	,
				Q( x)		1		Q(x)
	где P (x)		– некоторый многочлен				(называемый целой частью);			R( x)	–
	1									Q( x)

правильная дробь (называемая остаточным членом).

Интегрирование многочлена P1(x) является вполне тривиальной задачей.

Следовательно, проблема интегрирования произвольной рациональной функции сводится к проблеме интегрирования правильной дроби.

В одном из последующих параграфов мы рассмотрим простые алгоритмы, позволяющие представить любую правильную дробь в виде суммы простых дробей, т.е. выражений вида

1)	1			( n =1, 2, 3, ... ),
	(x −a)n
2)	Ax + B			( n =1, 2, 3, ... ),
	(x2 + px + q)n
где предполагается, что				квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет

вещественных корней, т.е. его дискриминант D = p2 − 4q отрицателен.

Это означает, в конечном счете, что проблема интегрирования правильной дроби сводится к проблеме интегрированию простых дробей.

57

Таким образом, процедура интегрирования произвольной рациональной функции включает в себя три этапа:

1)Приведение рациональной функции к правильной дроби (выделением целой части) – если она таковой не является.

2)Представление правильной дроби в виде суммы простых дробей.

3)Интегрирование полученных дробей.

3.6.2. Интегрирование простых дробей

Интегрирование простой дроби первого типа выполняется элементарно:

		dx		ln | x −a | +C,			если n =1;
I1	= ∫
				=	1		+C, если n >1.	(33)
		( x −a)	n
					(−n +1)( x −a)	n −1

Перейдем к интегрированию простой дроби второго типа,

Ax + B

I2 = ∫(x2 + px + q)n dx .

Преобразуем квадратный трехчлен x2 + px + q , выделив полный квадрат:

x2 + px +q = (x2 +

2

p

x +

p2

) +q −

p2

= (x +

p

)2 +(q −

p2

) .

2

4

4

2

4

Учитывая, что константа q − p2

≡ −D 4 > 0 , обозначим ее a2 .

4

Сделаем подстановку t = x + p

2 . Тогда

x = t − p 2 ,

dx = dt ,

Ax + B = At + (B − A

p

) ,

2

Ax + B

Ax + B

∫

dx = ∫

dx

(x

2

+ px + q)

n

(( x + p 2)

2

+ a

2

)

n

= ∫

At + (B − Ap 2)

dt = A∫

tdt

+ (B −

p

)∫

dt

.

(t

2

+ a

2

)

n

(t

2

+ a

2

)

n

2

(t

2

+ a

2

)

n

Первый интеграл в правой части полученного выражения легко приводится к табличному виду:

∫				tdt						=			1		∫			d(t 2 )
	(t	2		+ a		2	)	n					2			(t	2		+ a	2		)	n
																		1	ln(t		2		+ a		2		) + C,						если	n =1;	(34)
				d(t		2	+ a					2
	1													)				2
			∫
=	2			(t	2	+ a				2	)		n		=								1
																																+ C,	если	n >1.
																		2(−n +1)(t								2		+ a	2	)	n−1

К оставшемуся интегралу

58

Kn =

dt

( n ≥1).

(35)

∫(t2

+a2 )n

применим технику интегрирования по частям.

Пусть

u =

1

,

dv = dx .

(t2 + a2 )n

Тогда

du =

−2ntdt

,

v = x .

(t2 +a2 )n+1

Следовательно,

t2

∫

dt

=

t

−

(−2n)∫

dt

(t

2

2

)

n

(t

2

+ a

2

)

n

(t

2

+ a

2

)

n+1

+ a

=

t

+

2n∫

(t2

+ a2 ) − a

2

dt

(t

2

+ a

2

)

n

(t

2

+ a

2

)

n+1

=

t

+

2n∫

dt

− 2na2 ∫

dt

.

(t

2

+ a

2

)

n

(t

2

+ a

2

)

n

(t

2

2

)

n+1

+ a

Перепишем это равенство с учетом обозначений (35):

Kn =

t

+ 2nKn − 2na2 Kn+1 .

(t2 + a2 )n

Выразим Kn+1

через Kn :

2n −1 Kn

1

t

Kn+1 =

+

.

2na2 (t2 + a2 )n

2na2

Перепишем полученный результат в интегральной форме:

dt

2n −1

dt

1

t

∫

=

2 ∫

+

.

(36)

(t

2

+ a

2

)

n+1

2na

(t

2

+ a

2

)

n

2na

2

(t

2

+ a

2

)

n

Формула (36) представляет собой цепочку равенств.

Подставляя в нее n =1, мы получаем выражение для интеграла K2 через интеграл K1 . При n = 2 формула (36) дает выражение для интеграла K3 через интеграл K2 , и т.д.

Формулы подобного типа называются рекуррентными соотношениями.

Таким образом, проблема интегрирования простых дробей полностью решена.

Пример. Учитывая ранее полученное выражение для интеграла K1 ,

K

=

dt

= 1 arctg

t

+C ,

∫t

1

2 +a2

a

a

n =1, получаем:

и подставляя в рекуррентные соотношения (36)

K2

=

∫

dt

=

1

(

1 arctg

t

+

t

) +C .

(37)

(t2 +a2 )2

2a2

a

t

2 +a2

a

59