Приведенная таблица имеет иллюстративный характер и ни в коей мере не претендует на исчерпывающий перечень интегралов, успешно вычисляемых методом интегрирования по частям. Следует также иметь в виду, что многие интегралы (в том числе и не представленные в таблице) могут быть выражены через вышеприведенные с помощью подходящей замены переменной, например,

∫arcsin x dx arcsin x=t = ∫t cost dt ,

∫x arccos x dx arccos x=t = −∫t sin t cos t dt = − 12 ∫t sin 2t dt .

3.5.3.3. Циклические интегралы

Рассмотрим следующие интегралы:

	I1 = ∫eax cosbx dx ,				(27)
	I2 = ∫eax sin bx dx .				(28)
Преобразуем (27), используя метод интегрирования по частям:
	ax		du = aeaxdx
u = e				1 sin bx
dv = cosbxdx			v =
				b

I1 = ∫eax cos bx dx = 1b eax sin bx − ab ∫eax sin bx dx .

Учитывая (28), полученное равенство можно записать в виде

I1 =	1 eax sin bx − a		I2 .	(29)
	b	b

Интеграл (27) оказался выраженным через интеграл (28).

Теперь выполним аналогичные преобразования применительно к интегралу I2 . Интегрируем по частям (28):

	ax	du = aeaxdx
u = e
dv =sin bxdx		v = −	1 cosbx
			b

I2 = ∫eax sin bx dx = −1b eax cos bx + ab ∫eax cos bx dx .

Учитывая (27), полученное равенство представим в виде

I2	= −	1 eax cos bx + a		I1 .	(30)
		b	b

Любопытно отметить, что цикл, начавшийся с вычисления интеграла (27) и включающий в себя двукратное интегрирование по частям, привел вновь к исходному интегралу (27).

54

et +C

+C.

Составим из равенств (29) и (30) систему линейных уравнений относительно переменных I1 и I2 :

	a	I2		1		ax	sin bx,
I1	+ b		= b e
				1
a	I1 − I2		=		e	ax	cosbx.
				b
b

Выполнив простые алгебраические преобразования, получаем

I1

= a cosbx +bsin bx eax ,

a2 +b2

I2

= a sin bx −b cosbx eax .

a2 +b2

Таким образом,

∫e

ax

cosbxdx =

a cosbx +bsin bx

e

ax

+C ,

a

2

+b

2

∫e

ax

sin bxdx =

a sin bx −bcosbx

e

ax

+C .

a

2

+b

2

(31)

(32)

Заметим, что к интегралам рассматриваемого вида сводятся некоторые другие интегралы.

Пример 1. Вычислить ∫sin(bln x)dx . Решение. Сделаем замену переменной: ln x = t . Тогда x = et , dx = etdt и, следовательно,

∫sin(b ln x)dx = ∫et sin bt dt .

Используя формулу (32) и возвращаясь к переменной x, получаем

∫sin(bln x)dx =	sin bt −bcosbt			e	t	+C
	1	+b	2

= sin(bln x) −bcos(bln x) +

1 +b2 x C.

Пример 2. Вычислить ∫cos(ln x)dx .

Решение. Сделаем подстановку ln x = t и воспользуемся формулой (31):

∫cos(ln x)dx = ∫et cost dt = cost +sin t 2

= 12 (cos(ln x) +sin(ln x))x

55