ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Полярная система координат
Полярная система координат на плоскости задается точкой 0, называемой полюсом, и осью 0x (называемой полярной осью). Каждой точке плоскости можно поставить в соответствие полярные координаты r и ϕ . Полярный радиус r представляет собой расстояние от точки до начала координат, а полярный угол ϕ образуется лучом, проходящим через точку из начала координат, и полярной осью. Угол отсчитывается в радианной мере от положительного направления полярной оси против часовой стрелки.
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ϕ ≤ 2π (или −π ≤ϕ ≤π ).
Между прямоугольными и полярными координатами точки можно записать простые соотношения, если совместить начала координатных систем, а полярную ось выбрать так, чтобы она совпадала с осью 0x прямоугольной системы координат.
Рис. 1
Уравнения некоторых кривых существенно упрощаются при переходе от прямоугольной системы координат в полярную.
1) Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат
в прямоугольной системе координат: |
x2 + y2 = R2 ; |
в полярной системе координат: |
r = R. |
2)Уравнение прямой, проходящей через начало координат в прямоугольной системе координат в форме с угловым
коэффициентом: |
y = k x , где k = tg ϕ ; |
в полярной системе координат: |
ϕ = const . |
3) Уравнение кардиоиды |
( x2 + y2 −ax)2 = a2 ( x2 + y2 ) ; |
в декартовой системе координат: |
|
в полярной системе координат: |
r = a(1 +cosϕ) . |
4)Уравнение лемнискаты Бернулли
в декартовой системе координат: ( x2 + y2 )2 −a2 ( x2 − y2 ) = 0 ;
в полярной системе координат: |
r2 = a2 cos 2ϕ . |
5) Уравнение улитки Паскаля |
( x2 + y2 −ax)2 = b2 ( x2 + y2 ) ; |
в декартовой системе координат: |
|
в полярной системе координат: |
r = b +a cosϕ . |
120
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Некоторые алгебраические кривые
Полукубическая парабола: y2 = x3
или
x = t2
y = t3
Локон Аньези:
x2 y = 4a2 (2a − y)
Лемниската Бернулли:
( x2 + y2 )2 = a2 ( x2 − y2 )
или
r2 = a2 cos 2ϕ
Кардиоида
(x2 + y2 −ax)2 = a2 ( x2 + y2 )
или
r = a(1 +cosϕ)
Циклоида
x = a(t −sin t)y = a(1 −cos t)
121
Астроида
2 |
2 |
2 |
x 3 + y 3 = a 3
или
x = a cos3 t
y = a sin3 t
Спираль Архимеда
r = aϕ
Улитка Паскаля
( x2 + y2 −ax)2 = b2 (x2 + y2 )
или
r = b +a cosϕ a < b
Улитка Паскаля
( x2 + y2 −ax)2 = b2 (x2 + y2 )
или
r = b +a cosϕ
a > b
122