1.4. Приложения формулы Тейлора

Все нижеприведенные формулы вытекают из формулы Маклорена. Единственное, что требуется для их вывода – получить выражения для соответствующих производных n-го порядка.

Для оценки остаточных членов использована форма Лагранжа.

1) Пусть f ( x) = ex . Тогда

f (n) (x) = ex

и

f (n) (0) =1

для n ≥ 0 , что дает

ex =1 + x +

x2

+

x3

+... +

xn

+ R ( x)

(12)

2!

3!

n!

n

Здесь R ( x) =

ec

xn+1 ; c - точка, расположенная между нулем и x .

n

(n +1)!

Если

x < 0 ,

то

ec <1, так что | R (x)

| <

1

| x |n+1 .

n

(n +1)!

2) Пусть f ( x) = sin x . Тогда

kπ

kπ

f (k ) ( x) = sin( x +

) ,

f (k ) (0) = sin

.

Очевидно, что

2

2

f (2n−1) (0) = (−1)n−1

(для нечетных k ),

Следовательно,

f (2n) (0) = 0 (для четных k ).

sin x = x −

x3

+

x5

−... + (−1)n−1

x2n−1

+ R (x)

(13)

3!

5!

(2n −1)!

n

где |

R (x) | <

| x |2n

для x < 0 ;

| R (x) | <

| x |2n+1

для

x > 0 .

n

(2n)!

n

(2n +1)!

3) Пусть f ( x) = cos x . Тогда

Если k – нечетное число, то f

Если же k – четное число, то f Следовательно,

f (k ) ( x) = cos(x +	kπ	) ,	f (k ) (0)	= cos	kπ	.
2				2
(2n+1) (0) = 0 .
(2n) (0) = (−1)n .

cos x =1 −

x2

+

x4

−... + (−1)n

x2n

+ R ( x)

(14)

2!

4!

(2n)!

n

где | R (x) | <

| x |2n+2

для любых x .

n

(2n + 2)!

10

4) Пусть f ( x) = arctg x , где −1 < x ≤1. Тогда

arctg x = x −

x3

+

x5

−... +(−1)n−1

x2n−1

+ R ( x)

(15)

3

5

2n −1

n

Если 0 < x <1, то

| R (x)

| <

1

| x |2n+1 .

n

2n +1

5) Пусть f ( x) = ln(1 + x) , где

−1 < x ≤1. Тогда

f (0) =1,

f (n) (x) =

(−1)n−1

(n −1)!,

f (n) (0) = (−1)n−1(n −1)!,

(1 + x)n

что приводит к разложению

ln(1 + x) = x −

x2

+

x3

−... +(−1)n−1

xn

+ R ( x)

2

3

n

n

где

R ( x) = (−1)n

xn+1

(1 + c)−n−1 ; | c |<| x | .

n

n +1

1

Если 0 < x <1, то

| R (x)

| <

xn+1 .

n

n

+1

6)

Пусть f (x) = (1 + x)m , где m - рациональное число. Тогда

f (n) (x) = m(m −1)...(m −n +1)(1 + x)m−n , f (n) (0) = m(m −1)...(m −n

	(1 + x)m =1 + mx + m(m −1) x2 +... + m(m −1)...(m −n +1) xn + R ( x)
		2!	n!	n
Если m = n ,		то Rn (x) = 0.
Например,		(1 + x)4 =1 +4x +6x2 +4x3 + x4 .

(16)

+1) ,

(17)

1.5. Примеры применения формулы Тейлора

Пример 1. Вычислить приближенно 3 e .

Решение: Подставим в формулу (12) x =13 и выберем последовательно n =1,2,3:

1)	ex ≈1 + x							3	e = e1 3 ≈1 +				1	4	≈1.333 ;
													3 =	3
2)	ex ≈1 + x +		x2					3	e ≈1 +	1	+	1	12	=	25	≈1.389 ;
										3					18
	2											2! 3
3)	ex ≈1 + x +	x2		+		x3		3	e ≈1 +	1	+	1	12	+	1	13	=	113 ≈1.395.
										3
	2			6								2! 3			3! 3			81
Любопытно сравнить эти результаты с точным значением:																	3	e =1.3956...

11

Пример 2. Вычислить приближенно sin18°.

Решение. Прежде всего, следует преобразовать градусы в радианы:

18° =

π

.

π

10

Формула (13) при x =

и

n =1,2 дает, соответственно:

10

π

π

1)

sin x ≈ x

sin

≈

≈ 0.314 ;

10

10

π 3

2)

sin x = x −

x3

π

π

1

sin

≈

− 6

≈ 0.3089 .

3!

10

10

10

Точное значение sin18° равно 0.3090...

Пример 3. Вычислить приближенно 3 10 . Решение. Преобразуем число 10 к виду

10 = 23 +2 = 23 (1 + 223 ) = 23 (1 + 14) .

Тогда	3 10 = 23 1 +	1 .
		4

Теперь можно воспользоваться формулой (17), положив x = 14 и m = 13 .

При n = 2 получаем

	3 1 +	1	= 1	+	1	1 3	≈1 +	1		1	+	1 1	(	1	−1)	1	=	155 .
		4			4			3		4		2 3		3		42
																		144

Следовательно, 3 10 = 23 1 +1 4 ≈155 72 ≈ 2.1528 .

Точное значение равно 2.1544...

Пример 4. Оценить погрешность вычисления e в зависимости от порядка аппроксимирующего многочлена.

Решение. Рассмотрим остаточный член (12) при x =12 :

	R	(	1	) =	ec				1	,
			2		(n +	1)!			2n+1
	n

где 0 < c <12 .

Очевидно, что ec < e12 < 2 . Тогда

			R (	1) <			1
					(n +1)! 2n
			n	2
	R (	1 ) < 0.25,	R ( 1 ) <			1	≈ 0.04 ,		R (	1 ) <		1	≈ 0.005 .
					24						192
	1	2	2	2					3	2

12

1.6. Формулы приближенных вычислений

Некоторые полезные приближенные формулы, справедливые для достаточно малых значений x, сведены в таблицу и проиллюстрированы графиками.

Таблица 1

	Функция	Первое	Следующее
		приближение	приближение

x

1 + x

1 + x

x2

e

+ 2

sin x

x

x −

x3

6

cos x

x2

x2

x4

1 − 2

1 − 2

+ 24

tg x

x

x3

x + 3

ln(1 + x)

x

x2

x − 2

1

ln

1 + x

x

x +

x3

2

1 − x

3

arctg x

x

x −

x3

3

1 + x

1 +

x

1 +

x

−

x2

2

2

8

3 1 + x

1 +

x

1 +

x

−

x2

3

3

9

1

1 − x

1 − x

+ x2

1 + x

1

1 + x

1 + x

+ x2

1 − x

13

Рис. 1

Рис. 2

14

Рис. 3

Рис. 4

15

Рис. 5

Рис. 6

16