3.7.Интегрирование тригонометрических выражений

3.7.1.Интегралы вида ∫sinm x cosn x dx

1.Предположим, что оба показателя степени m и n – четные числа, m = 2k и n = 2l , где k и l – неотрицательные целые числа.

Тогда для понижения степеней синуса и косинуса можно воспользоваться тригонометрическими тождествами

2 cos2 x =1 +cos 2x , 2 sin2 x =1 −cos 2x ,

2sin x cos x = sin 2x .

Действительно,

∫sin2k x cos2l xdx = ∫(sin2 x)k (cos2 x)l dx

= 14 ∫(1−cos 2x)k (1 +cos 2x)l dx.

Если раскрыть скобки, то мы получим сумму более простых интегралов, часть из которых – табличные, а другие могут быть упрощены повторным понижением степеней.

2. Предположим, что n – нечетное число, n = 2k +1. Тогда для любого числа m ,

∫sinm x cos2k +1 xdx = ∫sinm x cos2k x cos xdx

= ∫sinm x(1 −sin2 x)k cos xdx.

Используя подстановку t =sin x ( dt = cos xdx ), получаем элементарно вычисляемый интеграл:

∫sinm x cos2k +1 xdx = ∫tm (1 −t2 )k dt .

Если m – нечетное число, то нужно применить подстановку t =cosx:

∫sin2k +1 x cosn xdx = ∫(1−cos2 x)k cosn x sin xdt = −∫(1−t2 )k tndt .

Примеры:

•∫cos2 xdx = 12 ∫(1 +cos 2x)dx = 12 (x + 12 sin 2x) +C .

•∫sin2 x cos3 xdx = ∫sin2 x(1 −sin2 x) cos x dx sin x=t

=∫t2 (1 −t2 )dt = ∫(t2 −t4 )dt

=13 t3 − 15 t5 +C = 13 sin3 x − 15 sin5 x +C.

73

•

∫sin2 3x cos2 3xdx =

1

∫(2sin 3x cos3x)2 dx =

1

∫sin2 6xdx

4

4

=

1

∫

(1−cos12x)dx =

1 (x −

1

sin12x) +C.

8

12

8

•

∫cos5 xdx = ∫(1 −sin2 x)2 cos xdx

sin x=t

= ∫(1 −2t2 +t4 )dt = t − 2 t3 +

1 t5

+C

3

5

=sin x − 2 sin3 x + 1 sin5 x +C.

3

5

∫sin5 x dx = ∫(1−cos2 x)2

•

sin xdx

cos x

cos x

cos x=t

(1 −t2 )2

= −∫

dt = −∫(1 −2t +t3 )dt

t

t

= −ln | t | +t

2

−

t4

+C

4

= −ln | cos x | +cos2 x − cos4 x

+C.

4

3.7.2. Интегралы вида ∫

dx

,

∫

dx

sin

n

x

cos

n

x

1.

Предположим, что n – нечетное число, n = 2k −1.

Тогда посредством

подстановок cos x = t

(или,

соответственно, sin x = t )

проблема интегрирования тригонометрических функций сводится к проблеме интегрирования рационального выражения:

∫

dx

= ∫

sin xdx

= ∫

sin xdx

sin

2k −1

x

sin

2k

x

(1

−cos

2

x)

k

= −∫

d (cos x)

= −∫

dt

| подстановка t = cos x |,

(1 −cos

2

x)

k

(1−t

2

)

k

∫

dx

=

∫

cos xdx

=

∫

dt

| подстановка t =sin x | .

cos

2k −1

x

(1

−sin

2

x)

k

(1

−t

2

)

k

2. Предположим, что n – четное число, n = 2k .

Тогда для понижения степени синуса можно воспользоваться тригонометрическим тождеством

	1	=	sin2 x + cos2 x	=1 + ctg2 x .
	sin2 x		sin2 x

74

Тогда для любого натурального числа k,

1

= (

1

)k −1

1

=

(1 +ctg2 x)k −1

1

sin2k

x

sin2 x

sin2

x

sin2 x

∫

dx

= ∫(1+ctg

2

x)

k −1

dx

.

sin

2k

x

sin

2

x

Далее подстановка

t = ctg x

сразу приводит к элементарно вычисляемому

интегралу:

dx

∫(1+ctg2 x)k −1

= −∫(1+t2 )k −1 dt .

2

x

sin

dx

Аналогичным образом решается проблема вычисления интеграла ∫

:

cos

2k

x

сначала используем тригонометрические тождества

1

=

cos2 x + sin2 x

=1 + tg2 x ,

cos2

x

cos2 x

1

1

= (

1

)k −1

1

= (1+ tg2 x)k −1

,

cos2k

x

cos2 x

cos2

x

cos2

x

а затем применяем подстановку t = tg x :

∫

dx

=

∫(1 + tg2 x)k −1

dx

=

∫(1 + t2 )k −1 dt .

(43)

2k

x

2

x

cos

cos

Примеры:

•

∫

dx

= ∫

sin xdx

= −∫

d

(cos x)

sin x

sin

2

x

1 −cos

2

x

cos x=t

= ∫

dt

=

1 ln

1 −t

+C =

1 ln

1 −cos x

+C.

t

2

1 +t

−1

2

2

1 +cos x

•

∫

dx

= ∫

cos xdx

= ∫

d (sin x)

cos x

cos

2

x

1 −sin

2

x

sin x=t

= ∫

dt

=

1

ln

1 +t

+C =

1

ln

1 +sin x

+C.

1 −t

2

2

1 −t

2

1 −sin x

•

∫

dx

= ∫

dx

= ∫

d (x +π 2)

cos x

sin(x +π 2)

sin(x +π 2)

= 1 ln 1 −cos(x +π 2)

+C =

1 ln

1 +sin x

+C.

2

1+cos(x +π 2)

2

1−sin x

•

∫

dx

=

∫(1+ tg

2

x)

dx

cos

4

x

cos

2

x

= ∫(1+t2 )dt = t + t3

+C

= tg x + tg3 x

+C.

3

3

75

3.7.3. Интегралы вида ∫tgn x dx , ∫ctgn x dx

При n =1 и n = 2 интегралы берутся элементарно, например,

∫tg x dx = ∫sin x dx = −∫

d (cos x)

= −ln | cos x | +C ,

(44)

cos x

cos x

∫tg

2

xdx = ∫

1 − cos2 x

dx = ∫

dx

− ∫dx = tg x − x +C .

(45)

cos

2

x

cos

2

x

Если n = 2, 3,K, то нужно предварительно понизить степень, используя тригонометрическое тождество

tg2 x =

1

−1.

Тогда

cos2

x

1

dx

∫tgn xdx = ∫tgn −2 x(

−1)dx = ∫tgn −2 x

− ∫tgn −2 xdx ,

2

x

2

x

где

cos

cos

dx

= ∫tgn −2 xd (tg x) = tgn −1x

∫tgn −2 x

+C .

2

x

Следовательно,

cos

n −1

tgn −1x

∫tgn xdx =

−∫tgn −2 xdx .

(46)

n −1

Проблема интегрирования tgn x сведена к проблеме интегрирования tgn−2 x . Повторным применением формулы (46) можно понизить степень тангенса до 1 или 2.

Аналогично,

	ctgn x = ctgn −2 x ctg2 x = ctgn −2 x (						1		−1)
							sin2	x
			dx
	∫ctgn xdx = ∫ctgn −2 x				− ∫ctgn −2 xdx
		2		x
		sin
	∫ctgn xdx = −		ctgn −1x			− ∫ctgn −2 xdx .				(47)
			n −1

Вчастности,

∫ctg3 xdx = −ctg22 x − ∫ctgx dx

=−ctg2 x − ∫cos x dx +C = −ctg2 x −ln | sin x | +C, 2 sin x 2

∫tg4 xdx = 13 tg3 x − ∫tg2 xdx

=13 tg3 x −(tg x − x) +C = 13 tg3 x − tg x + x +C.

76

3.7.4.Интегралы вида

∫sin ax cosbxdx , ∫sin axsinbxdx , ∫cosax cosbxdx

Интегралы такого типа легко вычисляются с помощью тригонометрических тождеств

sinαcos β =	1		(sin(α − β) +sin(α + β)) ,	(48)
	2
sinαsin β =	1	(cos(α − β) −cos(α + β)) ,		(49)
	2
cosαcos β =	1		(cos(α − β) +cos(α + β)) .	(50)
	2

Примеры.

•∫sin 2x cos xdx =12 ∫(sin 3x +sin x)dx = −16 cos3x − 12 cos x +C .

•∫sin5xsin 3xdx =12 ∫(cos 2x −cos8x)dx = 14 sin 2x −161 sin8x +C .

•∫cos 4x cos 2xdx = 12 ∫(cos 2x +cos6x)dx = 14 sin 2x +121 sin 6x +C .

Иногда для преобразования подынтегральной функции нужно повторно воспользоваться тождествами (48) – (50). Так, чтобы вычислить интеграл

∫sin 2x cos3x cos4xdx ,

нужно преобразовать произведение синусов и косинусов в их аддитивную комбинацию.

Преобразуем произведение косинусов с помощью тождества (50): cos3x cos4x = 12 (cos x +cos7x) .

Затем воспользуемся тождеством (48):

sin 2x cos3x cos 4x = 12 sin 2x(cos x +cos7x)

=12 (sin 2x cos x +sin 2x cos7x)

=14 (sin x +sin 3x +sin(−5x) +sin 9x).

Проинтегрируем каждое слагаемое:

∫sin 2x cos3x cos 4xdx = 14 ∫(sin x +sin 3x −sin 5x +sin 9x)dx

=− 14 cos x −121 cos3x + 201 cos5x − 361 cos9x +C.

77