5.2. Признаки сходимости

Существуют различные способы исследования несобственных интегралов на сходимость, к простейшим из которых относятся признаки сравнения.

	Признак сравнения 1
	Пусть 0 ≤ f ( x) ≤ g( x) для всех x (a,b) . Тогда
	b	b
	сходимость интеграла ∫g( x)dx влечет сходимость интеграла ∫ f ( x)dx .
	a	a
	b	b
	Если интеграл ∫ f ( x)dx расходится, то расходится и интеграл ∫g( x)dx .
	a	a
Здесь a и b – любые числа (не обязательно конечные);		функция f ( x)

может быть неограниченной в окрестности любой из точек, a или b .

На практике применение этого признака сводится к простой процедуре: исследуемый на сходимость интеграл сравнивается с одним из эталонных. Если эталонный интеграл больше исследуемого и сходится, то сходится и исследуемый. Если же эталонный интеграл меньше исследуемого и расходится, то расходится и исследуемый.

∞

Необходимым условием сходимости интегралов вида ∫ f ( x)dx является

a

стремление к нулю функции f ( x) при x →∞. В противном случае интеграл расходится. Однако это условие не является достаточным для сходимости

интеграла. Например, lim 1		∞
	= 0 , тогда как интеграл	∫dx		расходится.
x→∞ x		1	x

Существует другой признак сравнения, в основе которого лежит сопоставление быстроты изменения функций в окрестности соответствующей точки (в том числе и бесконечно удаленной).

Признак сравнения 2

Пусть выполняется одно из условий – или функции f ( x) и g( x) являются неограниченными в окрестности точки b, или b = ∞.

	Если 0 < lim	f ( x)		< ∞, то интегралы
		g( x)
	x→b
	b			b
	∫ f ( x)dx и ∫g( x)dx
	a			a

сходятся или расходятся одновременно.

111

Признак сравнения остается в силе, если источником “несобственности” интеграла является точка a. Единственное, что нужно сделать в этом случае это заменить в формулировке точку b на точку a.

+∞

С геометрической точки зрения сходимость интеграла вида ∫ f ( x)dx

a

означает, что площадь области, заключенной между кривой y = f ( x) и осью абсцисс, конечна. При этом поведение функции y = f ( x) при не очень

больших значениях x является несущественным, а определяющее значение для сходимости интеграла имеет лишь быстрота приближения кривой к оси 0x при x →∞.

Рис. 1

С этих позиций Признак сравнения 2 выглядит вполне очевидным.

	Действительно, если lim	f ( x)		= λ , где λ – конечное число, то (начиная с
		g(x)
	x→b

некоторого достаточно большого значения x) выполняется приближенное равенство f ( x) ≈λ g( x) . Тогда и площади соответствующих областей

отличаются друг от друга в конечное число раз λ ; если одна из них конечна, то конечна и другая.

	Обсудим теперь случаи, когда lim				f ( x)		равен нулю или бесконечности.
					g(x)
				x→b
		f (x)					∞
	Если lim			= 0 , то из сходимости эталонного интеграла ∫g(x)dx следует
		g( x)
	x→b						a
							∞
	сходимость исследуемого интеграла						∫ f (x)dx . Заметим, что обратное

a

утверждение уже не справедливо – сходимость интеграла от f ( x) не влечет за собой никаких последствий относительно интеграла от g( x) .

112

		f ( x)			∞
	Если lim			= ∞, то из сходимости интеграла ∫g(x)dx не следует ничего.
		g(x)
	x→b				a
	Однако,	расходимость			интеграла от g( x) влечет	за собой	расходимость
	интеграла от f ( x) .
							b
	Аналогичным			образом	можно интерпретировать	интегралы	∫ f ( x)dx от
							a

функций, неограниченных в окрестности точки a (или b): интеграл

сходится,	если конечна площадь	области, заключенной между кривой
y = f ( x)	и осью ординат. При	этом единственно существенным для

сходимости интеграла является поведение функции y = f ( x) в достаточно малой окрестности точки разрыва, а именно быстрота приближения кривой к оси 0 y при x →a (или при x → b , если b является точкой разрыва).

Рис. 2

Таблица 1.

	Значение	Эталонные интегралы		Исследуемые интегралы
	предела
		b	∞	b	∞

λ =	lim		f ( x)		∫g( x)dx ,	∫g(x)dx	∫ f ( x)dx , ∫ f ( x)dx
			g(x)
x	→b				a	a	a	a
или x→∞
0 < λ < ∞					сходится			сходится
					расходится			расходится
	λ = 0				сходится			сходится
					расходится		вывод сделать нельзя
	λ = ∞				сходится		вывод сделать нельзя
					расходится			расходится

113

5.2.1.Эталонные интегралы

При

исследования

на

сходимость

несобственных

интегралов

вида

∞

∞

∫ f (x)dx важное значение имеют (в качестве эталонных) p-интегралы ∫dxp ,

a

a

x

для которых справедливо следующее утверждение:

∞ dx

сходится,

если

p >1

∫

p

p ≤1

(4)

a x

расходится, если

Для доказательства выполним непосредственное интегрирование.

Пусть p ≠1 . Тогда

∞

dx

x

− p +1

∞

сходится,

если

(−p

+1) < 0,

=

∫a x p

− p +1

(−p

+1) > 0 .

a

расходится, если

∞

= ln | ∞

Если p =1

, то

∫dx

|= ∞.

a

x

a

b

b

dx

dx

Аналогичную

роль играют

p-интегралы ∫

и

∫

при

(x −a)

p

(b − x)

p

a

a

исследования на сходимость интегралов от неограниченных функций (в окрестности точки a или точки b, соответственно).

В этом случае интегралы

b	dx		b	dx		сходятся, если	p <1,
∫			и ∫					(5)
	(x −a)	p		(b − x)	p		p ≥1.
a			a			расходятся, если

Докажем это утверждение непосредственным интегрированием. Рассмотрим, например, первый интеграл.

Пусть p ≠1 . Тогда

	b	dx	=	(x −a)	− p +1		b	сходится, если	(−p +1) > 0,
	∫a								(−p +1) < 0 .
		(x −a) p		− p +1			a	расходится, если
										1
	Если показатель		степени (−p +1) < 0 , то ( x −a)− p +1 =								и при
										( x −a) p −1

подстановке нижнего предела интегрирования в знаменателе возникает 0. Это и означает, что при p >1 интеграл расходится.

Интеграл также расходится при p =1 , поскольку

	b	dx
	∫		= ∞.
		x −a
	a

114