Для дифференциалов можно воспользоваться символической записью. Тогда в случае функции двух переменных:

∆f = f (x, y) − f (x0 , y0 ) ,

∆f = k∑n=1((x − x0 ) ∂∂x +( y − y0 ) ∂∂y )n f (x0 , y0 ) + Rn (x, y) .

Для функции трех переменных:

∆f = f (x, y, z) − f (x0 , y0 , z0 ) ,

∆f = k∑n=1((x − x0 ) ∂∂x +( y − y0 ) ∂∂y +(z − z0 ) ∂∂z )n f (x0 , y0 , z0 ) + Rn (x, y, z) .

Формула Тейлора принимает еще более громоздкий вид, если расписать дифференциалы.

Так, даже в случае функции двух переменных и с учетом лишь второго дифференциала мы имеем

∆f = fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + f y′( x0 , y0 , z0 )( y − y0 )
+	1 ( f ′′2		( x		0		, y		0		, z		0	)( x − x			0	)2 +2 f ′′( x	0	, y	0	, z	0	)( x − x	0	)( y − y	0	)
	2	x																xy
+ f		′′2 ( x	0	, y		0		, z		0		)( y − y			0	)2 ) +...
		y

2.11. Экстремумы функций двух переменных

Определения максимума, минимума и экстремума функции нескольких

переменных в точности такие же, что и в случае	функции одной
переменной.
Для примера приведем пару таких определений.
Функция f (P) имеет максимум в точке P0 , если	f (P) ≤ f (P0 ) для

всех P в некоторой окрестности точки P0 .

Каждая из точек, в которых функция достигает максимума или минимума,

называются точкой экстремума.

В общем виде проблема нахождения экстремумов некоторой дифференцируемой функции решается с помощью формулы Тейлора (30). Идея решения достаточно проста: точка P0 является точкой экстремума,

если и только если знак разности ∆f (P0 ) = f (P) − f (P0 ) сохраняется в

некоторой окрестности этой точки.

Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных.

Пусть функция z = f (x, y) определена и дифференцируема в окрестности точки P0 . В первом приближении

∆f (P0 ) ≈ df (P0 ) = fx′(P0 )dx + f y′(P0 )dy .

31

Если производные fx′(P0 ) и f y′(P0 ) – или хотя бы одна из них – отличны от нуля, то знак приращения ∆f (P0 ) будет зависеть от знаков приращения dx и dy .

Таким образом, в точках экстремума частные производные функции f (P) равны нулю (или не существуют). Это необходимое условие

экстремума.

Для нахождения критических точек нужно решить систему уравнений:

fx′(x, y) = 0	(32)
f y′(x, y) = 0

(Отметим, что касательная плоскость в критических точках проходит параллельно плоскости xOy ).

Поскольку в критической точке P0 первый дифференциал функции f (P)

обращается в нуль, то необходимо учесть следующий член в формуле Тейлора:

∆f (P0 ) ≈ d 2 f2!(P0 ) = 12 ( fx′′2 dx2 + 2 fxy′′dxdy + f y′′2 dy2 ) .

Сформулируем достаточные условия экстремума.

•Функция имеет минимум в критической точке, если второй дифференциал в этой точке положителен.

•Функция имеет максимум в критической точке, если второй дифференциал в этой точке отрицателен.

Существует простое правило, позволяющее установить знак второго дифференциала и, тем самым, установить - является ли критическая точка P0 точкой экстремума.

Правило: Пусть частные производные второго порядка f ′2′ ,

f ′′,

f ′′ и

f

′′2 ,

x

xy

yx

y

вычисленные в критической точке P0 , является элементами определителя:

f ′′2

(P )

f ′′(P )

D =

x

0

xy

0

(33)

f ′′

(P )

f ′′2

(P )

yx

0

y

0

Тогда:

f ′2′(P ) > 0

, то P

•

Если D > 0 и

является точкой минимума.

x

0

0

•

Если D > 0 и

f ′2′(P ) < 0

, то P

является точкой максимума.

x

0

0

имеет в P0 седловую точку.

•

Если D < 0 , то функция

f (x, y)

•

Если D = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

32