3.9. Таблица наиболее важных интегралов

∫xndx =

xn+1

+C

( n ≠ −1)

∫

dx

= ln | x −a | +C

x

−a

n +1

∫exdx = ex +C

∫axdx =

ax

+C

ln a

∫sin(ax + b)dx = − 1 cos(ax + b) +C

∫cos(ax + b)dx =

1 sin(ax + b) +C

a

a

∫

dx

= tgx +C

∫

dx

= −ctgx +C

2

x

2

x

cos

sin

arcsin

x

+C

1

arctg

x

+C

dx

dx

∫

=

a

∫

=

a

a

a

2

+ x

2

x

a2 − x2

x

+C

1

arcctg

+C

−arccos

−

a

a

a

∫

2dx

2 =ln(x +

x2 ± a2 ) +C

∫

dx

=

1

ln

x −a

+C

x

x

2

2

2a

x + a

± a

−a

∫tg x dx = −ln | cos x | +C

∫ctg xdx = ln | sin x | +C

∫

dx

= ln | tg

x

| +C

∫

dx

= ln | tg(

x

+ π ) |

+C

sin x

2

cos x

2

4

∫e

ax

sin bxdx =

a sin bx −bcosbx

e

ax

+C

a

2

+b

2

∫e

ax

cosbxdx =

a cosbx +bsin bx

e

ax

+C

a

2

+b

2

∫

dx

=

2n −

1

∫

dx

+

1

x

(x

2

+a

2

)

n +1

2a

2

(x

2

+a

2

)

n

2a

2

(x

2

+a

2

)

n

∫tgn xdx = tgnn−−11x − ∫tgn −2 x dx

∫ctgn x dx = −ctgn −n −11x −∫ctgn −2 x dx

90

3.10. Примеры неберущихся интегралов

Любой из нижеприведенных интегралов не может быть выражен через конечную комбинацию элементарных функций.

∫ex 2 dx ,

∫x2ex2 dx ,

∫x2nex2 dx (где n =1, 2, K),

∫e

x

e

x

x

dx

,

∫

dx ,

∫

e

dx (где n =1, 2, K),

x

2

n

x

x

∫sin x2dx ,

∫cos x2dx ,

∫x2 sin x2dx ,

∫x2 cos x2dx ,

…,

∫

sin x

dx ,

∫

cos x

dx ,

∫

sin x

dx ,

∫

cos x

dx , …,

2

2

x

x

x

x

∫

ex

dx ,

∫sin x dx ,

∫cos x dx , …,

dx

x

x

arctg x

x

ln x

∫

,

∫xxdx ,

∫

dx ,

∫

dx .

ln x

x +1

x

Некоторые из этих интегралов имеют свои названия и относятся к числу специальных функций, другие интегралы – выражаются через специальные функции.

По-существу, специальные функции мало чем отличаются от элементарных функций. Например, специальная функция erf ( x) , называемая интегралом вероятностей, представляет собой (с точностью до постоянного множителя)

первообразную элементарной функции e−x 2 , то есть,

d

erf (x) =

2

e−x2 .

dx

π

Интегральная

показательная

функция

E1(x) является первообразной

функции −

e−x

, т.е.,

d

E (x) = −

e−x

. Через эту функцию можно выразить, в

x

dx

x

1

частности, интеграл ∫

ex

dx .

a

2

2

+ x

Интегральный синус обозначается символом Si( x) и является первообразной функции sinx x , и т.д.

Подобным же образом можно было бы определить и обычные элементарные функции. Так, ln x представляет собой первообразную функции 1 x :

dxd ln x = 1x .

91