1.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

1.1.Формула Тейлора для многочлена

Рассмотрим многочлен целой степени n :

)2 +... +a

)n

P (x) = a

0

+a ( x − x

0

) +a

2

( x − x

0

n

( x − x

0

n

1

(1)

n

= ∑ak (x − x0 )k .

k =0

Покажем, что коэффициенты многочлена можно представить в виде

P

(k )

( x

0

)

( 0 ≤ k ≤ n ),

ak =

n

k!

где

P(k ) (x

0

)

–

производные

от

P (x)

в

точке

x

0

. (Напомним, что

n

n

P(0)

(x

0

) ≡ P (x

0

)

– по определению.)

n

n

Полагая в (1)

x = x0 , получаем a0 = Pn (x0 ) .

Найдем к-ую производную от Pn (x)

в точке x = x0 .

Во-первых, производная к-го порядка от (x − x )k

равна константе:

d k

0

k

(x − x0 )

=k! .

dxk

x − x0

Во-вторых, производные к-го порядка от слагаемых,

содержащих

в

меньших степенях, равны нулю.

x − x0

В третьих, производные к-го порядка от слагаемых,

содержащих

в

больших степенях, содержат множитель

x − x0

и поэтому обращаются в

нуль в точке x = x0 .

Следовательно,

P(k ) (x

0

) = (a

k

(x − x

0

)k )(k ) = a

k

k!

и, таким образом,

n

P (x) = P ( x

0

) + Pn′( x0 )

( x − x

0

) +... +

Pn(n) (x0 )

(x − x

0

)n

n

n

1!

n!

n

P(k ) ( x

0

)

k

= ∑

n

(x − x0 )

,

k!

k =0

Формула (2) называется формулой Тейлора для многочлена.

В частном случае, когда x0 = 0 , формула (2) принимает вид

	Pn′(0) x +... +	(n)		(0)	n	(k )		(0)
Pn ( x) = Pn (0) +		Pn			xn = ∑	Pn			xk .
			n!
	1!				k =0		k!

и называется формулой Маклорена для многочлена.

(2)

(3)

С помощью формулы (2) любой многочлен можно преобразовать от одного вида к другому. В качестве примера рассмотрим многочлен

P( x) =1 +8( x − 2) + 6( x − 2)2 + (x − 2)3

(4)

и представим его в виде разложения по степеням x .

6

Согласно формуле Маклорена,

′

′′

2

P

′′′

3

P (0)

(0)

P( x) = P(0) + P (0) x +

x

+

x

.

Очевидно, что

2

6

P(x) =1 +8(x −2) +6(x −2)2 +(x −2)3

P(0) =1 .

′

−

2) + 3(x − 2)

2

′

= −4 .

P ( x) = 8 +12(x

P (0)

′′

′′

= 0 .

P ( x) =12 +6( x − 2)

P (0)

′′′

′′′

= 6 .

P ( x) = 6

P (0)

Таким образом,

P(x) =1 −4x + x3 .

Чтобы проверить полученный результат, нужно раскрыть скобки в (4) и привести подобные члены.

1.2. Формула Тейлора для дифференцируемых функций

Теорема. Если функция

f ( x) имеет в

точке x0 производные до n -го

порядка включительно, то ее можно представить в виде

f ( x) = f (x

0

) +

f ′( x0 )

( x − x

0

) +... +

f (n) (x0 )

(x

− x

0

)n + R (x)

1!

n!

n

(5)

n

(k )

(x0 )

= ∑

f

( x − x0 )k + Rn (x),

k =0

k!

где функция Rn (x)			и ее производные до n-го порядка обращаются в нуль в
точке x = x0 :
			Rn (x0 ) = Rn′(x0 ) = Rn′′(x0 ) =... = Rn(n) (x0 ) = 0 .								(6)
Доказательство.
Подставим в равенство (5) x = x0 :
f (x0 ) = f (x0 ) + Rn (x0 )								Rn (x0 ) = 0 .
Продифференцируем обе части равенства (5) и положим x = x0 :
f ′(x0 ) = f ′(x0 ) + Rn′(x0 )								Rn′(x0 ) = 0 .
Вычисляя производные высшего порядка и полагая x = x0 , получаем
f (k ) (x	0	) = f (k ) (x		0	) + R(k ) (x	0	)	R(k ) (x	0	) = 0
					n			n

для всех 0 ≤ k ≤ n , что и требовалось доказать.

Формула (5) называется формулой Тейлора с остаточным членом Rn (x) , а

ее частный случай, когда x0 = 0 , называют формулой Маклорена,

	f ′(0)		f	(n)	(0)	n		(k )	(0)
f ( x) = f (x0 ) +		x +... +				xn + Rn ( x) = ∑	f			xk + Rn ( x) .	(7)
	1!			n!
						k =0		k!

Формулу Тейлора можно также представить в терминах дифференциалов, учитывая следующие соображения.

7

Если разность x − x0 = ∆x рассматривать	как приращение аргумента, то
f (x) − f (x0 ) = ∆f (x) представляет собой	соответствующее приращение
функции.

Дифференциал аргумента, по определению, равен приращению аргумента, dx = ∆x ; dxk ≡ (dx)k = (x − x0 )k .

Дифференциал функции f ( x) в точке x = x0 равен

df (x0 ) = f ′(x0 )dx = f ′(x0 )(x − x0 ) .

Дифференциал k-го порядка функции f ( x) в точке x = x0 равен d k f (x0 ) = f (k ) (x0 )dxk = f (k ) (x0 )(x − x0 )k .

Таким образом, формула Тейлора в терминах дифференциалов имеет следующий вид:

∆f (x) = df (x	0	) +	d 2 f ( x	0	)	+	d 3 f ( x	0	)	+... +	d n f (x	0	)	+ R ( x) .	(8)
			2!				3!				n!			n

Формула Тейлора имеет многочисленные применения. Чаще всего она используется для аппроксимации функции f (x) многочленом:

f (x) f (x0 ) + f ′(x0 ) ( x − x0 ) +... + f (n) (x0 ) ( x − x0 )n . 1! n!

При этом остаточный член Rn (x) рассматривается как погрешность

аппроксимации и отбрасывается.

Для обоснования подобного подхода можно привести следующие

доводы.

Если f (x)

является непрерывной функцией в окрестности точки

x0 , то этим же свойством обладает и остаточный член

Rn (x) .

Поскольку

Rn (x) и его производная равны

нулю

в точке x0 ,

то и в

некоторой

окрестности этой точки Rn (x) остается достаточно малым.

что Rn (x)

Можно сделать даже более сильное утверждение и показать,

является

бесконечно малой более высокого порядка

по сравнению с

(x − x )n

при x → x

0

, т.е.

0

Rn (x)

lim

= 0 .

(9)

(x

− x0 )n

x→x0

С этой целью вычислим предел (9), применяя правило Лопиталя:

lim

Rn (x)

= lim

Rn′( x)

.

( x − x0 )n

n(x − x0 )n−1

x→x0

x→x0

Согласно равенству (6), выражение под знаком предела представляет собой неопределенность вида 00 , которую можно раскрыть повторным применением правила Лопиталя.

8

Следуя подобной процедуре, получаем цепочку равенств, приводящих к ожидаемому результату:

	lim	Rn (x)	=	lim	Rn′( x)	= ... = lim	Rn(n) ( x)	= 0 .
		( x − x0 )n			n(x − x0 )n−1		n!
	x→x0			x→x0		x→x0

1.3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Для контроля погрешности вычислений полезно иметь представления остаточного члена в различных формах, наиболее употребительная из которых - форма Лагранжа,

R (x) =

f (n+1) (c)

( x − x

0

)n+1 ,

(10)

n

(n +1)!

где c - некоторая точка, расположенная между x и x0 .

Если

x − x

<1 и

f (n+1) (x) ≤ M , то

0

Rn ( x)

=

f (n+1)

(c)

( x − x0 )n

+1

≤

M

(x − x

0

)n+1

→ 0

(n +1)!

(n +1)!

при n →∞.

Чем меньше величина (x − x0 ) , тем быстрее (x − x0 )n+1

убывает с ростом n.

Это означает, что многочлен

f (n) (x0 )

P (x) = f ( x

0

) +

f ′( x0 )

( x − x

0

) +... +

( x − x

0

)n

n

1!

n!

f (x) ,

тем лучше аппроксимирует функцию

чем меньше

(x − x0 ) и чем

больше n.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет следующий вид:

n		(k )	(x0 )		f	(n+1)	(c)
f ( x) = ∑	f			( x − x0 )k +				( x − x0 )n+1 .	(11)
		k!			(n +1)!
k =0

Частным случаем этой формулы при n = 0 является теорема Лагранжа:

	f (x) =					′
			f (x0 ) + f (c)(x − x0 ) .
Пример. Пусть	f ( x) = x	и x0 = 4 . Тогда
f (x0 ) = 2 , f ′(x0 ) =		1	=		1	, f ′′( x0 ) = − 1		= −	1 .
		2 x	x=x0		4	4 x3	x=x0		32
Следовательно,	f ( x) ≈ 2 +	1 ( x −4) −			1	( x −4)2 .
				64
		4

В частности, 5 ≈ 2 +1 4 −1 64 =143 64 = 2.234....

9