3.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Первообразные

Понятие неопределенного интеграла тесно связано с понятием первообразной, нахождение которой представляет собой операцию обратную дифференцированию. Это означает, что по известному результату дифференцирования нужно восстановить исходную функцию, т.е. исходные

данные и ответ меняются ролями.

Функция F (x)

называется первообразной функции f ( x) в области D, если

′

(1)

F (x)= f (x)

для всех x D .

Первообразная это функция,

производная от которой равна данной функции.

Пример 1. Функция

f ( x) является первообразной для f

′

(x) .

2x

Пример 2. Функция ln(1 + x2 ) является первообразной функции

, т.к.

1

+ x2

1

2x

(ln(1 + x

2

′

+ x

2

′

для всех x D .

))

=

(1

)

=

1 + x2

1 + x2

Если к первообразной F (x)

функции f ( x)

прибавить произвольную

константу С,

то

полученная

функция

F ( x) +C

также

является

первообразной, поскольку (F (x)+C)′= f (x). Справедливо и более сильное утверждение.

	Если F1(x) и F2 (x) – первообразные функции для f , то они отличаются
	друг от друга не более чем на постоянное слагаемое:
		F1(x) = F2 (x) +C .
	′	′
Действительно, если F1(x) = F2 (x) = f (x) , то
	(F1−F2 )′ = F1′− F2′ = 0		для всех x D .

Следовательно, разность F1−F2 равна константе.

Таким образом, если известна одна первообразная F (x) функции f , то известны все ее первообразные, совокупность которых может быть

представлена в виде	F ( x) +C , где C - произвольная константа.
Пример 3. Обе	функции,	F = (x +1)2 и		F = x2	+ 2x −4	, являются
		1		2
первообразными функции f (x) = 2( x +1) , поскольку
F1′= 2(x +1)		и	F2′ = 2x +2 = 2(x +1) .
Легко проверить, что разность F1−F2			равна константе 5.

33

3.2. Понятие неопределенного интеграла

Совокупность всех первообразных F (x)		функции f ( x) называется ее
неопределенным интегралом.		f ( x) обозначается символом
Неопределенный интеграл от функции
∫ f (x)dx , который читается так: "Интеграл от		f ( x) по переменной x ".
	∫ f (x)dx = F(x) +C ,
	если
	′
	F (x)= f (x).
Сопутствующие	термины:
f ( x) – подынтегральная функция;
f ( x)dx – подынтегральное выражение;
x – переменная интегрирования;
C – постоянная интегрирования.

3.3.Свойства интегралов

1.Дифференцирование – операция, обратная интегрированию:

dxd ∫ f (x)dx = (∫ f (x)dx)′= f (x) .

Это свойство непосредственно следует из определения интеграла. Если его представить в виде

d ∫ f (x)dx = f (x)dx ,

то можно заметить, что рядом стоящие символы d и ∫ как бы взаимно уничтожают друг друга.

2.Интегрирование “компенсирует“ дифференцирование:

∫ f ′( x)dx = ∫dfdx( x) dx = ∫df ( x) = f (x) +C .

Это свойство формально выражает вполне тривиальный результат: f ( x) является первообразной функции f ′(x) . Обратите внимание на то, что

символы ∫ и d вновь следуют друг за другом, но в противоположном

порядке; в этом случае их также можно совместно опустить, прибавив к оставшемуся результату постоянную интегрирования.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫cf (x)dx = c∫ f (x)dx .

Это свойство вытекает из аналогичного свойства производных. Для его доказательства достаточно показать, что функции, стоящие в левой и

34

правой частях равенства, являются первообразными одной и той же функции:

(∫cf (x)dx)′= cf (x) ,

(c∫ f (x)dx)′ = c(∫ f (x)dx)′ = cf (x) .

4.Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx .

Доказательство этого свойства строится совершенно аналогично предыдущему и опирается на правило дифференцирования суммы:

(∫( f (x) ± g(x))dx)′= f (x) ± g(x) ,

(∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx)′= (∫ f (x)dx)′±(∫g(x)dx)′= f (x) ± g(x)

5. Пусть ∫ f (x)dx = F(x)+C . Тогда для любой дифференцируемой функции u = u(x) ,

∫ f (u)du = F (u)+C .

Это свойство основывается на инвариантности формы первого дифференциала, который сохраняет свою форму при замене аргумента x на сложную функцию u =u(x) :

′		′
dF (x) = F (x)dx		dF (u) = F (u)du .
Примеры.

•dxd ∫sin3 3xdx = sin3 3x

•	d	∫ln x2 +1dx = ln x2 +1
	dx

•∫cosdx2 x = ∫(tgx)′dx = tgx +C

•∫3x2dx = ∫(x3 )′dx = x3 +C

	2				1
•	∫(				−3)dx = 2∫				dx −3∫dx
			cos2 x				cos2 x
						= 2tg x −3x +C
•	∫ln4 x dx = ∫ln4 x d (ln x) = ln5 x									+C
			x		5
•	∫	cos x		dx = ∫		d (sin x)		= ln | sin x | +C
		sin x				sin x

| Свойство 1 |

| Свойство 1 |

| Свойство 2 |

| Свойство 2 |

| Свойства 3 и 4 |

| Свойство 5 |

| Свойство 5 |

35

3.4. Таблица интегралов
Для составления таблицы интегралов возьмем за основу таблицу
производных. Начнем со степенной функции: (xk )′ = kxk −1 .
Заменим в этой формуле k на (n +1) :
(x	n+1	′	n	.
		) = (n +1)x

Предположим, что n ≠ −1

и разделим обе части равенства на (n +1) ; затем

внесем постоянный множитель под знак производной:

n

1

n +1

′

x

n

= (

xn+1 ′

x

=

(x

)

) .

n +1

n +1

xn+1

Производная от функции

xn +1

равна x

n

. Следовательно,

является

n +1

n +1

первообразной для функции xn :

xn +1

∫xndx =

+C ,

n ≠ −1.

n +1

Аналогичным образом можно преобразовать оставшуюся часть таблицы производных в таблицу интегралов.

Таблица 1. Основные интегралы

№

Производные

Интегралы

Ограничения

1

xn =

(

xn +1

)′

∫xndx =

xn +1

+C

n ≠ −1

n +1

n +1

2

1 = (ln x)′

∫dx = ln | x | +C

x ≠ 0

x

x

3

ax = (

ax

)′

∫axdx =

ax

+C

a > 0 , a ≠1

ln a

ln a

ex = (ex )′

∫exdx = ex +C

4

sin x = (−cos x)′

∫sin xdx = −cos x +C

5

cos x = (sin x)′

∫cos xdx = sin x +C

6

1

= (tgx)′

∫

dx

= tgx +C

x ≠

π +πn

2

x

2

x

cos

cos

2

7

1

′

dx

= (−ctgx)

∫sin2 x

= −ctgx +C

x

≠π

sin2 x

n

8

1

(arcsin x)′

∫

dx

arcsin x +C

| x |≤1

2 =

′

2 =

1 − x

(−arccos x)

1 − x

−arccos x +C

9

1

(arctgx)′

∫

dx

arctgx +C

=

=

1 + x

2

1

+ x

2

+C

(−arcctgx)′

−arcctgx

36

Комментарии к # 2:

			′	1
	Если x > 0 , то ln | x |= ln x и (ln | x |) = x .						1		1
	Если x < 0 , то ln | x |= ln(−x) и		(ln | x |)	′	′
						= − x (−1) = x .
				= (ln(−x))
	Таким образом, ln | x | является первообразной функции 1								при любых
							x
	Комментарии к # 1-9: Если a и b – константы, то d (ax +b) = a dx .
	Следовательно,					1 F (ax +b) +C .
	∫ f (x)dx = F ( x) +C		∫ f (ax +b)dx =
	В частности,					a
	∫(x +b)n dx = (x +b)n +1				+C ,
				n +1

∫xdx+b = ln | x +b | +C ,

∫sin(ax +b) dx = − a1 cos(ax +b) +C .

x≠ 0 .

(2)

(3)

(4)

(5)

Следствие из	# 8. Обе	функции,	arcsin x и (−arccos x) , являются
		1
первообразными	функции	1 − x2 .	Следовательно, их разность равна
константе:	arcsin x −(−arccos x) = arcsin x +arccos x = C .
Для определения константы		C выберем x = 0 :
	C = arcsin 0 + arccos 0 = 0 +π 2 =π 2 .

Таким образом,

arcsin x + arccos x = π2 .

Следствие из # 9: Аналогичным образом можно показать, что arctg x + arcctg x = π2 .

Советы.

–Свойства интегралов и таблицу интегралов нужно выучить наизусть. Многократное использование формул приводит к автоматическому их запоминанию, а знание формул вырабатывает способность их понимания.

–Следует иметь в виду, что результат интегрирования одной и той же функции может быть представлен в различных формах. С помощью элементарных преобразований от одной формы записи легко перейти к другой.

37