- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
- •1.1. Формула Тейлора для многочлена
- •1.2. Формула Тейлора для дифференцируемых функций
- •1.3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •1.4. Приложения формулы Тейлора
- •1.5. Примеры применения формулы Тейлора
- •1.6. Формулы приближенных вычислений
- •2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Пределы
- •2.3. Непрерывность
- •2.4. Частные производные
- •2.5. Полные дифференциалы
- •2.6. Дифференциалы высших порядков
- •2.7. Дифференцирование сложных функций
- •2.8. Дифференцирование неявных функций
- •2.9. Геометрическая интерпретация частных производных
- •2.11. Экстремумы функций двух переменных
- •3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •3.1. Первообразные
- •3.2. Понятие неопределенного интеграла
- •3.3. Свойства интегралов
- •3.4. Таблица интегралов
- •3.5. Методы интегрирования
- •3.5.1. Метод замены переменной
- •3.5.1.1. Занимательные и поучительные упражнения
- •3.5.1.2. Обобщение таблицы интегралов
- •3.5.1.3. Примеры применения метода
- •3.5.2. Некоторые важные интегралы
- •3.5.3. Интегрирование по частям
- •3.5.3.1. Занимательные упражнения
- •3.5.3.2. Примеры применения метода
- •3.5.3.3. Циклические интегралы
- •Расширенная таблица интегралов
- •3.6. Интегрирование рациональных функций
- •3.6.1. Основные понятия
- •3.6.3. Разложение на простые дроби
- •3.6.3.1. Основная идея метода
- •3.6.3.2. Правила разложения на простые дроби
- •3.6.3.3. Разложение многочлена на множители
- •3.6.3.4. Деление многочлена на многочлен
- •3.6.4. Примеры и упражнения
- •3.7. Интегрирование тригонометрических выражений
- •3.7.5. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •3.7.6. Другие тригонометрические подстановки
- •3.8. Интегрирование выражений, содержащих радикалы
- •3.8.2.1. Тригонометрические подстановки
- •3.8.2.2. Гиперболические подстановки
- •3.9. Таблица наиболее важных интегралов
- •3.10. Примеры неберущихся интегралов
- •4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •4.1. Определение
- •4.2. Геометрическая интерпретация
- •4.3. Физическая интерпретация
- •4.4. Свойства интегралов
- •4.5. Основные теоремы
- •Методы интегрирования
- •4.6.1. Интегрирование заменой переменной
- •4.6.2. Интегрирование по частям
- •4.7. Задачи и упражнения
- •4.8. Геометрические приложения определенных интегралов
- •4.8.1. Вычисление площади плоской области
- •4.8.2. Вычисление длины дуги кривой
- •4.8.3. Вычисление объемов тел
- •4.8.4. Задачи и упражнения
- •5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Признаки сходимости
- •5.3. Примеры исследования интегралов на сходимость
- •5.4. Задачи и упражнения
- •Приложение 1. Гиперболические функции
- •Приложение 2. Полярная система координат
- •Литература
3.6. |
Расширенная таблица интегралов |
||||||||||||||||||||||||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
∫un (x)u′(x)dx = un +1(x) |
+C |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx |
|
= ln | x −a | +C |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
∫u′u((xx)dx) = ln | u( x) | +C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
∫au( x)u′(x)dx = au( x) |
+C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫eu( x)u′(x)dx = eu( x) +C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin u(x) u (x)dx = −cosu(x) +C |
|||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫cosu(x) u (x)dx =sin u(x) +C |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
|
|
|
|
|
∫cos2 u(x) = tg u(x) +C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8 |
|
|
|
|
|
∫sin2 u(x) = −ctg u(x) +C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+C |
|
|
|
|
||
9 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
arcsin a |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a2 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−arccos |
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
=ln(x + |
x2 ±a2 ) +C |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 ±a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
+C |
|
|
|
|
|||||||
11 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
= |
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+a |
2 |
a |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg |
+C |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
a |
|
a |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
|
|
|
∫ |
x |
2 dx |
2 |
|
= |
|
1 |
ln | x −a | +C |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
2a |
|
|
|
x +a |
|
|
|
|
|
|||||||||
13 |
∫e |
ax |
cosbxdx = |
|
a cosbx +bsin bx |
e |
ax |
+C |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
+b |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14 |
∫e |
ax |
sin bxdx = |
a sin bx −bcosbx |
e |
ax |
+C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
2 |
+b |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56