Отметим, что можно доказать и более сильное утверждение: равенство (13) является не только необходимым, но и достаточным условием того, что выражение A( x, y)dx + B(x, y)dy представляет собой полный дифференциал некоторой функции.

2.6.	Дифференциалы высших порядков
Пусть x и y – независимые переменные. Введем следующие
обозначения:	dy2 = (dy)2 , … , dxn = (dx)n , dyn = (dy)n .
dx2 = (dx)2 ,

Вторым дифференциалом функции называется дифференциал первого дифференциала; третьим дифференциалом – дифференциал второго

дифференциала, и т.д.:

d 2u = d (du) , d 3u = d (d 2u) , …, d nu = d (d n−1u) .

Если u = f (x, y) , то

d 2u = d (∂∂ux dx + ∂∂uy dy) = d (∂∂ux dx) + d (∂∂uy dy)

=

(

∂2u

dx

2

+

∂2u

dydx) +(

∂2u

dxdy +

∂2u

dy

2

)

(14)

∂x

2

∂y∂x

∂x∂y

∂y2

=

∂2u dx2

+ 2

∂2u

dxdy +

∂2u dy2

∂x∂y

∂x2

∂y2

(При выводе этой формулы было использовано равенство смешанных производных).

Равенство (14) имеет ту же структуру, что и формула для квадрата суммы. Это не случайно – формула для третьего дифференциала по структуре совпадает с формулой для куба суммы и т.д. Существует простой – чисто формальный – способ получения n-го дифференциала функции, идею которого мы продемонстрируем на примере функции двух переменных.

Преобразуем формулу (14), выполнив формальные действия:

d

2

u = (dx)

2 ∂2u

+

2dxdy

∂2u

+(dy)

2 ∂2u

∂x2

∂x∂y

∂y2

= ((dx)2

∂2

+ 2dxdy

∂2

+(dy)2

∂2

)u

∂x2

∂x∂y

∂y2

= (dx

∂

+ dy

∂

)2 u

∂x

∂y

Сами по себе выражения

∂

и

∂

лишены смысла – как, например, sin без

∂x

∂x

аргумента. Они представляют собой некие операторы, то есть команды. Как

25

	только справа от	∂	окажется функция			u, то оператор			∂	превратит ее в
		∂x							∂x
	производную ∂u .
	∂x
	Аналогично выглядит n-ый дифференциал функции:
			d nu = (dx	∂	+ dy		∂	)n u .		(15)
				∂x			∂y

Чтобы перейти от символической записи (15) к стандартной, нужно:

•сначала возвести выражение в скобках в n-ую степень;

•затем раскрыть скобки и вернуть символ u на положенное место – справа от операторов;

•все показатели степени интерпретировать как порядки производных и дифференциалов.

Пример. Найти третий дифференциал функции двух переменных.

Решение.

Первый шаг:

d 3u = (dx ∂∂x + dy ∂∂y )3 u .

Второй шаг:

d 3u = (dx3 ∂∂x33 +3dx2 dy ∂x∂23∂y +3dx dy2 ∂x∂∂3y2 + dy3 ∂∂y33 )u .

Заключительный этап:

3

∂3u

3

∂3u

2

∂3u

2

∂3u

3

d u =

∂x3 dx

+3

dx

dy +3

dx dy

+

∂y3 dy

.

∂x2∂y

∂x∂y2

2.7.Дифференцирование сложных функций

Пусть u = f (x1, x2 ,..., xn ) – дифференцируемая функция, аргументы которой в свою очередь являются дифференцируемыми функциями переменной t :

x1 = x1(t) ,	x2 = x2 (t) ,					…,		xn = xn (t) .
Тогда полная производная функции u вычисляется по формуле
	du		n	∂u dx
		= ∑				k
	dt				dt .				(16)
				∂x
			k =1	k
Если функция u имеет вид u = f (x1, x2 ,..., xn ,t) ,								т.е. явным образом зависит
от переменной t , то	du		∂u	n		∂u dx
	dt	=	∂t	+ ∑				k .	(17)
				k =1		∂xk dt
26

Пример 1. Пусть u = f (x, y,t) , где x = x(t)

и

y = y(t) .

Тогда

du

∂u

∂u dx +

∂u dy .

=

+

(18)

dt

∂t

∂x dt

∂y dt

Пример 2. Найти

du

,

если

u = e5x y3 ,

где

x = sint и

y = t2 .

Решение.

dt

du

= 5e5x cos t y3 + e5x 3y2 2t = 5e5sin t cos t t6 +6e5sin t t5 .

dt

Пусть теперь аргументы

дифференцируемой

функции

u = f (x1, x2 ,..., xn )

являются дифференцируемыми функциями двух переменных p и t :

x1 = x1( p,t) ,

x2 = x2 ( p,t) ,

…,

xn = xn ( p,t) .

Тогда частные производные функции u вычисляется по формулам

∂u

n

∂u ∂x

=

∂u ∂x

+

∂u ∂x

+... +

∂u ∂x

∂p

= ∑

∂x

∂p

∂x ∂p

∂x

∂p

∂x

∂p ,

k

1

2

n

k =1

k

1

2

n

∂u

n

∂u ∂x

=

∂u ∂x

+

∂u ∂x

+... +

∂u ∂x

∂t

= ∑

∂x

∂t

∂x ∂t

∂x

∂t

∂x

∂t .

k

1

2

n

k =1

k

1

2

n

2.8.Дифференцирование неявных функций

1)Пусть функция y = y( x) задана в неявном виде:

F (x, y) = 0 .

(19)

Вычислим полный дифференциал от обеих частей этого равенства:

dF ≡

∂F

dx +

∂F

dy = 0

∂F

+

∂F

dy

= 0

∂x

∂x

∂y

∂y dx

Выразим производную

функции

y

по

переменной

x через частные

производные функции F ( x, y) :

Fx′

dy

= −

.

(20)

dx

Fy′

2) Пусть функция z = z( x, y) двух переменных задана в неявном виде:

F ( x, y, z) = 0 .

Очевидно, что dF = 0. Учитывая определение дифференциала, мы получаем

∂F	dx +	∂F	dy +	∂F	dz = 0 .	(21)
∂x		∂y		∂z

27

Пример. Найти частные

Чтобы найти, например, частную производную ∂∂xz , нужно разделить обе

части этого равенства на dx и фиксировать переменную y ; при этом dy = 0

и dxdz ∂∂xz :

∂F

+

∂F ∂z

= 0

Следовательно,

∂x

∂z ∂x

∂z

= − Fx′

(22a)

∂x

Fz′

Аналогично вычисляются и другие частные производные:

∂z

= −

Fy′

∂y

F′

∂y

F′

, и т.д.

,

= −

x

,

= −

z

(22b)

∂y

Fz′

∂x

Fy′

∂z

Fy′

производные ∂∂xz и ∂∂yz , если

xy2 z3 + z ln x − y z = 0. Решение. Здесь F(x, y, z) = xy2 z3 + z ln x − y z . Тогда

Fx′ = y2 z3 + z x , Fy′ = 2xyz3 −1z ,

Fz′ = 3xy2 z2 +ln x (2 z ) + y z2 .

Теперь воспользуемся формулами (22):

	∂z	= − Fx′		= −	y2 z3 + z x		,
	∂x				3xy2 z2 + ln x (2	z ) + y z2
			Fz′
	∂z	= −	Fy′	= −	2xyz3 −1 z			.
	∂y		Fz′		3xy2 z2 + ln x (2	z ) + y z2

2.9. Геометрическая интерпретация частных производных

Пусть задана функция двух переменных:
z = f (x, y) .	(23)

Будем интерпретировать это уравнение как уравнение поверхности и перепишем его в неявном виде:

F ( x, y, z) = 0 ,

(24)

где

F ( x, y, z) = f (x, y) − z .

28

Предположим, что поверхность достаточно гладкая в окрестности точки P0 (x0 , y0 , z0 ) , так что в этой точке существуют частные производные

функции F ( x, y, z) .

Касательные линии в точке P0 поверхности образуют касательную плоскость, уравнение которой можно представить в виде

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 ,

(25)

где A, B,C - координаты нормального вектора к поверхности в точке P0 . Касательную плоскость можно рассматривать как предельное

положение секущей плоскости, проходящей						через точки		P( x, y, z) и
P0 (x0 , y0 , z0 ) при P → P0 , т.е. при
∆x = x − x0 → 0 ,			∆y = y − y0 →0 ,			∆z = z − z0 → 0.
Соответственно, вектор			→			стремится		к вектору
			∆ r ={∆x,∆y,∆z}
→
d r ={dx,dy,dz} , параллельному касательной плоскости.
Функция F удовлетворяет уравнению (24). Тогда ее дифференциал в
любой точке поверхности (а значит и в точке P0 (x0 , y0 , z0 ) ) равен нулю:
	∂F(x0 , y0, z0 )	dx +	∂F(x0 , y0, z0 )	dy +	∂F(x0 , y0, z0 )		dz = 0.	(26)
	∂x		∂y			∂z

Выражение в левой части можно рассматривать как скалярное произведение

→			→
векторов N ={Fx′(P0 ), Fy′(P0 ), Fz′(P0 )}		и d r ={dx,dy,dz} :
	→ →
	N dr = 0 .			→	→	→	→
Это уравнение выражает ортогональность векторов N и d r :						N	d r .
→	представляет собой предельное положение вектора
Поскольку вектор d r
→
∆ r , проведенного из точки P0		в	точку	P ,	а точка		P является
произвольной точкой	поверхности,	то	вектор	→	является		произвольно
				d r

ориентированным вектором касательной плоскости.

→

Следовательно, вектор N перпендикулярен касательной плоскости в точке P0 . Это означает, что частные производные функции F в точке P0 являются

координатами нормального вектора к поверхности в этой точке:

A =	∂F(x0 , y0, z0 )	,	B =	∂F(x0 , y0, z0 )	,	C =	∂F(x0 , y0, z0 )	.
				∂y
	∂x						∂z
Таким образом, уравнение касательной						плоскости	к поверхности
F ( x, y, z) = 0 в точке P0			имеет следующий вид:
							29

Fx′(P0 )( x − x0 ) + Fy′(P0 )( y − y0 ) + Fz′(P0 )(z − z0 ) = 0 .								(27)
Каноническое уравнение		прямой,			проходящей через			точку P0
				→
параллельно направляющему вектору q , описывается уравнением
	x − x0		=	y − y0	=	z − z0	.
				qy
	qx					qz

→

Нормаль N к поверхности одновременно является направляющим вектором

→

q прямой, проходящей через точку P0				перпендикулярно к				поверхности
F ( x, y, z) = 0 . Следовательно, уравнение такой прямой имеет вид
	x − x0		y − y0			z − z0
		=			=		.	(28)
	Fx′( x0 , y0 , z0 )		Fy′(x0 , y0 , z0 )			Fz′(x0 , y0 , z0 )
Если поверхность задана в явном виде,				например, уравнением z = f (x, y) ,
то
	F (x, y, z) = z − f ( x, y)
и, следовательно,
	Fx′ = fx′,		Fy′ = f y′		и	Fz′ = −1.		(29)

Пример. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности

параболоида вращения z = x2 + y2	в точке P (-4,3,25) .
	0
Решение. Найдем частные производные функция
F(x, y, z) = x2 + y2 − z
в заданной точке:
Fx′(P) = 2x	Fx′(P0 ) = −8 ,
Fy′(P) = 2 y	Fy′(P0 ) = 6 ,
Fz′(P) = −1	Fx′(P0 ) = −1,

Теперь нужно просто подставить найденные значения в уравнение касательной плоскости (27):

−8( x + 4) + 6( y −3) −(z − 25) = 0
8x −6 y + z + 25 = 0 .

2.10. Формула Тейлора для функций нескольких переменных

Формула Тейлора, записанная в терминах дифференциалов, не меняет свой вид при переходе от функции одной переменной к функции нескольких переменных (см. стр. 8, раздел 2.1, формула (8)):

f (P) − f (P0 ) = df (P0 ) + d 2 f (P0 ) + d 3 f (P0 ) +... + d n f (P0 ) + Rn (P) . (30) 2! 3! n!

30