4.5 Расчет параметров состояния очереди

Модели очередей помогают менеджерам принять решения, которые балансируют требуемые затраты на сервис с затратами на ожидание в очереди. Ниже при­водятся некоторые из множества измерителей состояний очереди.

1. Среднее время, которое тратит каждый клиент в очереди.

2. Средняя длина очереди.

3. Среднее время нахождения клиента в системе (время ожи­дания плюс время обслуживания).

4. Среднее число клиентов в системе.

5. Вероятность того, что узел обслуживания будет свободен.

6. Коэффициент использования системы.

7. Вероятность определенного числа клиентов в системе.

4.6 Разнообразие моделей очередей

Широкое разнообразие моделей может использоваться в опе­раци-онном менеджменте. Однако прежде чем углубляться в дета­ли, мы пред-ставим четыре наиболее широко используемые моде­ли. Они описаны в табл. 4.2. Заметим, что все четыре модели очередей (см. табл. 4.2) – простая система, многоканальная, постоянное время обслуживания и ограниченный размер источ­ника – имеют три общих характеристики. Они все предполагают:

1. прибытия распределяются по закону Пуассона;

2. FIFO-дисциплина;

3. однофазное обслуживание.

Таблица 4.2 - Модели очередей

Мо де ли	Наимено-вание модели	Пример	Число кана лов	Число фаз	Распре- деление прибы- тий	Распре- деление времени обслу-живания	Раз-мер источника	Дисци-плина оче- реди
А	Простая (М/М/1)	Окно касси-ра в банке	Однока- нальная	Одна	Пуас-сона	Экспо- ненци- альное	Не ог рани-чен	FIFO
В	Многока-нальная (М/М/S)	Окна прода-жи авиаби - летов	Много-каналь- ная	Одна	Пуас-сона	Экспо- ненци- альное	Не ог рани-чен	FIFO
С	С постоян ным вре-менем об- служива-ния (М/D /1)	Автомати-ческая мой- ка машин	Однока- нальная	Одна	Пуас-сона	Посто- янное	Не ог рани-чен	FIFO
D	С ограни- ченным размером источ-ника	Цех с 10 ма- шинами, ко- торые могут ломаться	Однока- нальная	Одна	Пуас-сона	Экспо- ненци- альное	Огра-ничен	FIFO

В дополнение к этому они описывают системы сервиса, кото­рые оперируют в стабильных условиях. Это означает, что прибы­тие и обслуживание остаются стабильными во время анализа.

Мы рассмотрим наиболее общий случай теории очередей это одноканальная, или односервисная, очередь обслу­живания (Модель А).

Модель А - Одноканальная модель очередей с пуассоновым распределением прибытий и экспоненциальным временем обслуживания. В этом случае прибытия формируют простую очередь на обслуживание к одной станции. Мы допускаем, что последующие условия относятся к этому типу систем.

1. Прибытия обслуживаются по правилу «первый пришел – первый ушел» (FIFO) и каждое прибытие ожидает обслуживания в зависимости от длины очереди.

2. Прибытия являются независимыми от предыдущих прибы­тий, но среднее число прибытий не изменяется во времени.

3. Прибытия описываются пуассоновым распределением ве­роятности и поступают из неограниченного (или очень-очень большого источника).

4. Время обслуживания изменяется от одного клиента к дру­гому, эти отрезки времени независимы друг от друга, но их среднее время известно.

Расчет формул проведем на конкретном примере.

Пример. Компания нанимает ежегодно одного рабочего, чьей обя­зан-ностью является погрузка кирпича на грузовики компании. В среднем при-ходит три грузовика в час, которые появляются согласно распределению Пуассона. Рабочий загружает их по правилу четыре грузовика в час, время обслужи­вания подчиняется экспоненциальному закону.

Полагают, что второй грузчик существенно повысит произво­дительность в фирме. Менеджеры рассчитывают, что два грузчика будут работать по тому же правилу: четыре грузовика в час на одного и восемь грузовиков в час на двоих. Проанализируйте эффект в очереди от такого изменения и сравните с результа­том, найденным для одного рабочего (см. табл. 4. 3) Какова вероятность того, что будет больше чем два грузовика загружаться или ожидать в очереди?

Таблица 4.3 - Результаты расчетов для одного и двух грузчиков.

№ п.п	Наименование величины	Обозна-чение вели-чины	Формула расчета	Один грузчик	Два груз-чика
1	Среднее количество прибывающих грузови-ков за час	а	-	3	3
2	Среднее число обслу-женных грузовиков за час	т	-	4	8
3	Среднее число грузови-ков в системе.	Ls	Ls=а /(m- а)	3	0,6
4	Среднее время грузовика проводимое в системе (время ожидания + время обслуживания)	Ws	Ws=1/(m–а)	1	0,2
5	Среднее число грузови-ков в очереди	Lq	Lq = а^2 / m (m – а);	2,25	0,225
6	Среднее время грузови-ка, проводимое в оче­реди	Wq	Wq = а/ m (m – а);	0,75	0,075
7	Коэффициент использо-вания системы	r	r = а / m;	0,75	0,375
8	Вероятность 0 грузови-ков в системе (когда обс-луживание бесполезно)	Р0	Р0=1 – а /m;	0,25	0,625
9	Вероятность более чем k =2 грузовиков в системе	Рп > k	Рп=(а/ m)^k^+1	0,42	0,05
10	Среднее число грузови-ков в обслуживании	Lо	Lо= Ls - Lq	0,75	0,375
11	Среднее время грузови-ка, проводимое в обслу-живании	Wо	Wо= Ws-Wq	0,25	0,125

Пусть, водители грузовиков, работающие в компании получают 100 руб. в час. Грузчики получают 60 руб. в час. Водители грузовиков, ожидая в очереди, получают зарплату, но бесполезно проводят это время. Что будет с часовыми затрата­ми, если фирма наймет двух грузчиков вместо одного?

Для этого рассмотрим табл. 4. 4.

Таблица 4.4 - Результаты расчетов для одного и двух грузчиков по

заработной плате.

№ п.п.	Статья расходов	Ls	Тариф в руб. за час	Один грузчик	Два грузчика
1	Заработная плата водителей	3/ 0,6	100	300	60
2	Заработная плата грузчиков	-	60	60	120
3	Итого			360	180

Из табл. 4.4 видно, что использование второго грузчика ведет к снижению затрат по заработной плате в два раза.