Тема 3. Элементы теории игр

3.1 Природа игр.

3.2 Дилемма заключенного.

3.3 Прямоугольные игры. Принцип минимакса и максимина.

3.4 Равновесие Нэша.

3.5 Олигополия.

3.6 Модель Курно.

3.7 Модель Бертрана.

3.8 Модель «рынка лимонов» Д. Акерлофа.

3.1 Природа игр

В 1944 году фон Нейман и Моргенштерн опубликовали свою хорошо известную работу "Теория игр и экономического поведения", положившую начало бурному развитию математического исследования игр. Эта работа явилась основным толчком для развития линейного программирования и теории статистических решений Вальда. Она открыла также новый подход к задачам выбора решений в конкурентных ситуациях. За последние годы появилось несколько книг по теории игр. В книге "Введение в теорию игр" Маккинси дает прекрасный математический анализ общей теории с основ-ным упором на игры двух лиц. Он рассматривает связь теории игр с линей-ным программированием и теорией статистических решений.

В каждой игре есть цель или конечное состояние, к которому стремятся игроки, выбирая направления допустимых по правилам игры действий. В не-которых случаях смысл игры заключается в достижении цели с наибольшей эффективностью. Эффективность может измеряться счетом, как в гольфе и бейсболе.

Игры с одним участником — игры без конкуренции. Участник играет на счет или для достижения цели.

Нас интересуют игры с конкуренцией. Конкурентная игра — это такая игра, где существует конечное состояние (выигрыш), которого добивается каждый игрок, но не каждый может его добиться. Таким образом, по отноше-нию к этой цели игроки находятся в противоречии. Но, благодаря правилам игры, это противоречие приводит к общему направлению действий. Каждый игрок имеет множество ходов. Выбрать один из них — значит сделать ход. Партия — это последовательность или множество ходов, которые приводят игру к конечному состоянию.

Во многих играх достижение цели (Z) сопровождается каким-нибудь выигрышем, в частности, денежным. Эти выигрыши и проигрыши (отрицате-льные выигрыши) являются в некотором смысле способом счета игры, т.е. служат выражением эффективности.

Игра с нулевой суммой — это такая игра, в которой сумма выигрышей участников после конца игры равна нулю.

Стратегия — это установленный игроком метод выбора ходов в течение игры. Таким образом, стратегия — это совокупность правил выбора решения.

Платежная матрица — это таблица, которая определяет, какие платежи должны быть сделаны после завершения игры.

Теория игр не пытается описывать, как могла бы быть проведена игра. Она содержит процедуру и принципы, при помощи которых можно отбирать партии. В действительности теория игр является теорией принятия решений, применимой к конкурентным ситуациям.

3.2 Дилемма заключенного

Дилемма заключенного – это фундаментальная проблема в теории игр, которая показывает, почему игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. В чем же заключается эта довольно известная дилемма. Представим, что у нас есть два игрока, которых обвиняют в совершении преступления. У них есть четыре стратегии:

1. Оба не признают вину и их отпустят.

2. Игрок А не признается в совершении преступления. Игрок Б говорит, что виновен игрок А. Игрок А получает 10 лет тюрьмы.

3. Игрок Б не признается в совершении преступления. Игрок А говорит, что виновен игрок Б. Игрок Б получает 10 лет тюрьмы.

4. Игрок Б говорит, что виновен игрок А. Игрок А говорит, что виновен игрок Б. Оба получают по 2 года тюрьмы.

Как ни странно, в данном случае обоим игрокам выгодно обвинять друг друга, хотя по идее, если они договорятся и будут молчать, то их отпустят. В случае, если один из игроков не соблюдает договоренность, честный игрок рискует загреметь в тюрьму на многие годы. Когда оба игрока нарушают договоренность, каждый получает минимальное из возможных наказаний. Таким образом, каждому игроку выгоднее не соблюдать договоренности, так как есть вероятность нарушения соглашения, и такая ситуация называется равновесием Нэша.

Теперь представим равновесие по Нэшу в мире, где можно брать и давать взятки. Описание нашей игры такое:

1. Правительство не берет взятки, общество не дает взятки, что безус-ловно скажется положительно на экономическом развитии страны.

2. Общество не дает взятки, а правительство берет. Более того, оно уст-раивает саму систему так, что не давая взятки ни о каком ведении бизнеса и не будет речи.

3. Правительство не берет взятки. Общество очень хочет давать взятки и активно действует, чтобы такое правительство не засиделось у власти.

4. Мир, где берут и дают взятки. Просто посмотрите в окно.

При многократном повторении игры "дилемма заключенного" наказание за несоблюдение договоренности растет, что в конечном итоге приводит к тому, что первый исход происхоит чаще (он носит название оптимального по Парето). Возможно, индекс взятничества так высок в России в связи с недав-ним появлением здесь гражданского общества. Скорее всего и Америка и Европа достаточно наигрались в такие игры, чтобы придти к исходу более близкому к оптимальному.