statistika_проц_22

5.3. Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видом средних величин является

средняя арифметическая простая.

				n		n
			= 1	∑xi	=	∑xi		(5.6)
				i=1		i=1	.
	x
арифм				n		n

Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Пример 5.1. Предположим, восемь предприятий фирмы имеют следующий объем выпуска за месяц:

Таблица 5.1

Объем выпуска продукции

Предприятие	1	2	3	4	5	6	7	8
Выпуск (млн руб.)	23	19	28	34	17	26	30	29

Определить выпуск продукции в среднем на одно предприятие.

Решение

Для того чтобы определить средний месячный выпуск в расчете на одно предприятие, воспользуемся следующим исходным соотношением:

ÈÑÑ = Совокупный выпуск продукции (млн руб.) . КолиКоличество предприятий

Используя приведенные выше условные обозначения, запишем формулу данной средней:

			=	∑ xi	=	x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
				i			.
		x
				n	8

С учетом имеющихся данных получим:

x = 23 + 19 + 26 + 34 + 17 + 26 + 30 + 29 = 25,75 (ìëí ðóá.). 8

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет сред-

141

ней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Пример 5.2. Имеются данные о сделках с ценными бумагами, представленные в таблице 5.2:

Таблица 5.2

Сделки по ценным бумагам эмитента «Х» за торговую сессию

Сделка	Количество проданных ценных бумаг	Курс продажи, руб.
1	1800	160
2	2000	180
3	1950	170

Найти средний курс продажи одной бумаги.

Решение

Определим следующее исходное соотношение средней:

ÈÑÑ =Совокупная выручêà от продаж ценных бумаг (руб.) . Количесч òâî проданных ценных бумаг

Чтобы получить общую сумму сделок (совокупную выручку от продажи ценных бумаг), необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных ценных бумаг и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:

			=	1800 ×160 + 2000 ×180 +1950×170		=	979500	≈ 170,35 (ðóá.)
		x
					1800 + 2000 +1950		5750

Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной

				m
				∑xj fj
			=	j=1	.
	x
				m
арифм						(5.7)
				∑ fj

j=1

Âотдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях еди-

142

ницы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки ценных бумаг соответственно составляет 31,30 % (0,31304), 34,78 % (0,34783) и 33,91 % (0,33913) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования частоты признака частость, получим:

			= ∑ xi	fi	= ∑ xiwi	,
		x					(5.8)
			i	∑ fi i
				i

ãäå wi = ∑fifi — относительная частота признака, или частость.

i

x = 160 ×0,31304 + 180 × 0,34783 +170 × 0,33913 ≈ 170,35 (ðóá.)

На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Воспользуемся данными предыдущего примера и предположим, что количество проданных ценных бумаг по каждой из сделок нам неизвестно, а есть данные лишь о цене продаж, тогда x = (160 + 180 + 170)/3 = 170 (руб.), что неверно.

Среднюю стоимость продаж можно было бы определить таким образом лишь в случае, если бы количество продаж по каждой сделке было бы одинаковым. Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Пример 5.3. Имеются сгруппированные данные о дневной выручке в магазине электротоваров (тыс. руб.) в течение месяца:

143

	Таблица 5.3
Дневная выручка в магазине электротоваров (тыс. руб.)
Сумма продаж	Число продаж
100–200	3
200–300	5
300–400	7
400–500	4
500–600	8
600–700	3

Вычислить среднюю дневную выручку.

Решение

Для определения средней дневной выручки найдем середины интервалов:

150, 250, 350, 450, 550, 650 Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим

среднюю дневную выручку магазина электротоваров:

x = 150×3 + 250×5 + 350×7 + 450 × 4 + 550×8 + 650×3 = 3 + 5 + 7 + 4 + 8 + 3

= 1230030 = 410 (òûñ. ðóá.)

Поскольку средняя арифметическая находит наиболее широкое применение в экономических вычислениях, приведем свойства средней арифметической, знание которых полезно для усвоения дальнейшего материала.

1. Если находят среднюю арифметическую для интервального вариационного ряда, то в качестве значения признака для каждого интервала условно принимают его середину, т.е. центр:

	x′i	=	xi(min) + xi(max)	.
			2

Òàê êàê xi(max) − xi(min) = ki , то формулу центра интервала можно заменить следующей

x′i = xi(min) + k2i .

144

2.Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной, то есть ñ = ñ , ãäå ñ — const.

3.Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на то же число.

Для максимального упрощения счета в качестве с рациональнее принимать вариант, которому соответствует наибольшая частота, или которое является серединой серединного интервала. Если серединных интервалов два (когда вариационный ряд содержит четное число интервалов), то в качестве с следует взять середину того интервала, который имеет наибольший вес (наибольшую частоту).

4.Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) во столько же раз.

В качестве такого числа берется наибольший общий делитель

разностей xi − c или величина интервала по x .

5.Если частоты (частости) средней взвешенной разделить или умножить на постоянное число, то средняя арифметическая не изменится.

6.Сумма отклонений вариантов ряда от средней арифметической равна нулю.

7.Если вариационный ряд состоит из l непересекающихся групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда равна взвешенной средней арифметической групповых (частных) средних. Причем весами являются объемы групп (N1, N2, ...,Nl), ãäå l — число групп.

5.4. Средняя гармоническая

Средняя гармоническая невзвешенная обычно используется в тех случаях, когда значения fi èëè wi для единиц совокупности равны. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся условным примером.

Пример 5.4. Рассмотрим применение средней гармонической на конкретном примере. Предположим, наблюдая за работой пяти рабочих в течение одного часа мы получили следующие данные о затратах ими рабочего времени на изготовление одной детали (x) в часах: 0,2; 0,3; 0,3; 0,5; 0,5.

145

Требуется рассчитать среднее время, затрачиваемое одним рабочим на изготовление детали.

Решение

Для решения необходимы данные об общих затратах времени всех пяти рабочих и о числе выработанных за это время деталей. Будем исходить из предположения, что рабочие работали один час. Тогда общие затраты времени составят 5 человеко-часов. За это время первый рабочий выработает 1/0,2 = 5 деталей, второй и третий по 1/0,3 = 3,3 детали, а четвертый и пятый по 1/0,5 = 2 детали. Все вместе они выработали 15,6 деталей. В среднем на одну деталь затрачивалось 5/15,6 = 0,32 часа.

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число выработанных за этот интервал пятью работниками деталей.

Если все расчеты представить в виде формулы, то последняя и будет представлять собой среднюю гармоническую простую:

																	1
														n			−1
														∑xi−1							n
														i=1
							xãàðì =							n					= n				1	,		(5.9)
																					∑
																							xi
																					i=1
		ãàðì =		n			=										5									= 0,32 (äåò.).
	x
			n	1						1				1			1			1				1
			∑i=1								+				+				+				+
						0,2							0,3			0,3				0,5				0,5
					xi

Пример 5.5. В большом супермаркете на двух кассовых линиях работают двое контролеров-кассиров. Один кассир в тече- ние 8 час. работы затрачивал обработку покупок одного покупателя в среднем 2 мин., второй — 6 мин. Сколько времени в среднем двое кассиров затрачивали на одного покупателя?

Решение

Вычислим среднее арифметическое время, затрачиваемое на одного покупателя: (2+6)/2 = 4. Рассуждаем далее. Если в среднем на одного покупателя затрачивается 4 минуты, то в час может

146

обслуживаться (60/4)=15 покупателей, а за 8 часов — 120 покупателей. Двое кассиров в течение дня могут обслужить 2½120 = 240 покупателей. Этот расчет произведен с помощью средней арифметической.

Рассуждаем по-другому, используя индивидуальные показатели обслуживания. Первый кассир за час может обслужить (60/2) = = 30 покупателей, а за 8 часов — 240 покупателей. Второй — за час (60/6) = 10 покупателей, за 8 часов — 80 покупателей. Следовательно, за день оба кассира могут обслужить 240 + 80 = 320 покупателей, а не 240 как мы нашли по методу средней арифметической. Значит ли это, что средняя арифметическая неверна? Нет, просто выбрана не та средняя, которую надо применять в данном случае.

Чтобы отыскать нужную нам среднюю, будем рассуждать так. Найдем норму времени на обслуживание одного покупателя как

N = ∑ t ,

∑ q

где t — время, затраченное отдельным кассиром;

q — количество покупателей, обслуживаемых отдельным кассиром.

Этот расчет и формула будут верны независимо от того, что принять за единицу времени. Если норму исчисляем в минутах или часах, то затраченное время также выражается в минутах или часах. Количество изделий нам неизвестно, но его можно рассчи- тать, разделив затраты времени отдельных кассиров на их индивидуальные нормы.

Средняя норма обслуживания покупателя как отношение затрат времени ко всему количеству покупателей равняется:

N = 120 / 40 = 3 (ìèí.).

120 мин. — это 60½2, 40 это — число покупателей за час, обслуженное двумя кассирами. Таким образом, средняя норма времени составит 3 минуты.

Если кассир обслужит покупателя за 3 мин., то за час он обслужит 20 покупателей, за смену — 160, а вдвоем — 320!

Исходное соотношение средней представляет собой в данном слу- чае отношение общих затрат времени за любой интервал (например, за час) к общему числу покупателей, которых за это время обслужили двое кассиров.

147

Расчеты можно представить в виде средней гармонической невзвешенной:

		=	n				, ãäå x			— затраты времени на одного покупателя.
	x
			∑		1
					x
		=	120					=		2		= 3 ìèí.
	x
			60		+		60		1	+	1
			2			6			2		6

В целом ряде случаев применение средней арифметической или средней гармонической определяется лишь наличием исходных данных. Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.

Пример 5.6. Рассмотрим следующие данные о реализации продукта одного вида на трех рынках:

				Таблица 5.4
	Реализация продукта одного вида
	Цена за единицу	Количество		Выручка от
		проданной
Рынки	продукции, ðóá.			продажи, руб.
		продукции, шт.
	x			Ì
		f
I	0,30	1000		300
II	0,35	2000		700
III	0,40	2000		800
Итого	—	5000		1800

Требуется рассчитать среднюю цену, по которой продавался товар.

Решение

Предположим, мы располагаем только данными о ценах на трех рынках и о количестве товара, проданного на каждом из них. При этом цены на отдельных рынках выступают в качестве вариантов, а количество проданного товара — в качестве весов. Тогда средняя цена определится по средней арифметической взвешенной, то есть

		=	∑ xf	=	0,30 1000 + 0,35 2000 + 0,4	2000	= 0,36.
	x		∑ f
					1000 + 2000 + 2000

148

Теперь предположим, что количество проданного товара неизвестно, а известны лишь цены и выручка от продажи. В этом слу- чае логические рассуждения остаются теми же, но расчет следует записать в форме средней гармонической взвешенной.

Выручка от продажи определенного вида товара — не что иное, как Mi = xi fi . Частное от деления выручки от продажи на цену за ед. продукции по определенному виду продукции даст нам частоту:

fi = M , тогда формула для расчета средней величины приобрета-

xi

ет вид средней гармонической взвешенной:

m

∑ fj

j=1

xãàðì =

m

(5.10)

∑

1

fj

j=1 xj

èëè

∑ M

=

=

M1 + M2

+ ... + Mm

.

x

ãàð.

∑

M

M

+

M

+ ... +

M

1

2

m

x

x

x

x

1

2

m

Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным единицам совокупности, а представлена как произведение xf.

Результат, как и следовало ожидать, получился тот же.

Пример 5.7. Пусть требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре ХХ года по данным следующей таблицы:

Таблица 5.5

Информация о вкладах в банке для расчета средних значений

		Октябрь			Ноябрь
	Число		Средний	Сумма		Средний
						размер
Вид вклада	вкладов,		размер вклада,	вкладов,
						вклада,
	òûñ.		òûñ. ðóá.	ìëí ðóá.
						òûñ. ðóá.
	f		x	M
						x
До востребования	10		35	4,07		37
Срочный	8		40	3,87		43

149

Решение

В октябре известен средний размер вкладов каждого вида х и количество вкладов f. Следовательно, для расчета среднего размера вклада по двум видам применяем формулу средней арифмети- ческой взвешенной, тыс. руб.:

			=	∑ xf	=	10 35		+ 8 40	= 37,22.
	x			∑ f
								+ 8
àð.						10

Âноябре известен средний размер вкладов каждого вида,

àколичество вкладов не известно, но зато имеются данные об общих суммах вкладов.

Путем деления сумм вкладов М каждого вида на их средний размер вклада х можно определить веса — число вкладов по их видам f, а затем определить средний размер вклада по двум видам по формуле средней арифметической.

Однако, если в расчете использовать среднюю гармоническую, то отпадает необходимость предварительного расчета весов — размеров вкладов по каждому виду, поскольку эта операция заложена в саму формулу. Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным единицам совокупности, а представлена как произведение xf. Чтобы исчислить среднюю, обозначим xf = М, откуда f = M/x. Преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по имеющимся данным x и М можно было исчислить среднюю.

Âформулу средней арифметической взвешенной вместо xf подставим М, вместо f — отношение М/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

=

∑ M

=

M

+ M

+ ... + M

x

ãàð.

1

2

m

.

M

M1

M2

∑

+

+ ... +

Mm

x

x1

x2

xm

Итак, средний размер вклада в ноябре по двум их видам находим по формуле средней гармонической взвешенной, тыс. руб.:

		ãàð. =	∑ M		=	407 +		387		= 39,7.
	x
			∑	M		407	+	387
				x		37		43

150