0 0,9 1,83 2,17 3,1 4

Итак, вычисленное значение статистики Дарбина – Уотсона попало в область неопределенности (между 2,17 и 3,1), поэтому на основе этого правила нет статистических оснований ни принять ни отклонить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках.

В то же время 2,43 меньше, чем 2,5, поэтому эмпирическая рекомендация (если значение критерия между 1,5 и 2,5, то автокорреляция отсутствует) не подтвердила факта отсутствия автокорреляции. Так что этой рекомендацией надо пользоваться осторожно (как предварительный вывод).

Проведем теперь отчет о пошаговом регрессионном анализе. Его результаты приведены на рис. 21.

Рис. 21. Отчет о пошаговой регрессии после исключения незначимых переменных (ППП STATISTICA)

Как видим, коэффициент множественной детерминации изменился не значимо (был равен 60,4 %, а стал равен 52,2 %). Но уравнение регрессии при этом стало существенно проще – вместо четырех содержит всего две переменные.

Кроме того, вместо трех значимых переменных (такой вывод мы сделали анализируя матрицу парных коэффициентов корреляции) их стало две: х₃ их₄, т. е. окончательно имеем, что на количество посещений магазинов фирмы значимо влияют только число потенциальных покупателей и число конкурирующих магазинов и если судить по-коэффициентам, то в большей мере влияет число потенциальных покупателей. Разные знаки при этих коэффициентах говорят о разной направленности таких влияний. А поскольку коэффициент парной корреляции между этими показателями равен нулю (см. для негоp-valueна рис. 16), то эти переменные линейно независимы и мы можем провести их интерпретацию.

Коэффициент при х₃, т. е.b₃равен 0,747, следовательно, изменение числа потенциальных покупателей на 1 тыс. приведет в среднем к изменению числа посещений магазинов фирмы на 747 человек (уменьшит при уменьшении и увеличит при увеличении). Коэффициент прих₄, т. е.b₄равен (–0,59), следовательно, изменение числа конкурирующих магазинов на единицу приведет в среднем к изменению числа посещений магазинов фирмы на 590 человек. При этом надо иметь в виду, что на основе имеющейся информации мы сумели описать с помощью этого уравнения изменение числа посещений магазинов фирмы только на 52,2 %. Остальные 47,8 % изменения числа посещений магазинов фирмы зависят от неучтенных в регрессии факторов, в том числе от ошибок наблюдений.

Коэффициент Дарбина–Уотсона для этого уравнения равен 2,33, а табличные значения равны d_l = 1,1;d_u = 1,54 (см. приложения при= 0,05,n= 20,m= 2). Имеем:

___есть__ d_l___?__d_u___нет___4-d_u___?__4-d_l__есть___

0 1,1 1,54 2,46 2,9 4

Вычисленное значение d= 2,33 находится между 1,54 и 2,46, следовательно, для этого уравнения автокорреляция остатков отсутствует.

2.3. Особые случаи использования мнк во множественной регрессии

2.3.1. Оценка параметров уравнения множественной регрессии в условиях мультиколлинеарности (пошаговый регрессионный анализ)

Как уже отмечалось, одной из предпосылок МНК является отсутствие полной мультиколлинеарности между факторными переменными. В противном случае теряется смысл коэффициентов уравнения регрессии и их оценки не точны.

Проиллюстрируем это на следующем примере:

Пример. Мультиколлинеарность и пошаговая регрессия

Пусть имеется следующая информация о количестве владельцев акций (у) в зависимости от цены акции (х₁), дивидендов на одну акцию (х₂) и отношения дохода к цене (х₃) за последние 28 периодов:

Рис. 22. Матрица частных коэффициентов корреляции

Матрица частных коэффициентов корреляции (см. рис. 22) свидетельствует о наличии полной мультиколлинеарности.

Приведем результаты регрессионного анализа этой информации. Уравнение регрессии приведено на рис. 23. Проанализируем его.

Рис. 23. Отчет о множественной регрессии

Критерий Фишера показывает, что данное уравнение регрессии значимо (р-величина для него меньше 0,05). Это означает, что гипотеза о равенстве нулю одновременно всех коэффициентов регрессии отклоняется. В то же время анализ значимости каждого коэффициента в отдельности показывает, что все они равны нулю (все р-величины для них больше 0,05). Этот факт подтверждает проблематичность использования классического регрессионного анализа в случае нарушения предпосылки об отсутствии мультиколлинеарности факторных переменны. Как отмечалось, в этом случае ошибки оценок коэффициентов регрессии становятся значительными по величине (в нашем примере они сопоставимы с самими оценками) и это приводит к неоправданно малым значениям t-статистик для этих коэффициентов и к неоправданным выводам о незначимости этих коэффициентов.

При попытке интерпретации коэффициентов этого уравнения получим «странные» выводы, а именно: при увеличении на единицу цены одной акции число владельцев акций увеличится на 15 123, а при увеличении дивидендов на одну акцию число владельцев акций уменьшится на 11 272 (при среднем числе держателей акций, равном 35 770). Как видно из нижеприведенного графика (рис. 24), диаграмма рассеяния для переменных уих₂показывает рост числа владельцев акций при росте дивидендов, а отрицательный коэффициент при переменной х₂ в уравнении регрессии (рис. 23) «говорит» об обратном.

Рис. 24. Диаграмма рассеяния для переменных уих₂

Это лишний раз подтверждает тот факт, что в случае мультиколлинеарности смысл коэффициентов уравнения регрессии теряется.

Другие проблемы в связи с этим уравнением мы здесь не обсуждаем (например, наличие автокорреляции в остатках или выполнение предпосылки МНК об их гомоскедастичности). Об этом речь ниже. Приведем результат пошаговой регрессии (рис. 25), как иллюстрацию одного из методов избавления от мультиколлинеарности путем удаления из уравнения регрессии одной из коллинеарных переменных.

Рис. 25. Отчет о пошаговой регрессии

Как видим, при исключении переменной х₃оставшиеся две переменные стали значимыми. Это не означает, что раньше они были незначимыми. Просто ошибки оценок этих коэффициентов при удалении коллинеарной переменной значительно уменьшились (сравните ошибки оценок коэффициентов уравнений до и после исключения этой переменной). Да и сами коэффициенты (вернее их оценки) стали иными и в большей мере отражают реалии.

Точность же упрощенного уравнения регрессии значительно не изменилась, а исправленный коэффициент множественной детерминации даже увеличился (см. рис. 23 и 25). Последний факт подтверждает свойство исправленного коэффициента множественной детерминации уменьшаться при включении в уравнение регрессии незначимой факторной переменной.

Отметим, что проблема автокорреляции остатков здесь осталась. Для ее решения здесь нужны специальные приемы, о чем речь ниже.