1.2. Оценки точности уравнения регрессии и его параметров

1.2.1. Стандартная ошибка оценки по регрессии

Обозначается как S_y,xи вычисляется по формуле

S_y,x=.

Стандартная ошибка оценки по регрессии показывает, на сколько в среднем мы ошибаемся, оценивая значение зависимой переменной по найденному уравнению регрессии при фиксированном значении независимой переменной.

Квадрат стандартной ошибки по регрессии является несмещенной оценкой дисперсии ², т.е.

= =.

Дисперсия ошибок характеризует воздействие в модели (1.1) неучтенных факторов и ошибок.

1.2.2. Оценка значимости уравнения регрессии (дисперсионный анализ регрессии)

Для оценки значимости уравнения регрессии устанавливают, соответствует ли выбранная модель анализируемым данным. Для этого используется дисперсионный анализ регрессии. Основная его посылка – это разложение общей суммы квадратов отклонений на составляющие. Известно, что такое разложение имеет вид

=+.

Второе слагаемое в правой части разложения – это часть общей суммы квадратов отклонений, объясняемая действием случайных и неучтенных факторов. Первое слагаемое этого разложения – это часть общей суммы квадратов отклонений, объясняемая регрессионной зависимостью. Следовательно, если регрессионная зависимость между уихотсутствует, то общая сумма квадратов отклонений объясняется действием только случайных факторов или ошибок, т.е.=. В случае функциональной зависимости между уихдействие случайных факторов и ошибок отсутствует и тогда=. Будучи отнесенными к соответствующему числу степеней свободы, эти суммы называются средними квадратами отклонений и служат оценками дисперсиив разных предположениях.

MSE= ()/(n–2) – остаточная дисперсия, которая является оценкойв предположении отсутствия регрессионной зависимости, аMSR= ()/1 – аналогичная оценка без этого предположения. Следовательно, если регрессионная зависимость отсутствует, то эти оценки должны быть близкими. Сравниваются они на основе критерия Фишера:F=MSR/MSE.

Расчетное значение этого критерия сравнивается с критическим значением F_(с числом степеней свободы числителя, равным 1, числом степеней свободы знаменателя, равнымn–2, и фиксированным уровнем значимости). ЕслиF<F, то гипотеза о не значимости уравнения регрессии не отклоняется, т. е. признается, что уравнение регрессии незначимо. В этом случае надо либо изменить вид зависимости, либо пересмотреть набор исходных данных.

При компьютерных расчетах оценка значимости уравнения регрессии осуществляется на основе дисперсионного анализа регрессии в таблицах вида:

Таблица 1.1

Дисперсионный анализ регрессии

Источник вариации	Суммы квадратов	Степени свободы	Средние квадраты	F-отношение	p-value
Модель	SSR	1	MSR	MSR/MSE	Уровень
Ошибки	SSE	n–2	MSE		значимости
общая	SST	n–1

Здесь p-value– это вероятность выполнения неравенстваF<F, т. е. того, что расчетное значениеF-статистики попало в область принятия гипотезы. Если эта вероятность мала (меньше), то нулевая гипотеза отклоняется.