1.4.2. Индекс корреляции

Как уже отмечалось, мерой тесноты линейной корреляционной связи является коэффициент парной корреляции Пирсона. Мерой же тесноты нелинейной корреляционной связи является индекс корреляции, определяемый из соотношения

R = ,

где – расчетные значения зависимой переменной по нелинейной регрессии.

Величина индекса корреляции находится в пределах от нуля до единицы, и чем ближе его значение к 1, тем теснее рассматриваемая связь.

Известно, что линейный коэффициент корреляции и индекс корреляции в случае линейной зависимости совпадают. Совпадают эти коэффициенты и в случае линеаризации зависимостей путем преобразования независимой переменной, т.е. индекс корреляции между у и х совпадет с линейным коэффициент корреляции между у и преобразованным х.

Иное дело, когда линеаризация уравнения связана с преобразованием зависимой переменной у. В этом случае линейный коэффициент корреляции между преобразованными переменными дает лишь приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

Значимость индекса корреляции проверяется так же, как и коэффициента корреляции.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1

Пусть имеются данные, аналогичные рассмотренным в тренировочном примере (n= 21,y– потребление,х– доходы).

х	4,2	2,9	7,1	4,9	6,4	2,1	3,5	7,5	5	2,4
у	4,3	3,6	5,1	4,6	7,1	3,1	3,9	6,1	5,1	3,6
7,9	4,9	2,5	6,1	3,2	9,2	4,5	5,5	3,6	5,2	8,5
8,2	4,7	4	4,6	3,1	7,5	5,2	6,1	4,4	4,1	5,5

Провести анализ этой информации по аналогии с рассмотренным тренировочным примером.

Если нет возможности посчитать с помощью статистического ППП, то воспользуйтесь нижеприведенными результатами.

Рассчитаем для них уравнение регрессии и другие характеристики, необходимые для полного анализа с помощью парной регрессии и корреляции. При возможности эти показатели рассчитайте самостоятельно.

Ниже приведены результаты расчетов (рис. 9, 10 и 11).

Описательные статистики рассчитаны отдельно:

=5,1, =4,95,S_x=2.1, S_y=1,4.

Рис. 9. Уравнение простой (парной) регрессии

Рис. 10. График остатков для наблюдений, отсортированных по возрастанию переменной х

Рис. 11. График остатков для случайного набора пар (по номерам строк)

Выписать уравнение регрессии и провести полный анализ его точности в соответствии с рассмотренным тренировочным примером.

Проверить равенства: = = и прокомментировать их смысл.

Прокомментировать смысл коэффициента регрессии (склонность к потреблению), рассчитать мультипликатор и коэффициент средней эластичности и привести их содержательный анализ.

Показать, что V_x>V_y и прокомментировать это знаком при свободном члене уравнения простой линейной регрессии.

Охарактеризовать тесноту линейной корреляционной связи на основе шкалы Чеддока.

Проверить остатки на гетероскедастичеость.

Выборочный коэффициент Дарбина –Уотсона для набора пар наблюдений в случайном порядке, т. е. для исходных данных, соответствующих рис.11, равен 1,54, а для упорядоченных пар по возрастанию переменной х (рис.10) – равен 3,25 (рассчитать самостоятельно, используя опции статистического ППП). Прокомментировать различие этих коэффициентов. Проверить остатки на автокорреляцию и сделать вывод.

Сравнительный анализ моделей приведен ниже (рис.12)

Рис. 12. Сравнительный анализ моделей

Далее приведены две из вышеперечисленных моделей.

Рис. 13. Мультипликативная модель

Рис. 14. Экспоненциальная модель

Выписать уравнения этих моделей, проанализировать их точность на основе данных из рис. 12, охарактеризовать смысл их параметров и указать наиболее точное из этих уравнений. По возможности проанализируйте поведение остатков для каждого уравнения.

Задание 2

Следующие данные представляют результат исследований по оценке стоимости недвижимости. При этом: у– рыночная цена продажи,х– оценка стоимости по результатам инвентаризации.

х	1015,2	977,4	800	1031,4	947,7	1023,3	1069,2	999	982,8
у	1220,4	1231,2	1263,6	1233,9	1209,6	1239,3	1279,8	1193,4	1263,6
х	920,7	1007,1	872,1	1082,7	1026	1053	1026	1059,5	1085,4
у	1179,9	1188	1177,2	1269	1271,7	1263,6	1193,4	1244,7	1252,8
х	1001,7	1020,6	1070,9	1109,7	904,5	972	993,6	963,9	1093,5
у	1252,8	1201,5	1239,3	1328,4	1206,9	1312,2	1285,2	1198,8	1314,9

Провести полный корреляционно-регрессионный анализ этой информации и сделать выводы о данном рынке недвижимости. Можно ли строить прогноз стоимости недвижимости на основе этих данных? Как повысить точность прогноза (изучите поведение остатков)?

Задание 3

Для 27 предприятий розничной торговли получены следующие данные; х–розничный товарооборот,у– издержки обращения:

х	510	560	800	465	225	390	640	405	200
у	30	33	46	31	16	25	39	26	15
х	425	570	472	250	665	650	620	380	550
у	34	37	28	19	38	36	35	24	38
х	750	660	450	563	400	553	772	450	600
у	44	36	27	34	26	38	45	29	33

Провести полный корреляционно-регрессионный анализ этой информации и спрогнозировать издержки обращения для предприятий с объемом розничного товарооборота в 500, 550, 600 и 620 усл. д .е.

Задание 4

По результатам отчетов о работе 30 малых предприятий получены следующие данные: х– среднегодовая стоимость основных производственных фондов,у– производство продукции:

х	275	281	421	435	545	332	368	486	563	369
у	212	347	376	462	512	298	386	498	612	338
х	378	493	254	291	211	463	359	561	569	454
у	347	411	192	357	241	411	362	598	476	432
х	386	458	547	530	419	415	352	333	461	589
у	453	477	569	342	419	471	298	415	267	463

Провести полный корреляционно-регрессионный анализ этой информации и спрогнозировать объемы производства продукции для предприятий со среднегодовой стоимостью основных фондов 250, 300, 350 и 400 усл. д. е.

Задание 5

Имеются данные о 20 периодических изданий: х– тираж,у– стоимость одной строки рекламы.

х	2082	1575	1285	1058	970	963	828	779	768	692
у	37,6	18,5	14,5	14,6	16,5	16,1	13,8	13,1	13,8	12,2
х	664	657	646	533	529	515	492	486	444	349
у	10,5	14,2	12,8	7,8	5,2	11,1	6,6	8,8	6	6,8

Проанализировать эти данные на основе регрессионного анализа и дать прогноз стоимости одной строки рекламы, если ожидаемый тираж составит 1600, 1700 1800 и 2000 экз. Проверить выполнимость предпосылок МНК.