Глава 4. Система одновременных эконометрических уравнений

4.1. Общие понятия о системах одновременных уравнений

Как ранее обсуждалось, остатки уравнений регрессии не должны зависеть от значений объясняющих (независимых) переменных. Однако возможны ситуации, когда на изменения и тех и других влияют одни и те же факторы. Это возможно, когда одни и те же внешние факторы одновременно формируют поведение зависимой и независимых переменных. В этом случае рассматриваемая модель не является полной и появляется необходимость ввести в нее уравнение, в котором объясняемыми переменными выступали бы зависимые переменные. Таким образом, появляется необходимость рассмотрения системы одновременных уравнений.

Классическим примером системы одновременных уравнений является модель формирования спроса и предложения товара в зависимости от его цены.

Пусть Q^d – спрос на товар,Q^s – предложение товара,Р– цена товара,У– доход.

Составим следующую систему уравнений “спрос – предложение”:

Q^d = +Р +У +(предложение), (4.1)

Q^s=+ Р+(спрос), (4.2)

Q^s=Q^d=Q(равновесие). (4.3)

Итак, имеем: предложение на товар формируется под влиянием цены и дохода, спрос на товар зависит от цены, а последнее равенство означает равновесие предложения и спроса. В этой системе уравнений Р– цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением, следовательно, здесьРиQ– зависимые переменные, аУ– независимая.

В дальнейшем, если значения переменных формируются в результате расчетов по модели, то такие переменные будут называться эндогенными (внутренними) переменными, в противном случае (если значения переменных определяются или задаются вне модели) – экзогенными (внешними).

В нашем случае У– экзогенная переменная,РиQ– эндогенные.

Главное отличие между эндогенными и экзогенными переменными заключается в том, что остатки не зависят от экзогенных переменных и, как правило, зависят от эндогенных переменных. В нашем случае естественно предположить, что на спрос и цену равновесия влияют одни и те же случайные факторы.

Система одновременных уравнений кроме уравнений регрессий обычно содержит тождества, устанавливающие соотношения между эндогенными переменными. Тождества позволяют исключать некоторые эндогенные переменные и уменьшать размерность модели. Само тождество оценке не подлежит.

Так, в нашем случае, равенство Q^s=Q^d=Qприводит к системе уравнений:

Q = +Р +У +,(4.4)

Q=+ Р+.(4.5)

В этой системе уравнений зависимая (эндогенная) переменная Рнаходится в правой части уравнений. В общем случае для двух эндогенных и двух экзогенных переменных система одновременных уравнений может быть записана в виде

y₁ =₀+ ₁₂y₂ + ₁₁x₁ + ₁₂x₂ +,

y₂ = ₀+₂₁y₁ + ₂₁x₁ + ₂₂x₂ +.(*)

Здесь одни и те же переменные (у₁и у₂) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике такая система уравнений называется структурной формой модели, а ее коэффициенты – структурными коэффициентами модели. В такой системе уравнений каждое уравнение не может рассматриваться самостоятельно, и для оценки его параметров традиционный МНК неприменим. Для этого применяются специальные приемы оценивания.

Если в структурной форме модели эндогенные переменные выразить через экзогенные, то полученная система уравнений будет называться приведенной формой модели, а ее коэффициенты – коэффициентами приведенной формы модели.

В нашем случае это будет выглядеть следующим образом:

y₁=₀+ ₁₁x₁+ ₁₂x₂+₁,

y₂= + x₁+ x₂+₂. (**)

Коэффициентами приведенной формы модели являются функциями коэффициентов структурной формы модели и могут быть определены при решении системы структурных уравнений относительно экзогенных переменных.