3.5.3. Прогноз по экспоненциально взвешенным скользящим средним (адаптивные методы прогнозирования)

В этом направлении разработан целый комплекс моделей. Кратко рассмотрим некоторые из них.

Линейное экспоненциальное сглаживание Холта предполагает, что среднее прогнозируемого показателя y_t изменяется во времени линейно:

y_t =μ+λt+ε_t,

где μ– среднее процесса, λ – его скорость, а ε_t– случайная ошибка. При этом оценка λ осуществляется по показателю ростаb_t, который вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разности между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями элементов временного ряда u_tи их предыдущими значениямиu_t-1и предыдущим значениемb_t-1. В свою очередь, текущее значение экспоненциально взвешенного среднегоu_tвключает в себя значение прошлого показателя ростаb_t-1, адаптируясь таким образом к предыдущему значению линейного тренда.

Уравнения метода Холта:

u_t =αy_t +(1–α)(u_t-1 +b_t-1) иb_t=β(u_t–u_t-1) + (1–β)b_t-1,

где α и β – параметры сглаживания.

Если τ – горизонт прогнозирования, то прогноз на τ моментов времени по модели Холта вычисляется по формуле

f_t+τ=u_t+b_t τ.

Здесь u_t– оценка среднего текущего значения, b_t– ожидаемый показатель изменения.

Значения α и β подбираются по минимальной ошибке прогноза. Параметр α предназначен для сглаживания оценки постоянного уровня элементов временного ряда, β – для оценки тренда.

Линейное экспоненциальное сглаживаниеБрауна предполагает, что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

f_t+τ=u_t+b_t τ,

где u_t=u_t-1+b_t-1+ (1– γ)²e_t,e_t=y_t– f_tиb_t=b_t-1+ (1– γ)²e_t.

Квадратичное экспоненциальное сглаживаниеБрауна предполагает, что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

f_t+τ= а₀+ а₁ τ+ а₂ τ²,

причем параметры а₀, а₁и а₂выбираются так, чтобы на любой момент времени i взвешенная сумма квадратов отклонений между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями обращалась в минимум:

= min.

Параметр γ в методе Брауна аналогичен параметру (1–α)в методе Холта (показатель дисконтирования наблюдений) и задается из априорных соображений, в том числе и из условия минимизации указанной суммы.

Кроме рассмотренной модели кратко остановимся на модели Винтера с сезонной компонентой. Эта модель, как и модели Холта и Брауна, основывается на экспоненциально взвешенных средних. Оценке здесь подлежат отдельно каждая из составляющих ряда: стационарная, трендовая (в виде линейного тренда) и сезонная. Для каждой такой оценки вводятся свои параметры сглаживания: α, β и γ. При компьютерных расчетах они определяются в автоматическом режиме по минимальной ошибке прогноза. При этом прогноз на τ периодов времени строится из трех элементов: суммируется оценка линейного тренда b_tи оценка стационарного фактораu_t, и результат умножается на значение коэффициента сезонностиS_t+τ:

f_t+τ = (u_t + b_tτ) S_t-s+τ.

При этом оценки u_tиb_tрасчитываются аналогично, как в модели Холта (с учетом сезонности), а для оценки сезонной составляющей используется третий параметр (γ) и вычисления ведутся по формуле

S_t = γ(y_t/u_t) + (1–γ)S_{t-s+ τ}.

Здесь s– длина сезонности.

В заключение отметим, что здесь были приведены только простейшие методы моделирования временных рядов, на основе которых можно анализировать и прогнозировать тенденции уровней временных рядов.

Пример. Сезонная декомпозиция временного ряда

Рассмотрим реализацию рассмотренного метода на примере мультипликативной модели временного ряда. Пусть имеются данные, отражающие продажу учебников (в тыс. шт.) за последние три года поквартально (табл. 3.1).

Таблица 3.1