3.4. Модели стационарных временных рядов

Методы прогнозирования стационарных временных рядов весьма разнообразны. Рассмотрим сначала наиболее простые из них, а именно: вычисление скользящих средних и экспоненциально взвешенных скользящих средних.

Если в первом случае для усреднения используются простые средние арифметические, вычисление которых как бы скользит по элементам исследуемого временного ряда, то во втором случае вычисляются взвешенные средние, причем веса подобраны так, что менее удаленным по времени наблюдениям приписываются большие веса, а более удаленным – меньшие. Здесь как бы учитывается процесс старения информации и более ценной является более свежая информация. В случае вычисления экспоненциально взвешенных скользящих средних веса убывают по экспоненте по мере удаления элементов временного ряда от рассматриваемого периода. Отсюда и название метода.

Проиллюстрируем идею этого метода на примере расчета простого экспоненциально взвешенного среднего (Брауна).

Пусть прогнозное значение на период t рассчитывается по формуле

f_t = y_t + (1–)y_t-1 + (1–)² y_t-2 +…+ (1–)ⁿ y_{t- n} + … ,

где – показатель, характеризующий вес текущего наблюдения, называемый параметром сглаживания.

Теоретически здесь предполагается бесконечный временной ряд, но в силу того, что 0 < < 1, коэффициенты-веса при соответствующих элементах временного ряда быстро убывают, поэтому достаточно несколько первых слагаемых этой суммы, чтобы получить результат с достаточной точностью.

Преобразуем это выражение. Вынесем за скобку (1–).

f_t = y_t + (1–)[y_t-1 + (1–)y_t-2 +…+ (1–)^n-1 y_t-n + …].

Тогда можем записать:

f_t= y_t+ (1–)f_t-1. (3.1)

Тем самым мы получили модель экспоненциально взвешенной средней. Из (3.1) следует, что для того чтобы вычислить экспоненциально взвешенную среднюю, необходимо знать значение элемента временного ряда в текущем периоде и экспоненциально взвешенную среднюю за предыдущий период.

Отметим, что сумма весов в выражении для экспоненциально взвешенной скользящей средней (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии) равна единице.

Параметр сглаживания обычно подбирается по минимальной ошибке прогноза. С этой целью перебираются возможные значения(с некоторым шагом) и для каждого из них рассчитываются экспоненциально взвешенные скользящие средние и вычисляется ошибка прогноза, например, MSE. Минимальная ошибка и определит константу сглаживания. При расчетах на ЭВМ особых проблем при подборе не возникает ввиду автоматизации таких расчетов.

Есть разные рекомендации по выбору возможных значений , основная из которых заключается в том, что при анализе стационарных временных радов параметр сглаживания не должен выходить за пределы интервала 0,05 – 0,3. Считается, что если при вычислении экспоненциально взвешенных скользящих средних при увеличении значения(за пределами> 0,3) ошибка прогноза уменьшается, то речь идет о не стационарных временных рядах.

Следует отметить, что при увеличении прогнозные значения более динамичны и в большей мере отражают динамику исходных данных, и, наоборот, чем меньше, тем прогнозные значения более сглажены. Поэтому, когда по ходу решения задачи требуется повысить чувствительность прогноза к динамике исходных данных, то высокие значениямогут быть оправданы.

При расчетах по модели (3.1) встает проблема определения прогнозного значения на начальный период (при t= 1, т.е.f₀). Обычно заf₀берут либо y₁, либо среднее значение нескольких первых членов ряда. Как правило, на конечный результат расчетов выбор начального значенияf₀практически не сказывается.