0 1,22 1,42 2,58 2,78 4

Итак, в обоих случаях вычисленное значение статистики Дарбина – Уотсона попало в область между d_uи 4 –d_u, что означает отсутствие автокорреляции в остатках. Следовательно, в нашем примере остатки являются случайными величинами, как того и требует МНК.

Тот же самый вывод вытекает из р-величины для данного коэффициента. Тот факт, что р-величина равна 0,3177 (что больше 0,05), означает, что гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Надо иметь в виду, что возможны случаи, когда расчетные значения критерия Дарбина – Уотсона существенно различаются в зависимости от того, как они рассчитаны: для случайного порядка расположения пар наблюдений или при упорядочении их по значениям независимой переменной. Как уже отмечалось, для обнаружения ошибки спецификации (неправильного выбора вида зависимости) при вычислении критерия Дарбина – Уотсона пары наблюдений необходимо упорядочивать по величинам независимой переменной.

1.4. Нелинейная корреляция и регрессия

До сих пор рассматривалась только линейная регрессия и корреляция, но в социально-экономических исследованиях иногда появляется необходимость рассмотреть и нелинейные зависимости. Остановимся здесь на этом кратко.

1.4.1. Линеаризация (преобразование Бокса –Кокса)

Нелинейную зависимость можно разделить на два типа: нелинейную по переменным и по параметрам.

Проще, когда речь идет о нелинейной зависимости по переменным. Такие зависимости преобразовываются к линейным простой заменой переменных. Например, зависимость вида у = а + всводится к линейной заменой переменнойх₁ = . Имеем линейную функциюу = а + вх₁. Или зависимость вида1/у = а + вхсводится к линейной заменойу₁ = 1/у.Получиму₁ = а + вхи т.д.

Оценка параметров таких уравнений осуществляется обычным МНК, примененным к преобразованным данным. Однако надо иметь в виду, что ситуации разнятся, если при линеаризации преобразованию подвергаются независимые или зависимые переменные. Так, если преобразованию подвергаются независимые переменные, то осложнений в применении МНК не возникает. Сложнее, когда преобразованию подвергаются зависимые переменные. В этом случае МНК минимизирует не сумму квадратов отклонений зависимой переменной, а сумму квадратов отклонений преобразованной зависимой переменной. Например, в последнем рассмотренном выше варианте вместо минимизации выражения будем иметь, что не одно и то же. В связи с этим оценки параметров таких уравнений могут быть смещенными.

При зависимостях, нелинейных по параметрам, процедура линеаризации, если таковая возможна, осуществляется, как правило, путем преобразования зависимой переменной. Сложности в этом случае возникают и при сравнении альтернативных моделей. Например, меньшая сумма квадратов отклонений для выражения , чем для выражения, совсем не означает, что в первом случае уравнение будет лучше (как известно, логарифмы меньше своих аргументов).

Приведем вариант универсального преобразования для описания нелинейной зависимости, когда преобразованию подвергается зависимая переменная. Вместо переменной yв регрессии рассматривается функция (y^–1)/. Параметрвыбирается по минимальной ошибке аппроксимации путем расчета регрессии для различных возможных значений этого параметра. Такое преобразование носит название преобразованием Бокса – Кокса (по имени его авторов), введено в некоторые статистические ППП, и подбор параметра в нем осуществляется в автоматическом режиме.

Пример.Подбор наилучшего уравнения регрессии

Рассмотрим пример использования при анализе этой же информации нелинейных зависимостей. В социально-экономическом анализе наиболее часто используются экспоненциальная (y = ae^bx) и мультипликативная (степенная) (y = ax^b) зависимости (рис.7 и рис.8). Экспоненциальная функция описывает процесс с постоянным темпом прироста изучаемого показателя (величинаbв соотношенииy = ae^bx), а мультипликативная – с постоянной эластичностью (величинаbв соотношенииy = ax^b).

Обе эти функции приводятся к линейной в результате логарифмирования: lny = lna + bxдля экспоненциальной иlny = lna + blnx– для мультипликативной. Как видим, заменой переменных эти зависимости сводятся к линейными. К ним можно применять обычный МНК, получая тем самым оценки параметров исходных уравнений.

Здесь, как и в предыдущем случае, надо иметь в виду, что МНК применяется не к исходным зависимым переменным, а к преобразованным (к их логарифмам) и в силу этого оценки могут получиться смещенными. В этом случае минимизируется сумма квадратов отклонений в логарифмах: , а не. А поскольку, то оценки могут получиться смещенными.

Многие ППП имеют процедуры подбора лучшей кривой регрессии. Воспользуемся такой процедурой из ППП Statgraphics. Для нашего примера имеем (рис.6)

Рис. 6. Сравнительный анализ моделей

По информации из рис. 6 можно сравнивать альтернативные модели по коэффициентам корреляции или детерминации.

Перечень моделей следующий: вид зависимости

Reсiprocal–Y– обратная кY1/y=a+bxилиy= 1/(a+bx);

Exponential – экспоненциальная y = e^{(a + bx)};

Squareroot–Y– корень квадратный изYy= (a+bx)²;

Multiplicative– мультипликативная или показательнаяy=ax^b;

Double reciprocal – двойная обратная 1/y = a + b/x или y = 1/(a + b/x);

Linear – линейная y = a + bx;

Squareroot–X– корень квадратный изXy=a+b;

S – curve S-образная кривая y = e^{(a + b/x)};

Logarithmic – X – логарифм Х y = a + blnx;

Reсiprocal–X– обратная к Хy=a+b/x.

Как видим, линейная модель здесь не самая точная (по точности стоит на 6-м месте).

Приведем оценку параметров двух рассмотренных моделей по исходным данным примера без подробной оценки их точности: экспоненциальной (рис. 7) с r²= 88,25 % и мультипликативной (рис. 8) сr²= 84,98 %.

Рис. 7. Экспоненциальная модель

Рис. 8. Мультипликативная модель

Intercept и Slope – это значения а и b оценок параметров соответствующих моделей.

На основе экспоненциальной зависимости имеем: =e^(0.91+0.15x), а на основе мультипликативной модели имеем: =0,58х^0,69.

Из последнего уравнения регрессии получили, что постоянный коэффициент эластичности равен 0,69 % (b = 0,69). Рассчитанный аналогичный коэффициент по линейной модели был равен 0,77 %. Полученное различие объясняется разными предпосылками зависимости между изучаемыми показателями.

Из приведенных трех моделей более точной является экспоненциальная: для нее коэффициент детерминации наибольший.