Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

Природаферромагнетизма
К ферромагнетикам относятся железо, кобальт, ни-
кель, гадолиний и ряд других металлов, их сплавы и соединен ия,
а также некоторые сплавы марганца, серебра, алюминия и др.
Ранее мы уже указывали, что объяснить намагничение железа
орбитальным движением электронов невозможно (опыты Эйн-
штейна, де-Хааса, Барнетта).
По современным представлениям, ферромагнетизм обусловл ен
спиновыми магнитными моментами атомов с незавершенными элек-
тронными оболочками, например, 3d для железа, никеля, кобаль -
та и 4f в случае редкоземельных металлов. Однако не все элем енты
с незавершенными электронными оболочками являются ферр о-
магнетиками. Для возникновения ферромагнетизма необход имо на-
личие сильного обменного взаимодействия между спинами с осед-
них атомов. Это взаимодействие заставляет спиновые момен ты не-
завершенных электронных оболочек выстраиваться паралле льно
друг другу. В результате этого атом намагничивается до на сыщения.
Природа обменных сил была выяснена в квантовой механике.
	В ферромагнетизме задача сводит-
	ся к вычислению некоторого интегра-
	ла, обозначаемого А и называемого
	обменным. Этот интеграл должен иметь
	положительное значение. Только в этом
	случае обменные силы могут ориен-
	тировать спины. Было найдено простое
	условие, определяющее возможность
Рис. 42. Доменная структура	возникновения ферромагнетизма: от-
ферромагнетика	ношение параметра кристаллической
	решетки d к диаметру электронной
орбиты должно быть равным или превышать 1,5, т.е.

d ³1,5. 2R

Сильная ориентировка спинов электронов, вызываемая сила ми обменного взаимодействия, которая возникает в ферромагн етике независимо от наличия внешнего магнитного поля, приводит к тому, что ферромагнетик намагничен до насыщения. Наличие такого спонтанного (самопроизвольного) намагничения являе тся ха-

91

рактерным свойством ферромагнетиков при температурах н иже точки Кюри. Это находится в кажущемся противоречии с обще известным фактом отсутствия намагниченности у ферромагне тика, не подвергавшегося воздействию внешних магнитных полей .

Данное противоречие устраняется, если принять, что каждый микрокристаллик ферромагнетика при возникновении спонт анной намагниченности оказывается разделенным на множест во очень малых, вплоть до 10–6ì3, объемов, называемых доменами, намагниченными по разным направлениям легкого намагничивани я, так что результирующее намагничение такого микрокристаллик а в отсутствие внешнего магнитного поля равно нулю.

Впервые эти представления были высказаны в работах Б.Л. Ро - зинга (1892 г.) и вновь были выдвинуты Вейсом в 1907 году.

				Вейс высказал ги-
			Í	потезу о том, что фер-
				ромагнетик разбивает-
				ся на большое число
				малых (но макроско-
	à	á	â	пических) областей –
				доменов. Каждый до-
	Рис. 43. Процесс намагничивания			мен намагничен до на-
	ферромагнетика: а – исходное состояние;			сыщения (при темпе-
	б – процессы смещения; в – вращение			ратурах ниже точки

Кюри), но намагни- ченность различных доменов ориентирована хаотически, та к что результирующая намагниченность равна нулю (рис. 43).

Существование доменов в ферромагнетиках можно доказать с помощью порошковых фигур (Биттер, Н.С. Акулов, М.В. Дегтярь). Если на хорошо отполированную поверхность ферромагнети ка поместить слой жидкости, в которой взвешены мельчайшие част ицы ферромагнитного порошка, то эти частицы будут оседать в о сновном на те места, вблизи которых магнитное поле однородно. Н о как раз вблизи границ доменов возникают неоднородности п оля, поэтому осевший порошок обрисует границы доменов.

Причиной возникновения доменов является хорошо известн ое еще из механики положение о том, что наиболее устойчивым является такое состояние системы, при котором ее потенциаль ная энергия минимальна. Если бы кристалл не был разбит на доме ны, намагниченные в различных направлениях, то он представля л бы

92

собой магнит с двумя полюсами, создающий магнитное поле. В этом поле была сосредоточена энергия W = 12 òm ×m0 × H2 × dV. Ïðè

образовании доменов магнитный поток замыкается внутри кристалла, почти не выходя наружу, поэтому энергия кристалла з на- чительно меньше, чем при наличии полюсов. Следовательно, о б- разование доменов дает более устойчивую систему, к которо й кристалл всегда приходит, если нет внешнего воздействия и интенсивность теплового движения недостаточна для наруше ния параллельной ориентации спинов. Процесс разбиения крист алла на домены закончится тогда, когда выигрыш в магнитостатич еской энергии за счет образования более мелких доменов стан ет меньше, чем энергия, необходимая для образования новых до - менных границ.

Намагничение ферромагнетика состоит в переориентации в екторов намагничения доменов в направлении приложенного м агнитного поля и включает процессы смещения и вращения.

В слабых магнитных полях происходит упругое смещение границ доменов. При этом домены с энергетически выгодной ори ентацией вектора намагничения растут за счет доменов с энер гети- чески невыгодной ориентацией намагниченности (рис. 43б).

Процесс вращения состоит в повороте векторов намагничения
	r
доменов в направлении вектора H (рис. 43в). При полном совпаде-
r	r

нии вектора намагничения j с направлением вектора H достигает-

ся так называемое техническое насыщение ферромагнетика при заданной температуре.

Магнитныецепи

Магнитные потоки широко используются в современной электротехнике. Действие электромагнитов, мощных ген ераторов, трансформаторов, электродвигателей и многих измерит ельных приборов основано на существовании в них магнитного пото ка.

Для усиления магнитного потока всегда применяются ферро - магнитные материалы. Изготавливая из них тела различной ф ормы и размеров, оказывается возможным создавать магнитные по токи нужной величины и направлять их в нужном направлении.

93

Совокупность тел, внутри которых проходят замкнутые линии магнитной индукции, называется магнитной цепью.

		Рассмотрим вначале простую, или
		неразветвленную, магнитную цепь.
		Будем считать, что она состоит из двух
		частей: ярма с сечением S из матери-
	Рис. 44. Неразветвленная	ала с магнитной проницаемостью μ1
		и воздушного зазора, имеющего то
	магнитная цепь
		же самое сечение (рис. 44).
		Выделим в этой цепи замкнутый

контур и, применяя теорему о циркуляции вектора напряженн ости магнитного поля, получим

H1 × l1 + H2 × l2 = N × I ,

ãäå l1 – длина ярма, измеренная по средней линии, l2 – длина воздушного зазора, H1 – напряженность магнитного поля в ярме, H2 – напряженность магнитного поля в воздушном зазоре, N – числ о витков в намагничивающей обмотке, I – сила тока в ней. Так как ма гнит-

ный поток замкнут, то, учитывая, что B = F è H =	B	, получим
S	mm0

Fl1

+

Fl2

= N × I .

7.16

m1m0S

m2m0S

Отсюда

F =

NI

.

7.17

+

l

l1

2

m1m0S

m2m0S

Полученное выражение 7.17 подобно закону Ома для замкну-

той электрической цепи. Величина NI = Em

играет роль ЭДС и

поэтому получила название магнитодвижущей силы. Величин а

R m

=

l1

+

l2

играет роль полного сопротивления цепи и

m1m0S

m2m0S

поэтому получила название полного магнитного сопротивл ения цепи. Теперь выражение 7.17 можно записать в виде

94

Φ =	Em	.	7.18
	R m

Наряду с простой магнитной цепью, на практике приходится встречаться с более сложными магнитными цепями, в которых

	b	à	происходит разветвление маг-
			нитных потоков (пример –
			цепь, изображенная на ри-
			сунке 45).
			Рассмотрим замкнутый
			участок abcda, входящий в
			состав цепи, и обозначим
			длину участка ad через l1, åãî
	c	d	сечение S1 и напряженность
			ïîëÿ â íåì H1, а соответству-
		Рис. 45. Разветвленная	ющие величины для участка

магнитная цепь	abcd – через l2	, S2 , H2	. Âû-

разим H1 è H2 через Ф, как

и в предыдущем случае:

	Í =	Φ	, H =	Φ	,
		μ1μ0S1		μ2μ0S2
	1		2

тогда по теореме о циркуляции вектора напряженности магн итного поля

Φ1l1 + Φ2l2 = NI .

μ1μ0S1 μ2μ0S2

С учетом введенных обозначений можно получить

Φ1R1 + Φ2 R 2 = Em. 7.19

В выделенный контур могут входить не два участка с различ - ными магнитными потоками, а какое угодно их число, и в каждом из них может быть намагничивающая обмотка. Поэтому в общем случае

åΦk R mk = åEm.

7.20

Эта формула имеет тот же вид, что и второе правило Кирхгофа для разветвленных цепей, причем вместо силы тока I входит магнитный поток Ф, а роль ЭДС и сопротивления R играют магнитодвижущая сила Em и магнитное сопротивление Rm. Так же как и в случае с токами, надо учитывать правило знаков.

95

Рассмотрим теперь какой-нибудь узел магнитной цепи, в котором сходится не менее трех магнитопроводов. Так как лин ии магнитной индукции всегда замкнуты, то общее число этих л и- ний, идущих к разветвлению, равно числу линий, уходящих от узла разветвления. Или: сумма магнитных потоков, направле нных к месту разветвления, равна сумме магнитных потоков, уход ящих от него:

åFk = 0.

7.21

Эта формула имеет тот же вид, что и первое правило Кирхгофа.

Таким образом, задача вычисления магнитных потоков в любой магнитной цепи оказывается аналогичной задаче вычис ления токов в электрической цепи, причем каждой магнитной можно сопоставить соответствующую электрическую цепь.

Примеры решения задач

Задача 12. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 5 см друг от друга в воздухе, текут токи 50 А каждый. Определить индукцию магнитного поля в точке, удаленной на 3 см от первого провод ника и на 4 см от второго проводника. Считать, что токи текут в противоположных направлениях.

Äàíî:

I = 560 A

r = 5 ×10−3 ì

r1 = 3 ×10−3 ì

r2 = 4 ×10−3 ì

B - ?

			Индукцию магнит-
		ного поля, создаваемо-
		го двумя проводника-
		ми с током, можно
r		найти по принципу
B1		суперпозиции полей:
		r	r	r			êàê
	r	B = B + B . Òàê
			1	2
r	B2	вектора		B	è B	2	âçà-
				1
B		имно перпендикуляр-
		ны (см. условие зада-

÷è), òî B = B12 + B22 . Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током, оп -

	m0 × I	, тогда B = m0 × I
ределяется по формуле B =			1	+	1	.
	2p× r
		2p r12			r22

96

Подставляя числовые значения, найдем
B = 4p ×50 ×10−7		1 −4	+	1 −4 = 5 ×10−3 (Òë) .
2p	16 ×10		9	×10
Ответ: B = 5 Ч 10–3 Òë.
Задача 13. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 20 см
течет ток 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбужден о
магнитное поле с индукцией 0,02 Тл. Определить силу, растягив а-
ющую кольцо.
			y			Рассечем
Äàíî:				dFiy		кольцо		íà
R = 0, 2 ì					dFi	две равные
I = 100 A						части и най-
B = 0,02 Òë					dFix	äåì	ñèëó,
			α			ä å é ñ ò â ó þ -
F − ?
						ùóþ íà îäíó
						èç íèõ. Âûäå-
					x	ëèì íà ïðî-
						воде элемент
длиной dl = R × da. На этот элемент по закону Ампера будет дей-
ствовать сила	dFi = B × I × dl		= B × I × R × dα. И тогда можно утверж-
r	r
äàòü, ÷òî F = ådFi. Разложим вектор dFi на составляющие dFix è
dFiy, тогда, в силу симметрии задачи, можно утверждать,
r	r	r					r
÷òî ådFix = 0 è F =		ådFiy	. Так как все составляющие dFiy					íà-
правлены в одну сторону, то геометрическое сложение можно

					π
заменить	алгебраическим, тогда F = ò2					B × I × R ×cosa ×da Þ
					−π
					2
æ	p	æ	-	p öö	= 2B × I × R.
F = B × I × R ç cos		- cos ç		÷÷
è	2	è		2 øø

Вычисляя, найдем B = 2 × 0, 02 ×100 × 0, 2 = 0,8 (Í). Ответ: F = 0,8 H.

97

Задача 14. Плоский квадратный контур со стороной 10 см, по которому течет ток 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Определить работу, котору ю надо совершить, чтобы повернуть контур на 180°.

	Äàíî:	Работа, совершаемая при бесконечно малом
	I =100 A	перемещении контура с током в магнитном
	a = 0,1 ì	поле, определяется по формуле dA = I Ч dФ, где
		dФ – изменение магнитного потока, пронизываю-
	Â = 0,1Òë
		щего контур. Так как магнитный поток, пронизы-
	a1 = 0	вающий контур, определяется по формуле Ф = B Ч
	a2 =180°	× S × cosa = B × a2 Ч cosa, то, дифференцируя данное
		выражение, можно получить dФ = – B Ч a2 × sina ×
	À - ?	Ч da, следовательно, dA = – B Ч I Ч a2 × sina × da.
		Полную работу найдем, интегрируя полученное

α2

выражение: A = I × B×a2 ò sin a×da = B× I ×a2 (cosa1 - cosa2 ) = 2B× I ×a2.

α1

Вычисляя, получим A = 2 Ч 100 Ч 0,1 Ч 0,01 = 0,2 (Дж). Ответ: A = 0,2 Дж.

Задача 15. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 400 В, попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0,01 Тл. Определить: радиус окружности, по которой будет двигаться электрон; период обращения электрона. Вектор скоро сти электрона перпендикулярен линиям индукции магнитного п оля.

Äàíî:

e =1, 6 ×10−19 Êë m = 9,1×10−31 êã

U = 400 B

B = 0,01 Òë R - ?

T - ?

На электрон, движущийся в магнитном поле, будет действовать сила Лоренца F = e Ч v Ч B, но по второму закону Ньюто-

	íà F = ma =			mv2	, тогда	mv2	= e × v × B Þ
				R		R
		m × v
	R =		.
		e × B

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов,

	определяется равенством	mv2	= eU Þ v =	2e × U , тогда
		2
	98			m

R = 1 2m × U . Для определения периода обращения воспользуем-

B e

ся формулой t =	S	, следовательно, T =		2p× R	=	2p × m	.
	v			v		e × B
Вычисляя, найдем R = 1			2 ×9,1×10−31 × 400 = 6, 75					×10−3	ì,
0, 01			1, 6 ×10−19

Ò= 6, 28 ×9,1×10−31 = 3,57 ×10−9 (ñ). 1,6 ×10−19 ×10−2

Ответ: R = 6,75 мм, Т = 3,57 нс.

Задача 16. На стальное кольцо со средним радиусом 0,15 м намотано в один слой 500 витков провода. Определить индукцию магнитного поля в стали и магнитную проницаемость стали, если по обмотке течет ток 0,5 А.

	Äàíî:		Воспользовавшись законом полного тока, можно
	R = 0,15	ì
			определить напряженность магнитного поля в стали:
	N = 500
			2p × R × H = N × I Þ H =	N × I
	I = 0,5A				. Подставляя числен-
				2p × R
	B − ?		500 ×0,5
	μ − ?		ные значения, получим H = 2 ×3,14 ×0,15 = 2660 À ì.
			Используя зависимость B = f(H) для стали,
			можно найти, что B = 1,35 Тл.

Магнитная проницаемость ферромагнетика связана с магни тной

индукцией выражением m =	B	; m =	1,35	= 400.
	m0 × H		12, 56 ×10−7 × 2, 66 ×103

Ответ: B = 1,35 Тл, μ = 400.

Задачи

132. По контуру в виде равностороннего треугольника со стороной 10 см течет ток 60 А. Определить индукцию магнитно - го поля в центре треугольника.

99

133. По бесконечно длинному проводнику, изогнутому так, как показано на рисунке I, течет ток 80 А. Определить индукцию магнит-

Ðèñ.I29 ного поля в центре кривизны, если r = 10 см. 134. По плоскому контуру из тонкого про-

вода течет ток 100 А. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током в точке О (центр окружностей) (рис. II). Радиусы

	Î	кривизны: R1 = R, R2 = 2R.
	Ðèñ.30II	135. По плоскому контуру из тонкого про-
		вода течет ток 100 А. Определить индукцию
		магнитного поля, создаваемого этим током в
	Î	точке О (центр окружностей) (рис. III). Радиу-
		сы кривизны: R1 = R, R2 = 2R.
	Ðèñ. 31III	136. По тонкому проволочному кольцу течет
		ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему
		придали форму правильного треугольника. Во

сколько раз изменилась индукция магнитного поля в центре контура?

137. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во скол ько раз изменилась индукция магнитного поля в центре контура ?

138.Бесконечно длинный тонкий про-

Îводник с током 50 А имеет изгиб (плос-

πкую петлю радиусом 10 см). Определить

3

Ðèñ. IV32

Î

Ðèñ. V33

âточке О (центре окружности) индукцию магнитного поля, создаваемую этим током (рис. IV).

139.Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет изгиб (плоскую петлю радиусом 10 см). Определить

âточке О (центре петли) индукцию магнитного поля, создаваемую этим током (рис. V).

140.Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет изгиб (плос-

Îкую петлю радиусом 10 см). Определить

	в точке О индукцию магнитного поля,
Ðèñ.VI34	создаваемую этим током (рис. VI).

100